| | | xiàng liàng kōng jiān （ vectorspace）， xiàn xìng dài shù gài niàn， jiě xī jǐ hé zhōng píng miàn v2， kōng jiān v3 de tuī guǎng。 zài qǔ dìng zuò biāo xì hòu， píng miàn shàng de diǎn kě yóu shí shù duì（ a， b） biǎo shì， kōng jiān de diǎn kě yóu sān yuán shí shù zǔ (a， b， c) biǎo shì。 tuī guǎng zhī， kǎo lǜ shù yù f de n yuán shù zǔ jí fn ＝ ｛（ a1， …， an） ｜ ai ∈ f， i＝ 1， 2，…， n ｝， fn duì jǔ zhèn de jiā fǎ jí shù chéng zuò chéng de dài shù xì chēng wéi f shàng de yī gè n wéi xiàng liàng kōng jiān huò n wéi xiàn xìng kōng jiān， fn zhōng de yuán sù chēng wéi xiàng liàng。 lèi sì yú zài v3 de rèn yī zuò biāo xì xià， měi gè xiàng liàng yòu wéi yī de zuò biāo， fn zhōng měi gè xiàng liàng a＝（ a1，…， an） kě yóu e1＝（ 1， 0，…， 0）， e2＝（ 0， 1，…， 0），…， en＝（ 0， 0，…， 1） wéi yī dì biǎo shì： a＝ a1e1 ＋…＋ anen。 e1，…， en chēng wéi fn de yī gè jī， n chēng wéi fn de wéi shù，（ a1，…， an） chēng wéi a guān yú jī e1，…， en de zuò biāo。 xiàng liàng kōng jiān de dìng yì hái kě yǐ yī bān huà， ruò v shì yī gè fēi kōng jí hé， v yòu jiā fǎ， shù yù f duì v yòu shù chéng fǎ， qiě zhè liǎng zhǒng yùn suàn mǎn zú yī dìng tiáo jiàn， zé chēng v shì f shàng de xiàng liàng kōng jiān ， v de yuán sù chēng wéi xiàng liàng。 ruò a1，…， an， β∈ v， l1，…， ln∈ f， β＝ l1α1＋…＋ lnan， zé chēng β kě yóu a1，…， an xiàn xìng biǎo shì， ruò cún zài bù quán wéi 0 de l1，…， ln， shǐ l1a1＋…＋ lnan， wéi líng xiàng liàng， zé chēng a1，…， an xiàn xìng xiāng guān， fǒu zé， chēng a1，…， an xiàn xìng wú guān。 ruò v zhōng měi gè xiàng liàng kě yóu a1，…， an wéi yī dì biǎo shì， zé chēng a1，…， an wéi v de yī gè jī， n chēng v de wéi shù。 f shàng měi gè n wéi xiàng liàng kōng jiān yǔ fn yòu xiāng tóng de dài shù xìng zhì， jí tā men tóng gòu。 xiàng liàng kōng jiān tǎo lùn xiàng liàng jiān xiàn xìng guān xì， zǐ kōng jiān jí kōng jiān fēn jiě děng。 shù xué zhōng fán tǎo lùn xiàn xìng wèn tí shí， kě lì yòng xiàng liàng kōng jiān de guān diǎn。 | | xiàng liàng kōng jiān
（ huò chēng xiàn xìng kōng jiān） shì xiàn dài shù xué zhōng de yī gè jī běn gài niàn。 shì xiàn xìng dài shù yán jiū de jī běn duì xiàng。
xiàng liàng kōng jiān de yī gè zhí guān mó xíng shì xiàng liàng jǐ hé， jǐ hé shàng de xiàng liàng jí xiāng guān de yùn suàn jí xiàng liàng jiā fǎ， biāo liàng chéng fǎ， yǐ jí duì yùn suàn de yī xiē xiàn zhì rú fēng bì xìng， jié hé lǜ， yǐ dà zhì dì miáo shù liǎo “ xiàng liàng kōng jiān ” zhè gè shù xué gài niàn de zhí guān xíng xiàng。
zài xiàn dài shù xué zhōng，“ xiàng liàng” de gài niàn bù jǐn xiàn yú cǐ， fú hé xià liè gōng lǐ de rèn hé shù xué duì xiàng dōukě bèi dāng zuò xiàng liàng chǔlǐ。 pì rú， shí xì shù duō xiàng shì de jí hé zài dìng yì shìdàng de yùn suàn hòu gòu chéng xiàng liàng kōng jiān ， zài dài shù shàng chù lǐ shì fāng biàn de。 dān biàn yuán shí hán shù de jí hé zài dìng yì shìdàng de yùn suàn hòu， yě gòu chéng xiàng liàng kōng jiān ， yán jiū cǐ lèi hán shù xiàng liàng kōng jiān de shù xué fēn zhī chēng wéi fàn hán fēn xī。
gōng lǐ huà dìng yì
gěi dìng yù F， yī gè xiàng liàng kōng jiān shì gè jí hé V bìng guī dìng liǎng gè yùn suàn：
xiàng liàng jiā fǎ： V×V → V jì zuò v+w,∃v,w∈ V，
biāo liàng chéng fǎ： F×V→ V jì zuò av,∃a∈ F jí v∈ V。
fú hé xià liè gōng lǐ (∀a,b∈ F jí u,v,w∈ V)：
xiàng liàng jiā fǎ jié hé lǜ： u+(v+w)=(u+v)+w.
