shù xué yǔ yìng yòng shù xué > yīn shì fēn jiě
mùlù
No. 1
　　 yīn shì fēn jiě （ factorization）
　　 yīn shì fēn jiě zhǐ de shì bǎ yī gè duō xiàng shì fēn jiě wéi jǐ gè zhěng shì de jī de xíng shì， tā shì zhōng xué shù xué zhōng zuì zhòng yào de héng děng biàn xíng zhī yī， tā bèi guǎng fàn dì yìng yòng yú chū děng shù xué zhī zhōng， shì wǒ men jiě jué xǔ duō shù xué wèn tí de yòu lì gōng jù ． yīn shì fēn jiě fāng fǎ líng huó， jì qiǎo xìng qiáng， xué xí zhè xiē fāng fǎ yǔ jì qiǎo， bù jǐn shì zhǎng wò yīn shì fēn jiě nèi róng suǒ bì xū de， ér qiě duì yú péi yǎng xué shēng de jiě tí jì néng， fā zhǎn xué shēng de sī wéi néng lì， dōuyòu zhe shí fēn dú tè de zuò yòng． chū zhōng shù xué jiào cái zhōng zhù yào jiè shào liǎo tí qǔ gōng yīn shì fǎ、 yùn yòng gōng shì fǎ、 fēn zǔ fēn jiě fǎ hé shí zì xiāng chéng fǎ． ér zài jìng sài shàng， yòu yòu chāi xiàng hé tiān xiàng fǎ， dài dìng xì shù fǎ， shuāng shí zì xiāng chéng fǎ， lún huàn duìchèn fǎ děng．
　　 ⑴ tí gōng yīn shì fǎ
　　 ① gōng yīn shì： gè xiàng dū hán yòu de gōng gòng de yīn shì jiào zuò zhè gè duō xiàng shì gè xiàng de gōng yīn shì。
　　 ② tí gōng yīn shì fǎ： yī bān dì， rú guǒ duō xiàng shì de gè xiàng yòu gōng yīn shì， kě yǐ bǎ zhè gè gōng yīn shì tí dào kuò hào wài miàn， jiāng duō xiàng shì xiě chéng yīn shì chéng jī de xíng shì， zhè zhǒng fēn jiě yīn shì de fāng fǎ jiào zuò tí gōng yīn shì fǎ .。
　　am ＋ bm＋ cm ＝ m（ a+b+c）
　　 ③ jù tǐ fāng fǎ： dāng gè xiàng xì shù dōushì zhěng shù shí， gōng yīn shì de xì shù yìng qǔ gè xiàng xì shù de zuì dà gōng yuē shù； zì mǔ qǔ gè xiàng de xiāng tóng de zì mǔ， ér qiě gè zì mǔ de zhǐ shù qǔ cì shù zuì dī de . rú guǒ duō xiàng shì de dì yī xiàng shì fù de， yī bān yào tí chū “ － ” hào， shǐ kuò hào nèi de dì yī xiàng de xì shù shì zhèng de .
　　 ⑵ yùn yòng gōng shì fǎ
　　① píng fāng chā gōng shì： .a^2－ b^2＝ (a＋ b)(a－ b)
　　② wán quán píng fāng gōng shì： a^2±2ab＋ b^2＝ (a±b)^2
　　 ※ néng yùn yòng wán quán píng fāng gōng shì fēn jiě yīn shì de duō xiàng shì bì xū shì sān xiàng shì , qí zhōng yòu liǎng xiàng néng xiě chéng liǎng gè shù ( huò shì ) de píng fāng hé de xíng shì， lìng yī xiàng shì zhè liǎng gè shù ( huò shì ) de jī de 2 bèi .
　　③ lì fāng hé gōng shì： a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
　　 lì fāng chā gōng shì： a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
　　 ④ wán quán lì fāng gōng shì： a^3±3a^2b＋ 3ab^2±b^3＝ (a±b)^3
　　 ⑤ a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+ …… +b^(n-2)a+b^(n-1)]
　　a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+…… -b^(m-2)a+b^(m-1)](m wéi jīshù )
　　 ⑶ fēn zǔ fēn jiě fǎ
　　 fēn zǔ fēn jiě fǎ： bǎ yī gè duō xiàng shì fēn zǔ hòu， zài jìn xíng fēn jiě yīn shì de fāng fǎ .
　　 fēn zǔ fēn jiě fǎ bì xū yòu míng què mùdì， jí fēn zǔ hòu， kě yǐ zhí jiē tí gōng yīn shì huò yùn yòng gōng shì .
　　 ⑷ chāi xiàng、 bǔ xiàng fǎ
　　 chāi xiàng、 bǔ xiàng fǎ： bǎ duō xiàng shì de mǒu yī xiàng chāi kāi huò tián bǔ shàng hù wéixiàng fǎn shù de liǎng xiàng（ huò jǐ xiàng）， shǐ yuán shì shì hé yú tí gōng yīn shì fǎ、 yùn yòng gōng shì fǎ huò fēn zǔ fēn jiě fǎ jìn xíng fēn jiě； yào zhù yì， bì xū zài yǔ yuán duō xiàng shì xiāng děng de yuán zé jìn xíng biàn xíng .