xiàng liàng jiā fǎ jiāo huàn lǜ :v+w=w+v.
xiàng liàng jiā fǎ de dān wèi yuán :V lǐ yòu yī gè jiào zuò líng xiàng liàng de 0， ∀v∈ V,v+0=v.
xiàng liàng jiā fǎ de nì yuán sù :∀v∈ V,∃w∈ V, dǎo zhì v+w=0.
biāo liàng chéng fǎ fēn pèi yú xiàng liàng jiā fǎ shàng :a(v+w)=av+aw.
biāo liàng chéng fǎ fēn pèi yú yù jiā fǎ shàng :(a+b)v=av+bv.
biāo liàng chéng fǎ yī zhì yú biāo liàng de yù chéng fǎ :a(bv)=(ab)v。
biāo liàng chéng fǎ yòu dān wèi yuán :1v=v, zhè lǐ 1 zhǐ shì yù F de chéng fǎ dān wèi yuán .
yòu xiē jiào kē shū hái qiáng diào yǐ xià liǎng gè bì bāo gōng lǐ：
V bì hé zài xiàng liàng jiā fǎ xià： v+w∈ V.
V bì hé zài biāo liàng chéng fǎ xià :av∈ V.
jiǎn 'ér yán zhī， xiàng liàng kōng jiān shì yī gè F- mó。
V de chéng yuán jiào zuò xiàng liàng 'ér F de chéng yuán jiào zuò biāo liàng
ruò F shì shí shù yù R， V chēng wéi shí shù xiàng liàng kōng jiān .
ruò F shì fù shù yù C， V chēng wéi fù shù xiàng liàng kōng jiān .
ruò F shì yòu xiàn yù， V chēng wéi yòu xiàn yù xiàng liàng kōng jiān
duì yī bān yù F， V chēng wéi F- xiàng liàng kōng jiān
jī chǔ tè xìng
shǒu 5 gè gōng lǐ shì shuō míng xiàng liàng V zài xiàng liàng jiā fǎ zhōng shì gè kě huàn qún . yú xià de 5 gè gōng lǐ yìng yòng yú biāo liàng chéng fǎ .
zhè xiē dōushì yī xiē tè xìng hěn róng yì cóng xiàng liàng kōng jiān gōng lǐ tuī zhǎn chū lái de . rú xià :
líng xiàng liàng 0∈ V( gōng lǐ 3) shì wéi yī de .
a0=0∀a∈ F.
0v=0∀v∈ V zhè lǐ 0 shì F de jiā fǎ dān wèi yuán .
av=0， zé kě yǐ tuī chū yào me a=0， yào me v=0.
kě jiā de nì yuán xiàng liàng v( gōng lǐ 4) shì wéi yī de .( xiě chéng −v). zhè gè xiě fǎ v−w jí v+(−w) dōushì biāo zhǔn de .
(−1)v=−v∀v∈ V.
(−a)v=a(−v)=−(av)∀a∈ F,∀v∈ V.
lì zǐ
cān jiàn xiàng liàng kōng jiān lì zǐ
zǐ kōng jiān jí jī
yī gè xiàng liàng kōng jiān V de yī gè fēi kòngzi jí hé W zài jiā fǎ jí biāo liàng chéng fǎ zhōng biǎo xiàn mì bì xìng， bèi chēng wéi V de xiàn xìng zǐ kōng jiān。
gěi chū yī gè xiàng liàng jí hé B， nà me bāo hán tā de zuì xiǎo zǐ kōng jiān jiù chēng wéi tā de kuò zhāng， jì zuò span(B)。
gěi chū yī gè xiàng liàng jí hé B， ruò tā de kuò zhāng jiù shì xiàng liàng kōng jiān V， zé chēng B wéi V de shēng chéng jí。
yī gè xiàng liàng kōng jiān V zuì dà de xiàn xìng dú lì zǐ jí， chēng wéi zhè gè kōng jiān de jī。 ruò V=0， wéi yī de jī shì kōng jí。 duì fēi líng xiàng liàng kōng jiān V， jī shì V zuì xiǎo de shēng chéng jí。
rú guǒ yī gè xiàng liàng kōng jiān V yōng yòu yī gè yuán sù gè shù yòu xiàn de shēng chéng jí， nà me jiù chēng V shì yī gè yòu xiàn wéi kōng jiān。 xiàng liàng kōng jiān de suǒ yòu jī yōng yòu xiāng tóng jī shù， chēng wéi gāi kōng jiān de wéi dù。 lì rú , shí shù xiàng liàng kōng jiān ： R0,R1,R2,R3,… ,R ∞ ,… zhōng， Rn de wéi dù jiù shì n。
kōng jiān nèi de měi gè xiàng liàng dōuyòu wéi yī de fāng fǎ biǎo dá chéng jī zhōng yuán sù de xiàn xìng zǔ hé。 bǎ jī zhōng yuán sù pái liè， xiàng liàng biàn kě yǐ zuò biāo xì tǒng lái chéng xiàn。
xiàn xìng yìng shè
gěi liǎng gè xiàng liàng kōng jiān V hé W zài tóng yī gè F chǎng , shè dìng yóu V dào W de xiàn xìng biàn huàn huò“ xiàn xìng yìng shè” . zhè xiē yóu V dào W de yìng shè dōuyòu gòng tóng diǎn jiù shì tā men bǎo chí zǒng hé jí biāo liàng shāng shù . zhè gè jí hé bāo hán suǒ yòu yóu V dào W de xiàn xìng yìng shè , yǐ L(V,W) lái miáo shù , yě shì yī gè F chǎng lǐ de xiàng liàng kōng jiān . dāng V jí W bèi què dìng hòu , xiàn xìng yìng shè kě yǐ yòng jǔ zhèn lái biǎo dá .
tóng gòu shì yī duì yī de yī zhāng xiàn xìng yìng shè . rú guǒ zài V hé W zhī jiān cún zài tóng gòu , wǒ men chēng zhè liǎng gè kōng jiān wéi tóng gòu ; tā men gēn běn shàng shì rán hòu xiāng tóng de。
yī gè zài F chǎng de xiàng liàng kōng jiān jiā shàng xiàn xìng yìng shè jiù kě yǐ gòu chéng yī gè fàn chóu， jí 'ā bèi 'ěr fàn chóu。
gài niàn huà jí 'é wài jié gòu
yán jiū xiàng liàng kōng jiān hěn zì rán shè jí yī xiē 'é wài jié gòu。 é wài jié gòu rú xià：
yī gè shí shù huò fù shù xiàng liàng kōng jiān jiā shàng cháng dù gài niàn。 jiù shì fàn shù chēng wéi fù fàn xiàng liàng kōng jiān 。
yī gè shí shù huò fù shù xiàng liàng kōng jiān jiā shàng cháng dù hé jiǎo dù de gài niàn， chēng wéi nèi jī kōng jiān。
yī gè xiàng liàng kōng jiān jiā shàng tuò pū xué fú hé yùn suàn de（ jiā fǎ jí biāo liàng chéng fǎ shì lián xù yìng shè） chēng wéi tuò pū xiàng liàng kōng jiān 。
yī gè xiàng liàng kōng jiān jiā shàng shuāng xiàn xìng suàn zǐ（ dìng yì wéi xiàng liàng chéng fǎ） shì gè yù dài shù。
xiàng liàng kōng jiān de tóng gòu