　　 ⑸ shí zì xiāng chéng fǎ
　　① x^2＋（ pq） x＋ pq xíng de shì zǐ de yīn shì fēn jiě
　　 zhè lèi 'èr cì sān xiàng shì de tè diǎn shì： èr cì xiàng de xì shù shì 1； cháng shù xiàng shì liǎng gè shù de jī； yī cì xiàng xì shù shì cháng shù xiàng de liǎng gè yīn shù de hé . yīn cǐ， kě yǐ zhí jiē jiāng mǒu xiē 'èr cì xiàng de xì shù shì 1 de 'èr cì sān xiàng shì yīn shì fēn jiě ： x^2＋（ pq） x＋ pq＝（ x＋ p）（ x＋ q）
　　② kx^2＋ mx＋ n xíng de shì zǐ de yīn shì fēn jiě
　　 rú guǒ néng gòu fēn jiě chéng k＝ ac， n＝ bd， qiě yòu ad＋ bc＝ m shí， nà me
　　kx^2＋ mx＋ n＝（ axb）（ cxd）
　　a-----/bac＝ kbd＝ n
　　c/-----dad＋ bc＝ m
　　※ duō xiàng shì yīn shì fēn jiě de yī bān bù zhòu：
　　① rú guǒ duō xiàng shì de gè xiàng yòu gōng yīn shì， nà me xiān tí gōng yīn shì；
　　② rú guǒ gè xiàng méi yòu gōng yīn shì， nà me kě cháng shì yùn yòng gōng shì、 shí zì xiāng chéng fǎ lái fēn jiě；
　　③ rú guǒ yòng shàng shù fāng fǎ bù néng fēn jiě， nà me kě yǐ cháng shì yòng fēn zǔ、 chāi xiàng、 bǔ xiàng fǎ lái fēn jiě；
　　④ fēn jiě yīn shì， bì xū jìn xíng dào měi yī gè duō xiàng shì yīn shì dōubù néng zài fēn jiě wéi zhǐ。
　　(6) yìng yòng yīn shì dìng lǐ： rú guǒ f（ a） =0， zé f（ x） bì hán yòu yīn shì（ x-a）。 rú f（ x） =x^2+5x+6， f（ -2） =0， zé kě què dìng（ x+2） shì x^2+5x+6 de yī gè yīn shì。
　　 jīng diǎn lì tí：
　　1. fēn jiě yīn shì (1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
　　 jiě： yuán shì =(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
　　2. zhèng míng： duì yú rèn hé shù x,y， xià shì de zhí dōubù huì wéi 33
　　x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
　　 jiě： yuán shì =(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
　　 dāng y=0 shí， yuán shì =x^5 bù děng yú 33； dāng y bù děng yú 0 shí， x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y hù bù xiāng tóng， ér 33 bù néng fēn chéng sì gè yǐ shàng bù tóng yīn shù de jī， suǒ yǐ yuán mìng tí chéng lì
　　 yīn shì fēn jiě de shí 'èr zhǒng fāng fǎ
　　 bǎ yī gè duō xiàng shì huà chéng jǐ gè zhěng shì de jī de xíng shì， zhè zhǒng biàn xíng jiào zuò bǎ zhè gè duō xiàng shì yīn shì fēn jiě 。 yīn shì fēn jiě de fāng fǎ duō zhǒng duō yàng， xiàn zǒng jié rú xià：
　　1、 tí gōng yīn fǎ
　　 rú guǒ yī gè duō xiàng shì de gè xiàng dū hán yòu gōng yīn shì， nà me jiù kě yǐ bǎ zhè gè gōng yīn shì tí chū lái， cóng 'ér jiāng duō xiàng shì huà chéng liǎng gè yīn shì chéng jī de xíng shì。
　　 lì 1、 fēn jiě yīn shì x^3-2x^2-x(2003 huái 'ān shì zhōng kǎo tí )
　　x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)
　　2、 yìng yòng gōng shì fǎ
　　 yóu yú fēn jiě yīn shì yǔ zhěng shì chéng fǎ yòu zhe hù nì de guān xì， rú guǒ bǎ chéng fǎ gōng shì fǎn guò lái， nà me jiù kě yǐ yòng lái bǎ mǒu xiē duō xiàng shì fēn jiě yīn shì。
　　 lì 2、 fēn jiě yīn shì a^2+4ab+4b^2(2003 nán tōng shì zhōng kǎo tí )
　　 jiě： a^2+4ab+4b^2=（ a+2b）
　　3、 fēn zǔ fēn jiě fǎ
　　 yào bǎ duō xiàng shì am+an+bm+bn fēn jiě yīn shì， kě yǐ xiān bǎ tā qián liǎng xiàng fēn chéng yī zǔ， bìng tí chū gōng yīn shì a， bǎ tā hòu liǎng xiàng fēn chéng yī zǔ， bìng tí chū gōng yīn shì b， cóng 'ér dé dào a(m+n)+b(m+n), yòu kě yǐ tí chū gōng yīn shì m+n， cóng 'ér dé dào (a+b)(m+n)
　　 lì 3、 fēn jiě yīn shì m^2+5n-mn-5m
　　 jiě： m^2+5n-mn-5m=m^2-5m-mn+5n
　　=(m^2-5m)+(-mn+5n)
　　=m(m-5)-n(m-5)
　　=(m-5)(m-n)
　　4、 shí zì xiāng chéng fǎ
　　 duì yú mx^2+px+q xíng shì de duō xiàng shì， rú guǒ a×b=m,c×d=q qiě ac+bd=p， zé duō xiàng shì kě yīn shì fēn jiě wéi (ax+d)(bx+c)
　　 lì 4、 fēn jiě yīn shì 7x^2-19x-6
　　 fēn xī：
　　1-3
　　72
　　2-21=-19
　　 jiě： 7x^2-19x-6=（ 7x+2） (x-3)
　　5、 pèi fāng fǎ
　　 duì yú nà xiē bù néng lì yòng gōng shì fǎ de duō xiàng shì， yòu de kě yǐ lì yòng jiāng qí pèi chéng yī gè wán quán píng fāng shì， rán hòu zài lì yòng píng fāng chā gōng shì， jiù néng jiāng qí yīn shì fēn jiě 。
　　 lì 5、 fēn jiě yīn shì x^2+3x-40
　　 jiě x^2+3x-40
　　=x^2+3x+2.25-42.25
　　=(x+1.5)^2-(6.5)^2
　　=(x+8)(x-5)
　　6、 chāi、 tiān xiàng fǎ
　　 kě yǐ bǎ duō xiàng shì chāi chéng ruò gān bù fēn， zài yòng jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 lì 6、 fēn jiě yīn shì bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　 jiě： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
　　=(c+b)(c-a)(a+b)
　　7、 huàn yuán fǎ
　　 yòu shí zài fēn jiě yīn shì shí， kě yǐ xuǎn zé duō xiàng shì zhōng de xiāng tóng de bù fēn huàn chéng lìng yī gè wèi zhī shù， rán hòu jìn xíng yīn shì fēn jiě ， zuì hòu zài zhuǎn huàn huí lái。
　　 lì 7、 fēn jiě yīn shì 2x^4-x^3-6x^2-x+2
　　8、 qiú gēn fǎ
　　 lìng duō xiàng shì f(x)=0, qiú chū qí gēn wéi x1,x2,x3,…… xn, zé duō xiàng shì kě yīn shì fēn jiě wéi f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…… (x-xn)
　　 lì 8、 fēn jiě yīn shì 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6
　　 jiě： lìng f(x)=2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0
　　 tōng guò zōng hé chú fǎ kě zhī， f(x)=0 gēn wéi 1/2， -3， -2， 1
　　 zé 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
　　9、 tú xiàng fǎ
　　 lìng y=f(x)， zuò chū hán shù y=f(x) de tú xiàng， zhǎo dào hán shù tú xiàng yǔ x zhóu de jiāo diǎn x1,x2,x3,…… xn， zé duō xiàng shì kě yīn shì fēn jiě wéi f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…… (x-xn)
　　 lì 9、 yīn shì fēn jiě x^3+2x^2-5x-6
　　 jiě： lìng y=x^3+2x^2-5x-6
　　 zuò chū qí tú xiàng， yǔ x zhóu jiāo diǎn wéi -3， -1， 2
　　 zé x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
　　10、 zhù yuán fǎ
　　 xiān xuǎn dìng yī gè zì mǔ wéi zhù yuán， rán hòu bǎ gè xiàng 'àn zhè gè zì mǔ cì shù cóng gāo dào dī pái liè， zài jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 lì 10、 fēn jiě yīn shì a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
　　 fēn xī： cǐ tí kě xuǎn dìng a wéi zhù yuán， jiāng qí 'àn cì shù cóng gāo dào dī pái liè
　　 jiě： a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
　　=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
　　=(b-c)(a-b)(a-c)
　　11、 lì yòng tè shū zhí fǎ
　　 jiāng 2 huò 10 dài rù x， qiú chū shù p， jiāng shù p fēn jiě zhì yīn shù， jiāng zhì yīn shù shìdàng de zǔ hé， bìng jiāng zǔ hé hòu de měi yī gè yīn shù xiě chéng 2 huò 10 de hé yǔ chā de xíng shì， jiāng 2 huò 10 hái yuán chéng x， jí dé yīn shì fēn jiě shì。
　　 lì 11、 fēn jiě yīn shì x^3+9x^2+23x+15
　　 jiě： lìng x=2， zé x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105
　　 jiāng 105 fēn jiě chéng 3 gè zhì yīn shù de jī， jí 105=3×5×7
　　 zhù yì dào duō xiàng shì zhōng zuì gāo xiàng de xì shù wéi 1， ér 3、 5、 7 fēn bié wéi x+1， x+3， x+5， zài x=2 shí de zhí
　　 zé x^3+9x^2+23x+15 kě néng =（ x+1）（ x+3）（ x+5）， yàn zhèng hòu de què rú cǐ。
　　12、 dài dìng xì shù fǎ
　　 shǒu xiān pàn duàn chū fēn jiě yīn shì de xíng shì， rán hòu shè chū xiāng yìng zhěng shì de zì mǔ xì shù， qiú chū zì mǔ xì shù， cóng 'ér bǎ duō xiàng shì yīn shì fēn jiě 。
　　 lì 12、 fēn jiě yīn shì x^4-x^3-5x^2-6x-4
　　 fēn xī： yì zhī zhè gè duō xiàng shì méi yòu yī cì yīn shì， yīn 'ér zhǐ néng fēn jiě wéi liǎng gè 'èr cì yīn shì。
　　 jiě： shè x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
　　 suǒ yǐ jiě dé
　　 zé x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
　　 chū xué yīn shì fēn jiě de“ sì gè zhù yì”
　　 yīn shì fēn jiě chū jiàn yú jiǔ nián yì wù jiào yù sān nián zhì chū zhōng jiào cái《 dài shù》 dì 'èr cè， zài chū 'èr shàng xué qī jiǎng shòu， dàn tā de nèi róng què shèn tòu yú zhěng gè zhōng xué shù xué jiào cái zhī zhōng。 xué xí tā， jì kě yǐ fù xí chū yī de zhěng shì sì zé yùn suàn， yòu wéi běn cè xià yī zhāng fēn shì dǎ hǎo jī chǔ； xué hǎo tā， jì kě yǐ péi yǎng xué shēng de guān chá、 zhù yì、 yùn suàn néng lì， yòu kě yǐ tí gāo xué shēng zōng hé fēn xī hé jiě jué wèn tí de néng lì。 qí zhōng sì gè zhù yì， zé bì xū yǐn qǐ shī shēng de gāo dù zhòng shì。
　　 yīn shì fēn jiě zhōng de sì gè zhù yì sǎnjiàn yú jiào cái dì 5 yè hé dì 15 yè， kě yòng sì jù huà gài kuò rú xià： shǒu xiàng yòu fù cháng tí fù， gè xiàng yòu“ gōng” xiān tí“ gōng”， mǒu xiàng tí chū mò lòu 1， kuò hào lǐ miàn fēn dào“ dǐ”。 xiàn jǔ shù lì， shuō míng rú xià， gōng cān kǎo。
　　 lì 1 bǎ－ a2－ b2＋ 2ab＋ 4 fēn jiě yīn shì。
　　 jiě：－ a2－ b2＋ 2ab＋ 4＝－（ a2－ 2ab＋ b2－ 4）＝－（ a－ b＋ 2）（ a－ b－ 2）
　　 zhè lǐ de“ fù”， zhǐ“ fù hào”。 rú guǒ duō xiàng shì de dì yī xiàng shì fù de， yī bān yào tí chū fù hào， shǐ kuò hào nèi dì yī xiàng xì shù shì zhèng de。 fáng zhǐ xué shēng chū xiàn zhū rú－ 9x2＋ 4y2＝（－ 3x） 2－（ 2y） 2＝（－ 3x＋ 2y）（－ 3x－ 2y）＝（ 3x－ 2y）（ 3x＋ 2y） de cuò wù ?