zài yù F shàng de liǎng gè xiàng liàng kōng jiān V yǔ V'， rú guǒ cún zài yī gè shuāng shè φ： V→ V' bìng qiě φ(aμ+bν)=aφ(μ)+bφ(ν)， a， b∈ F， μ， ν∈ V ． zhè yàng V yǔ V' biàn shì tóng gòu。 | | xiangliang kongjian
xiàng liàng kōng jiān
vectorspace
yòu chēng xiàn xìng kōng jiān。 zài jiě xī jǐ hé xué lǐ yǐn rù xiàng liàng gài niàn hòu， shǐ xǔ duō wèn tí de chǔlǐ biàn dé gèng wéi jiǎn jié hé qīng xī， zài cǐ jī chǔ shàng de jìn yī bù chōu xiàng huà， xíng chéng liǎo yǔ yù xiāng lián xì de xiàng liàng kōng jiān gài niàn。 xiàng liàng kōng jiān shì xiàn xìng dài shù de zhōng xīn nèi róng hé jī běn gài niàn zhī yī。 tā de lǐ lùn hé fāng fǎ zài kē xué jì shù de gè gè lǐng yù dōuyòu guǎng fàn de yìng yòng。
shè □ shì yī gè fēi kōng jí hé ,□ shì yī gè yù。 zài□ de yuán sù zhī jiān dìng yì liǎo suǒ wèi jiā fǎ , jí duì yú□ de rèn yì yī duì yuán sù□、□ ,□ zhōng yòu wéi yī què dìng de yuán sù yǔ zhī duì yìng， zhè gè yuán sù chēng wéi□ yǔ□ de hé， jì zuò□ +□。 zài□ de yuán sù yǔ□ de yuán sù zhī jiān dìng yì liǎo suǒ wèi chéng fǎ， jí duì yú□ de rèn yì yuán sù□ yǔ□ de rèn yì yuán sù□ ,□ zhōng yòu wéi yī què dìng de yuán sù yǔ zhī duì yìng， zhè gè yuán sù chēng wéi□ yǔ□ de jī， jì zuò□□。 rú guǒ suǒ shù de jiā fǎ hé chéng fǎ mǎn zú yǐ xià guī zé， nà me jí hé□ chēng wéi yù□ shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān 。
jiā fǎ de sì tiáo guī zé ① jié hé lǜ , jí□ +(□ +□ )=(□ +□ )+□□ ; ② jiāo huàn lǜ , jí□ +□ =□ +□□ ; ③ zài□ zhōng cún zài yī gè“ líng yuán sù” , jì zuò 0, duì yú□ de rèn yì yuán sù□□ dōuyòu 0+□ =□ ; ④ duì yú□ de měi yī gè yuán sù□， zài□ zhōng cún zài fù yuán sù －□， shǐ dé (-□ )+□ =0。
chéng fǎ de liǎng tiáo guī zé ⑤ jié hé lǜ， jí (□□ )□ =□ (□□ )； ⑥□ shì□ zhōng de rèn yì yuán sù， 1 shì□ de dān wèi yuán sù， 1□ =□。
jiā fǎ hé chéng fǎ de liǎng tiáo guī zé ⑦□ (□ +□ )=□□ +□□ ; ⑧ (□ +□ )□ =□□ +□□， yǐ shàng gè shì zhōng de□、□、□ shì□ de rèn yì yuán sù ,□、□□ shì□ de rèn yì yuán sù。
yù□ shàng xiàng liàng kōng jiān V de yuán sù， chēng wéi xiàng liàng。□ zhōng de líng yuán sù， chēng wéi líng xiàng liàng。□ de yuán sù□ de fù yuán sù -□ , chēng wéi□ de fù xiàng liàng。 yù□ zhōng de yuán sù， chēng wéi chún liàng。
xiàng liàng kōng jiān de jiā fǎ hé chéng fǎ biǎo dá chū xiàng liàng zhī jiān de jī běn guān xì。 suí zhe suǒ kǎo lǜ de duì xiàng bù tóng， zhè liǎng zhǒng yùn suàn de dìng yì yě bù tóng。 lì rú , lìng□ shì shí shù yù，□□ shì yī qiē sān yuán shí shù zǔ suǒ chéng de jí hé， jí□， jiā fǎ de dìng yì shì□□ , chéng fǎ de dìng yì shì□， zhè lǐ□ dōushì□□ zhōng yuán sù ,□ shì□ zhōng yuán sù。 yú shì□□□ shì shí shù yù shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān 。 shè F shì yī gè yù，□□ shì rèn yì qǔ dìng de yī gè zhèng zhěng shù，□□ dìng yì jiā fǎ wéi□ +□ =(□□ +□□ ,□□ +□□ ,… ,□□ +□□ )， dìng yì chéng fǎ wéi□□＝ (□□□ ,□□□ ,… ,□□□ )， zhè lǐ□＝ (□□ ,□□ ,… ,□□ ),□＝ (□□ ,□□ ,… ,□□ ) dōushì□□ zhōng yuán sù ,□ shì□ de yuán sù ,□ zé□□ shì yù□□ shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān 。