　　 rú lì 2 △ abc de sān biān a、 b、 c yòu rú xià guān xì shì：－ c2＋ a2＋ 2ab－ 2bc＝ 0， qiú zhèng zhè gè sān jiǎo xíng shì děng yāo sān jiǎo xíng。
　　 fēn xī： cǐ tí shí zhì shàng shì duì guān xì shì de děng hào zuǒ biān de duō xiàng shì jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 zhèng míng： ∵－ c2＋ a2＋ 2ab－ 2bc＝ 0， ∴（ a＋ c）（ a－ c）＋ 2b（ a－ c）＝ 0，∴（ a－ c）（ a＋ 2b＋ c）＝ 0．
　　 yòu∵ a、 b、 c shì△ abc de sān tiáo biān，∴ a＋ 2b＋ c ＞ 0，∴ a－ c＝ 0，
　　 jí a＝ c，△ abc wéi děng yāo sān jiǎo xíng。
　　 lì 3 bǎ－ 12x2 ｎ yn＋ 18xn＋ 2yn＋ 1－ 6xnyn－ 1 fēn jiě yīn shì。 jiě：－ 12x2nyn＋ 18xn＋ 2yn＋ 1－ 6xnyn－ 1＝－ 6xnyn－ 1（ 2xny－ 3x2y2＋ 1）
　　 zhè lǐ de“ gōng” zhǐ“ gōng yīn shì”。 rú guǒ duō xiàng shì de gè xiàng hán yòu gōng yīn shì， nà me xiān tí qǔ zhè gè gōng yīn shì， zài jìn yī bù fēn jiě yīn shì； zhè lǐ de“ 1”， shì zhǐ duō xiàng shì de mǒu gè zhěng xiàng shì gōng yīn shì shí， xiān tí chū zhè gè gōng yīn shì hòu， kuò hào nèi qiē wù lòu diào 1。 fáng zhǐ xué shēng chū xiàn zhū rú 6p（ x－ 1） 3－ 8p2（ x－ 1） 2＋ 2p（ 1－ x） 2＝ 2p（ x－ 1） 2 ［ 3（ x－ 1）－ 4p ］＝ 2p（ x－ 1） 2（ 3x－ 4p－ 3） de cuò wù。
　　 lì 4 zài shí shù fàn wéi nèi bǎ x4－ 5x2－ 6 fēn jiě yīn shì。
　　 jiě： x4－ 5x2－ 6＝（ x2＋ 1）（ x2－ 6）＝（ x2＋ 1）（ x＋ 6）（ x－ 6）
　　 zhè lǐ de“ dǐ”， zhǐ fēn jiě yīn shì， bì xū jìn xíng dào měi yī gè duō xiàng shì yīn shì dōubù néng zài fēn jiě wéi zhǐ。 jí fēn jiě dào dǐ， bù néng bàn tú 'ér fèi de yì sī。 qí zhōng bāo hán tí gōng yīn shì yào yī cì xìng tí“ gān jìng”， bù liú“ wěi bā”， bìng shǐ měi yī gè kuò hào nèi de duō xiàng shì dōubù néng zài fēn jiě。 fáng zhǐ xué shēng chū xiàn zhū rú 4x4y2－ 5x2y2－ 9y2＝ y2（ 4x4－ 5x2－ 9）＝ y2（ x2＋ 1）（ 4x2－ 9） de cuò wù。
　　 yóu cǐ kàn lái， yīn shì fēn jiě zhōng de sì gè zhù yì guàn chuān yú yīn shì fēn jiě de sì zhǒng jī běn fāng fǎ zhī zhōng， yǔ yīn shì fēn jiě de sì gè bù zhòu huò shuō yī bān sī kǎo shùn xù de sì jù huà：“ xiān kàn yòu wú gōng yīn shì， zài kàn néng fǒu tào gōng shì， shí zì xiāng chéng shì yī shì， fēn zǔ fēn jiě yào hé shì” shì yī mài xiāng chéng de。
yīng wén míng chēng
　　yīn shì fēn jiě
　　Factorization
gài shù
　　dìng yì： bǎ yī gè duō xiàng shì huà wéi jǐ gè zhěng shì de jī de xíng shì， zhè zhǒng biàn xíng jiào zuò bǎ zhè gè duō xiàng shì yīn shì fēn jiě ， yě jiào zuōfēn jiě yīn shì。
　　 yì yì： tā shì zhōng xué shù xué zhōng zuì zhòng yào de héng děng biàn xíng zhī yī， tā bèi guǎng fàn dì yìng yòng yú chū děng shù xué zhī zhōng， shì wǒ men jiě jué xǔ duō shù xué wèn tí de yòu lì gōng jù。 yīn shì fēn jiě fāng fǎ líng huó， jì qiǎo xìng qiáng， xué xí zhè xiē fāng fǎ yǔ jì qiǎo， bù jǐn shì zhǎng wò yīn shì fēn jiě nèi róng suǒ bì xū de， ér qiě duì yú péi yǎng xué shēng de jiě tí jì néng， fā zhǎn xué shēng de sī wéi néng lì， dōuyòu zhe shí fēn dú tè de zuò yòng。 xué xí tā， jì kě yǐ fù xí de zhěng shì sì zé yùn suàn， yòu wéi xué xí fēn shì dǎ hǎo jī chǔ； xué hǎo tā， jì kě yǐ péi yǎng xué shēng de guān chá、 zhù yì、 yùn suàn néng lì， yòu kě yǐ tí gāo xué shēng zōng hé fēn xī hé jiě jué wèn tí de néng lì。
　　 fēn jiě yīn shì yǔ zhěng shì chéng fǎ hù wéi nì biàn xíng。
yīn shì fēn jiě de fāng fǎ
　　 yīn shì fēn jiě méi yòu pǔ biàn de fāng fǎ， chū zhōng shù xué jiào cái zhōng zhù yào jiè shào liǎo tí gōng yīn shì fǎ、 gōng shì fǎ。 ér zài jìng sài shàng， yòu yòu chāi xiàng hé tiān jiǎn xiàng fǎ， fēn zǔ fēn jiě fǎ hé shí zì xiāng chéng fǎ， dài dìng xì shù fǎ， shuāng shí zì xiāng chéng fǎ， duìchèn duō xiàng shì lún huàn duìchèn duō xiàng shì fǎ， yú shù dìng lǐ fǎ， qiú gēn gōng shì fǎ， huàn yuán fǎ， cháng chú fǎ， chú fǎ děng。
　　 zhù yì sān yuán zé
　　1 fēn jiě yào chè dǐ
　　2 zuì hòu jiēguǒ zhǐ yòu xiǎo kuò hào
　　3 zuì hòu jiēguǒ zhōng duō xiàng shì shǒu xiàng xì shù wéi zhèng（ lì rú： -3x^2+x=-x(3x-1)）
jī běn fāng fǎ
　　⑴ tí gōng yīn shì fǎ
　　 gè xiàng dū hán yòu de gōng gòng de yīn shì jiào zuò zhè gè duō xiàng shì gè xiàng de gōng yīn shì。
　　 rú guǒ yī gè duō xiàng shì de gè xiàng yòu gōng yīn shì， kě yǐ bǎ zhè gè gōng yīn shì tí chū lái， cóng 'ér jiāng duō xiàng shì huà chéng liǎng gè yīn shì chéng jī de xíng shì， zhè zhǒng fēn jiě yīn shì de fāng fǎ jiào zuò tí gōng yīn shì fǎ。
　　 jù tǐ fāng fǎ： dāng gè xiàng xì shù dōushì zhěng shù shí， gōng yīn shì de xì shù yìng qǔ gè xiàng xì shù de zuì dà gōng yuē shù； zì mǔ qǔ gè xiàng de xiāng tóng de zì mǔ， ér qiě gè zì mǔ de zhǐ shù qǔ cì shù zuì dī de； qǔ xiāng tóng de duō xiàng shì， duō xiàng shì de cì shù qǔ zuì dī de。
　　 rú guǒ duō xiàng shì de dì yī xiàng shì fù de， yī bān yào tí chū“ -” hào， shǐ kuò hào nèi de dì yī xiàng de xì shù chéng wéi zhèng shù。 tí chū“ -” hào shí， duō xiàng shì de gè xiàng dōuyào biàn hào。
　　 kǒu jué： zhǎo zhǔn gōng yīn shì， yī cì yào tí jìng； quán jiādōu bān zǒu， liú 1 bǎ jiā shǒu； tí fù yào biàn hào， biàn xíng kàn jī'ǒu。
　　 lì rú： -am+bm+cm=-m(a-b-c)；
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
　　 zhù yì： bǎ 2a^2+1/2 biàn chéng 2(a^2+1/4) bù jiào tí gōng yīn shì
　　⑵ gōng shì fǎ
　　 rú guǒ bǎ chéng fǎ gōng shì fǎn guò lái， jiù kě yǐ bǎ mǒu xiē duō xiàng shì fēn jiě yīn shì， zhè zhǒng fāng fǎ jiào gōng shì fǎ。
　　 píng fāng chā gōng shì： a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
　　 wán quán píng fāng gōng shì： a^2±2ab＋ b^2＝ (a±b)^2；
　　 zhù yì： néng yùn yòng wán quán píng fāng gōng shì fēn jiě yīn shì de duō xiàng shì bì xū shì sān xiàng shì， qí zhōng yòu liǎng xiàng néng xiě chéng liǎng gè shù ( huò shì ) de píng fāng hé de xíng shì， lìng yī xiàng shì zhè liǎng gè shù ( huò shì ) de jī de 2 bèi。
　　 lì fāng hé gōng shì： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
　　 lì fāng chā gōng shì： a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
　　 wán quán lì fāng gōng shì： a^3±3a^2b＋ 3ab^2±b^3=(a±b)^3．
　　 gōng shì： a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
　　 lì rú： a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2。
　　（ 3） fēn jiě yīn shì jì qiǎo
　　1. fēn jiě yīn shì yǔ zhěng shì chéng fǎ shì hù wéi nì biàn xíng。
　　2. fēn jiě yīn shì jì qiǎo zhǎng wò：
　　① děng shì zuǒ biān bì xū shì duō xiàng shì；
　　② fēn jiě yīn shì de jiēguǒ bì xū shì yǐ chéng jī de xíng shì biǎo shì；
　　③ měi gè yīn shì bì xū shì zhěng shì， qiě měi gè yīn shì de cì shù dū bì xū dī yú yuán lái duō xiàng shì de cì shù；
　　④ fēn jiě yīn shì bì xū fēn jiě dào měi gè duō xiàng shì yīn shì dōubù néng zài fēn jiě wéi zhǐ。
　　 zhù： fēn jiě yīn shì qián xiān yào zhǎo dào gōng yīn shì， zài què dìng gōng yīn shì qián， yìng cóng xì shù hé yīn shì liǎng gè fāng miàn kǎo lǜ。
　　3. tí gōng yīn shì fǎ jī běn bù zhòu：
　　（ 1） zhǎo chū gōng yīn shì；
　　（ 2） tí gōng yīn shì bìng què dìng lìng yī gè yīn shì：
　　① dì yī bù zhǎo gōng yīn shì kě 'àn zhào què dìng gōng yīn shì de fāng fǎ xiān què dìng xì shù zài què dìng zì mǔ；
　　② dì 'èr bù tí gōng yīn shì bìng què dìng lìng yī gè yīn shì， zhù yì yào què dìng lìng yī gè yīn shì， kě yòng yuán duō xiàng shì chú yǐ gōng yīn shì， suǒ dé de shāng jí shì tí gōng yīn shì hòu shèng xià de yī gè yīn shì， yě kě yòng gōng yīn shì fēn bié chú qù yuán duō xiàng shì de měi yī xiàng， qiú de shèng xià de lìng yī gè yīn shì；
　　③ tí wán gōng yīn shì hòu， lìng yī yīn shì de xiàng shù yǔ yuán duō xiàng shì de xiàng shù xiāng tóng。
jìng sài yòng dào de fāng fǎ
　　⑶ fēn zǔ fēn jiě fǎ
　　 fēn zǔ fēn jiě shì jiě fāng chéng de yī zhǒng jiǎn jié de fāng fǎ， wǒ men lái xué xí zhè gè zhī shí。
　　 néng fēn zǔ fēn jiě de fāng chéng yòu sì xiàng huò dà yú sì xiàng， yī bān de fēn zǔ fēn jiě yòu liǎng zhǒng xíng shì： èr 'èr fēn fǎ， sān yī fēn fǎ。