□□ shì R3 de tuī guǎng。 zài mǒu yī bì qū jiān shàng lián xù de shí hán shù quán tǐ suǒ chéng de jí hé， duì yú hán shù de jiā fǎ hé shí shù yǔ hán shù de chéng fǎ， shì shí shù yù shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān 。 cì shù bù chāo guò mǒu yī gěi dìng de fēi fù zhěng shù□ de fù xì shù duō xiàng shì de quán tǐ yǔ líng duō xiàng shì suǒ chéng de jí hé□ , duì yú duō xiàng shì de jiā fǎ hé fù shù yǔ duō xiàng shì de chéng fǎ， shì fù shù yù shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān 。
zǐ kōng jiān rú guǒ yù□ shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān □ de fēi kòngzi jí W, duì□ de jiā fǎ hé chéng fǎ yě gòu chéng□□ shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān ， nà me W chēng wéi□ de yī gè xiàn xìng zǐ kōng jiān， jiǎn chēng zǐ kōng jiān。 rú guǒ□ de rèn yī xiàng liàng□ kě wéi yī de biǎo wéi qí zǐ kōng jiān W□ de xiàng liàng□ u□ (□ =1,2,… ,□ ) de hé , jí□ =□□ +□□ +… +□□ , nà me□ chēng wéi qí zǐ kōng jiān W□ ,W□ ,… ,W□ de zhí hé， jì wéi□□ de yī gè fēi kòngzi jí shì□ de zǐ kōng jiān de chōng fēn bì yào tiáo jiàn wéi： duì yú□ de rèn yì xiàng liàng□、□ yǐ jí□ de rèn yì chún liàng□□、□， yòu□□ +□□ zài W zhōng。 lì rú， xiàng liàng kōng jiān □ běn shēn yǐ jí yóu yī gè líng xiàng liàng suǒ chéng de jí hé {0}， dōushì□ de zǐ kōng jiān， chēng wéi□ de píng fán zǐ kōng jiān。□ xiàng liàng kōng jiān □□□ de zǐ jí W＝ {(□□ ,… ,□□ -1,0)|□□□□□□ ,1 ≤□≤□ -1}, shì□□ de yī gè zǐ kōng jiān。 xì shù zài yù□ zhōng de□□ yuán qí cì xiàn xìng fāng chéng zǔ de suǒ yòu de jiě， shì□□□ de yī gè zǐ kōng jiān， bìng chēng wéi suǒ gěi qí cì xiàn xìng fāng chéng zǔ de jiě kōng jiān。
jī、 zuò biāo hé wéi shù shè□□□ ,□□ ,… ,□□ shì yù□ shàng yī gè xiàng liàng kōng jiān □ de xiàng liàng ,□□ ,□□ ,… ,□□ shì yù□ de yuán sù。□ biǎo shì shì□□□□ +□□□□ +… +□□□□， chēng wéi□□ ,□□ ,… ,□□□ de xiàn xìng zǔ hé。 rú guǒ cún zài□□ zhōng bù quán wéi líng de yuán sù□□ ,□□ , | | | jǔ zhèn | yìng shè | shù xué | bǎi kē dà quán | |
| | | shuāng xiàng liàng kōng jiān | yòu xiàng liàng kōng jiān | qiē xiàng liàng kōng jiān | | fù xiàng liàng kōng jiān | shí xiàng liàng kōng jiān | líng xiàng liàng kōng jiān | | fù fàn xiàng liàng kōng jiān | tuò pū xiàng liàng kōng jiān | xiàng liàng kōng jiān mó xíng | | yòu lǐ xiàng liàng kōng jiān | èr wéi xiàng liàng kōng jiān | xiàng liàng kōng jiān zhí hé | | duì 'ǒu xiàng liàng kōng jiān | xiàng liàng kōng jiān de jī | shù zǔ xiàng liàng kōng jiān | | xiàng liàng kōng jiān de fù huà | yòu tuò pū xiàng liàng kōng jiān | yòu xiàn wéi xiàng liàng kōng jiān | | yù shàng de xiàng liàng kōng jiān | xiàng liàng kōng jiān shàng de zhāng liàng | ōu jǐ lǐ dé xiàng liàng kōng jiān | | tuò pū xiàng liàng kōng jiān zhōng de cèduó | yòu xiàn kě shēng chéng xiàng liàng kōng jiān | |
|
|
|