　　 bǐ rú：
　　ax+ay+bx+by
　　=a(x+y)+b(x+y)
　　=(a+b)(x+y)
　　 wǒ men bǎ ax hé ay fēn yī zǔ， bx hé by fēn yī zǔ， lì yòng chéng fǎ fēn pèi lǜ， liǎng liǎng xiāng pèi， lì jí jiě chú liǎo kùn nán。
　　 tóng yàng， zhè dào tí yě kě yǐ zhè yàng zuò。
　　ax+ay+bx+by
　　=x(a+b)+y(a+b)
　　=(a+b)(x+y)
　　 jǐ dào lì tí：
　　1.5ax+5bx+3ay+3by
　　 jiě fǎ： =5x(a+b)+3y(a+b)
　　=(5x+3y)(a+b)
　　 shuō míng： xì shù bù yī yàng yī yàng kě yǐ zuò fēn zǔ fēn jiě， hé shàng miàn yī yàng， bǎ 5ax hé 5bx kàn chéng zhěng tǐ， bǎ 3ay hé 3by kàn chéng yī gè zhěng tǐ， lì yòng chéng fǎ fēn pèi lǜ qīng sōng jiě chū。
　　2.x^3-x^2+x-1
　　 jiě fǎ： =(x^3-x^2)+(x-1)
　　=x^2(x-1)+(x-1)
　　=(x-1)(x2+1)
　　 lì yòng 'èr 'èr fēn fǎ， tí gōng yīn shì fǎ tí chū x2， rán hòu xiāng hé qīng sōng jiě jué。
　　3.x2-x-y2-y
　　 jiě fǎ： =(x2-y2)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y-1)
　　 lì yòng 'èr 'èr fēn fǎ， zài lì yòng gōng shì fǎ a2-b2=(a+b)(a-b)， rán hòu xiāng hé jiě jué。
　　⑷ shí zì xiāng chéng fǎ
　　 zhè zhǒng fāng fǎ yòu liǎng zhǒng qíng kuàng。
　　① x²+(p+q)x+pq xíng de shì zǐ de yīn shì fēn jiě
　　 zhè lèi 'èr cì sān xiàng shì de tè diǎn shì： èr cì xiàng de xì shù shì 1； cháng shù xiàng shì liǎng gè shù de jī； yī cì xiàng xì shù shì cháng shù xiàng de liǎng gè yīn shù de hé。 yīn cǐ， kě yǐ zhí jiē jiāng mǒu xiē 'èr cì xiàng de xì shù shì 1 de 'èr cì sān xiàng shì yīn shì fēn jiě ： x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．
　　② kx²+mx+n xíng de shì zǐ de yīn shì fēn jiě
　　 rú guǒ yòu k=ac， n=bd， qiě yòu ad+bc=m shí， nà me kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
　　 tú shì rú xià：
　　×
　　cd
　　 lì rú： yīn wéi
　　1-3
　　×
　　72
　　-3×7=-21， 1×2=2， qiě 2-21=-19，
　　 suǒ yǐ 7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．
　　 shí zì xiāng chéng fǎ kǒu jué： shǒu wěi fēn jiě， jiāo chā xiāng chéng， qiú hé còu zhōng
　　⑸ chāi xiàng、 tiān xiàng fǎ
　　 zhè zhǒng fāng fǎ zhǐ bǎ duō xiàng shì de mǒu yī xiàng chāi kāi huò tián bǔ shàng hù wéixiàng fǎn shù de liǎng xiàng（ huò jǐ xiàng）， shǐ yuán shì shì hé yú tí gōng yīn shì fǎ、 yùn yòng gōng shì fǎ huò fēn zǔ fēn jiě fǎ jìn xíng fēn jiě。 yào zhù yì， bì xū zài yǔ yuán duō xiàng shì xiāng děng de yuán zé xià jìn xíng biàn xíng。
　　 lì rú： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
　　=(c+b)(c-a)(a+b)．
　　 ⑹ pèi fāng fǎ
　　 duì yú mǒu xiē bù néng lì yòng gōng shì fǎ de duō xiàng shì， kě yǐ jiāng qí pèi chéng yī gè wán quán píng fāng shì， rán hòu zài lì yòng píng fāng chā gōng shì， jiù néng jiāng qí yīn shì fēn jiě ， zhè zhǒng fāng fǎ jiào pèi fāng fǎ。 shǔ yú chāi xiàng、 bǔ xiàng fǎ de yī zhǒng tè shū qíng kuàng。 yě yào zhù yì bì xū zài yǔ yuán duō xiàng shì xiāng děng de yuán zé xià jìn xíng biàn xíng。
　　 lì rú： x²+3x-40
　　=x²+3x+2.25-42.25
　　=(x+1.5)²-(6.5)²
　　=(x+8)(x-5)．
　　 ⑺ yìng yòng yīn shì dìng lǐ
　　 duì yú duō xiàng shì f(x)=0， rú guǒ f(a)=0， nà me f(x) bì hán yòu yīn shì x-a．
　　 lì rú： f(x)=x²+5x+6， f(-2)=0， zé kě què dìng x+2 shì x²+5x+6 de yī gè yīn shì。 ( shì shí shàng， x²+5x+6=(x+2)(x+3)． )
　　 zhù yì： 1、 duì yú xì shù quán bù shì zhěng shù de duō xiàng shì， ruò X=q/p（ p,q wéi hù zhì zhěng shù shí） gāi duō xiàng shì zhí wéi líng， zé q wéi cháng shù xiàng yuē shù， p zuì gāo cì xiàng xì shù yuē shù；
　　2、 duì yú duō xiàng shì f(a)=0,b wéi zuì gāo cì xiàng xì shù， c wéi cháng shù xiàng， zé yòu a wéi c/b yuē shù
　　 ⑻ huàn yuán fǎ
　　 yòu shí zài fēn jiě yīn shì shí， kě yǐ xuǎn zé duō xiàng shì zhōng de xiāng tóng de bù fēn huàn chéng lìng yī gè wèi zhī shù， rán hòu jìn xíng yīn shì fēn jiě ， zuì hòu zài zhuǎn huàn huí lái， zhè zhǒng fāng fǎ jiào zuò huàn yuán fǎ。
　　 zhù yì : huàn yuán hòu wù wàng hái yuán .
　　 lì rú zài fēn jiě (x²+x+1)(x²+x+2)-12 shí， kě yǐ lìng y=x²+x, zé
　　 yuán shì =(y+1)(y+2)-12
　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10
　　=(y+5)(y-2)
　　=(x²+x+5)(x²+x-2)
　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
　　 yě kě yǐ cān kàn yòu tú。
　　 ⑼ qiú gēn fǎ
　　 lìng duō xiàng shì f(x)=0, qiú chū qí gēn wéi x1， x2， x3，…… xn， zé gāi duō xiàng shì kě fēn jiě wéi f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…… (x-xn)．
　　 lì rú zài fēn jiě 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6 shí， lìng 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，
　　 zé tōng guò zōng hé chú fǎ kě zhī， gāi fāng chéng de gēn wéi 0.5， -3， -2， 1．
　　 suǒ yǐ 2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
　　 ⑽ tú xiàng fǎ
　　 lìng y=f(x)， zuò chū hán shù y=f(x) de tú xiàng， zhǎo dào hán shù tú xiàng yǔ X zhóu de jiāo diǎn x1,x2,x3,…… xn， zé duō xiàng shì kě yīn shì fēn jiě wéi f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…… (x-xn)．
　　 yǔ fāng fǎ⑼ xiāng bǐ， néng bì kāi jiě fāng chéng de fán suǒ， dàn shì bù gòu zhǔn què。
　　 lì rú zài fēn jiě x^3+2x^2-5x-6 shí， kě yǐ lìng y=x^3;+2x^2-5x-6.
　　 zuò chū qí tú xiàng， yǔ x zhóu jiāo diǎn wéi -3， -1， 2
　　 zé x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
　　 ⑾ zhù yuán fǎ
　　 xiān xuǎn dìng yī gè zì mǔ wéi zhù yuán， rán hòu bǎ gè xiàng 'àn zhè gè zì mǔ cì shù cóng gāo dào dī pái liè， zài jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 ⑿ tè shū zhí fǎ
　　 jiāng 2 huò 10 dài rù x， qiú chū shù p， jiāng shù p fēn jiě zhì yīn shù， jiāng zhì yīn shù shìdàng de zǔ hé， bìng jiāng zǔ hé hòu de měi yī gè yīn shù xiě chéng 2 huò 10 de hé yǔ chā de xíng shì， jiāng 2 huò 10 hái yuán chéng x， jí dé yīn shì fēn jiě shì。
　　 lì rú zài fēn jiě x^3+9x^2+23x+15 shí， lìng x=2， zé
　　x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
　　 jiāng 105 fēn jiě chéng 3 gè zhì yīn shù de jī， jí 105=3×5×7．
　　 zhù yì dào duō xiàng shì zhōng zuì gāo xiàng de xì shù wéi 1， ér 3、 5、 7 fēn bié wéi x+1， x+3， x+5， zài x=2 shí de zhí，
　　 zé x^3+9x^2+23x+15 kě néng děng yú (x+1)(x+3)(x+5)， yàn zhèng hòu de què rú cǐ。
　　 ⒀ dài dìng xì shù fǎ
　　 shǒu xiān pàn duàn chū fēn jiě yīn shì de xíng shì， rán hòu shè chū xiāng yìng zhěng shì de zì mǔ xì shù， qiú chū zì mǔ xì shù， cóng 'ér bǎ duō xiàng shì yīn shì fēn jiě 。
　　 lì rú zài fēn jiě x^4-x^3-5x^2-6x-4 shí， yóu fēn xī kě zhī： zhè gè duō xiàng shì méi yòu yī cì yīn shì， yīn 'ér zhǐ néng fēn jiě wéi liǎng gè 'èr cì yīn shì。
　　 yú shì shè x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
　　 yóu cǐ kě dé a+c=-1，
　　ac+b+d=-5，
　　ad+bc=-6，
　　bd=-4．
　　 jiě dé a=1， b=1， c=-2， d=-4．
　　 zé x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
　　 yě kě yǐ cān kàn yòu tú。
　　 ⒁ shuāng shí zì xiāng chéng fǎ
　　 shuāng shí zì xiāng chéng fǎ shǔ yú yīn shì fēn jiě de yī lèi， lèi sì yú shí zì xiāng chéng fǎ。
　　 shuāng shí zì xiāng chéng fǎ jiù shì 'èr yuán 'èr cì liù xiàng shì， qǐ shǐ de shì zǐ rú xià :
　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
　　x、 y wéi wèi zhī shù， qí yú dōushì cháng shù
　　 yòng yī dào lì tí lái shuō míng rú hé shǐ yòng。
　　 lì： fēn jiě yīn shì： x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
　　 fēn xī： zhè shì yī gè 'èr cì liù xiàng shì， kě kǎo lǜ shǐ yòng shuāng shí zì xiāng chéng fǎ jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 jiě： tú rú xià， bǎ suǒ yòu de shù zì jiāo chā xiāng lián jí kě
　　x2y2
　　①②③
　　x3y6
　　∴ yuán shì =(x+2y+2)(x+3y+6)．
　　 shuāng shí zì xiāng chéng fǎ qí bù zhòu wéi：
　　① xiān yòng shí zì xiāng chéng fǎ fēn jiě 2 cì xiàng， rú shí zì xiāng chéng tú① zhōng x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
　　② xiān yǐ yī gè zì mǔ（ rú y） de yī cì xì shù fēn shù cháng shù xiàng。 rú shí zì xiāng chéng tú② zhōng 6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
　　③ zài 'àn lìng yī gè zì mǔ（ rú x） de yī cì xì shù jìn xíng jiǎn yàn， rú shí zì xiāng chéng tú③， zhè yī bù bù néng shěng， fǒu zé róng yì chū cuò。
duō xiàng shì yīn shì fēn jiě de yī bān bù zhòu：
　　① rú guǒ duō xiàng shì de gè xiàng yòu gōng yīn shì， nà me xiān tí gōng yīn shì；
　　② rú guǒ gè xiàng méi yòu gōng yīn shì， nà me kě cháng shì yùn yòng gōng shì、 shí zì xiāng chéng fǎ lái fēn jiě；
　　③ rú guǒ yòng shàng shù fāng fǎ bù néng fēn jiě， nà me kě yǐ cháng shì yòng fēn zǔ、 chāi xiàng、 bǔ xiàng fǎ lái fēn jiě；
　　④ fēn jiě yīn shì， bì xū jìn xíng dào měi yī gè duō xiàng shì yīn shì dōubù néng zài fēn jiě wéi zhǐ。
　　 yě kě yǐ yòng yī jù huà lái gài kuò：“ xiān kàn yòu wú gōng yīn shì， zài kàn néng fǒu tào gōng shì。 shí zì xiāng chéng shì yī shì， fēn zǔ fēn jiě yào hé shì。”
　　 jǐ dào lì tí
　　1． fēn jiě yīn shì (1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
　　 jiě： yuán shì =(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（ bǔ xiàng）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（ wán quán píng fāng）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
　　2． qiú zhèng： duì yú rèn hé shí shù x,y， xià shì de zhí dōubù huì wéi 33：
　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
　　 jiě： yuán shì =(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
　　（ fēn jiě yīn shì de guò chéng yě kě yǐ cān kàn yòu tú。）
　　 dāng y=0 shí， yuán shì =x^5 bù děng yú 33； dāng y bù děng yú 0 shí， x+3y， x+y， x-y， x+2y， x-2y hù bù xiāng tóng， ér 33 bù néng fēn chéng sì gè yǐ shàng bù tóng yīn shù de jī， suǒ yǐ yuán mìng tí chéng lì。
　　3.．△ ABC de sān biān a、 b、 c yòu rú xià guān xì shì： -c^2+a^2+2ab-2bc=0， qiú zhèng： zhè gè sān jiǎo xíng shì děng yāo sān jiǎo xíng。
　　 fēn xī： cǐ tí shí zhì shàng shì duì guān xì shì de děng hào zuǒ biān de duō xiàng shì jìn xíng yīn shì fēn jiě 。
　　 zhèng míng：∵ -c^2+a^2+2ab-2bc=0，
　　∴ (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
　　∴ (a-c)(a+2b+c)=0．
　　∵ a、 b、 c shì△ ABC de sān tiáo biān，
　　∴ a＋ 2b＋ c＞ 0．
　　∴ a－ c＝ 0，
　　 jí a＝ c，△ ABC wéi děng yāo sān jiǎo xíng。
　　4． bǎ -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) fēn jiě yīn shì。
　　 jiě： -12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
yīn shì fēn jiě sì gè zhù yì：
　　 yīn shì fēn jiě zhōng de sì gè zhù yì， kě yòng sì jù huà gài kuò rú xià： shǒu xiàng yòu fù cháng tí fù， gè xiàng yòu“ gōng” xiān tí“ gōng”， mǒu xiàng tí chū mò lòu 1， kuò hào lǐ miàn fēn dào“ dǐ”。 xiàn jǔ xià lì kě gōng cān kǎo
　　 lì 1 bǎ－ a2－ b2＋ 2ab＋ 4 fēn jiě yīn shì。
　　 jiě：－ a2－ b2＋ 2ab＋ 4＝－（ a2－ 2ab＋ b2－ 4）＝－（ a－ b＋ 2）（ a－ b－ 2）
　　 zhè lǐ de“ fù”， zhǐ“ fù hào”。 rú guǒ duō xiàng shì de dì yī xiàng shì fù de， yī bān yào tí chū fù hào， shǐ kuò hào nèi dì yī xiàng xì shù shì zhèng de。 fáng zhǐ xué shēng chū xiàn zhū rú－ 9x2＋ 4y2＝（－ 3x） 2－（ 2y） 2＝（－ 3x＋ 2y）（－ 3x－ 2y）＝（ 3x－ 2y）（ 3x＋ 2y） de cuò wù
　　 lì 2 bǎ－ 12x2ｎ yn＋ 18xn＋ 2yn＋ 1－ 6xnyn－ 1 fēn jiě yīn shì。 jiě：－ 12x2nyn＋ 18xn＋ 2yn＋ 1－ 6xnyn－ 1＝－ 6xnyn－ 1（ 2xny－ 3x2y2＋ 1）
　　 zhè lǐ de“ gōng” zhǐ“ gōng yīn shì”。 rú guǒ duō xiàng shì de gè xiàng hán yòu gōng yīn shì， nà me xiān tí qǔ zhè gè gōng yīn shì， zài jìn yī bù fēn jiě yīn shì； zhè lǐ de“ 1”， shì zhǐ duō xiàng shì de mǒu gè zhěng xiàng shì gōng yīn shì shí， xiān tí chū zhè gè gōng yīn shì hòu， kuò hào nèi qiē wù lòu diào 1。
　　 fēn jiě yīn shì， bì xū jìn xíng dào měi yī gè duō xiàng shì yīn shì dōubù néng zài fēn jiě wéi zhǐ。 jí fēn jiě dào dǐ， bù néng bàn tú 'ér fèi de yì sī。 qí zhōng bāo hán tí gōng yīn shì yào yī cì xìng tí“ gān jìng”， bù liú“ wěi bā”， bìng shǐ měi yī gè kuò hào nèi de duō xiàng shì dōubù néng zài fēn jiě。 fáng zhǐ xué shēng chū xiàn zhū rú 4x4y2－ 5x2y2－ 9y2＝ y2（ 4x4－ 5x2－ 9）＝ y2（ x2＋ 1）（ 4x2－ 9） de cuò wù。
　　 kǎo shì shí yìng zhù yì：
　　 zài méi yòu shuō míng huà dào shí shù shí， yī bān zhǐ huà dào yòu lǐ shù jiù gòu liǎo
　　 yóu cǐ kàn lái， yīn shì fēn jiě zhōng de sì gè zhù yì guàn chuān yú yīn shì fēn jiě de sì zhǒng jī běn fāng fǎ zhī zhōng， yǔ yīn shì fēn jiě de sì gè bù zhòu huò shuō yī bān sī kǎo shùn xù de sì jù huà：“ xiān kàn yòu wú gōng yīn shì， zài kàn néng fǒu tào gōng shì， shí zì xiāng chéng shì yī shì， fēn zǔ fēn jiě yào hé shì” shì yī mài xiāng chéng de。
yīn shì fēn jiě de yìng yòng
　　1、 yìng yòng yú duō xiàng shì chú fǎ。
　　2、 yìng yòng yú gāo cì fāng chéng de qiú gēn
　　3、 yìng yòng yú fēn shì de yùn suàn
yīngwénjièshì
  1. n.:  factoring,  factorization
  2. vt.:  factorise,  factorize
xiàngguāncí
shù xué jì suàn yī yuán 'èr cì fāng chéng shí shù dài shù duō xiàng shì yú shù dìng lǐ shí zì xiāng chéng fǎ
shuāng shí zì xiāng chéng fǎ dìng lǐ fāng chéng jué duì zhí niǔ jié
bāo hán cí
yīn shì fēn jiě fǎyīn shì fēn jiě dìng lǐjìn sì yīn shì fēn jiě fǎ