mùlù ① yòu chēng “ shǐ liàng ” 。 jì yòu dà xiǎo ， yòu yòu fāng xiàng de liàng 。 kě yòng dài yòu fāng xiàng de xiàn duàn lái biǎo shì ， xiàn duàn de cháng dù biǎo shì xiàng liàng de dà xiǎo ， yě chēng “ xiàng liàng de mó ”。 zài dài shù zhōng ， xiàng liàng cháng yòng n yuán yòu xù shù zǔ (x … ， x lái biǎo shì 。 xiàng liàng yùn suàn yǔ yī bān shù liàng yùn suàn bù tóng ， yòu xiàng liàng jiā fǎ 、 xiàng liàng jiǎn fǎ 、 shù chéng xiàng liàng 、 shù liàng jī hé xiàng liàng jī wǔ zhǒng 。 xiàng liàng gài niàn chú liǎo zài shù xué shàng yòu zhòng yào yì yì wài ， zài wù lǐ xué zhōng yòu guǎng fàn yìng yòng ， rú lì 、 sù dù 、 wèi yí 、 diàn chǎng qiáng dù děng wù lǐ liàng dōushì xiàng liàng 。
② xiàn xìng biǎo de yī zhǒng cún chǔ jié gòu 。 yòng yī zǔ lián xù de cún chǔ dān yuán yǐ cì cún fàng xiàn xìng biǎo zhōng de gè gè shù jù yuán sù 。 yī gè shù jù yuán sù kě zhàn jù yī gè huò jǐ gè cún chǔ dān yuán 。 xiàng liàng shì yī zhǒng kě suí jī cún qǔ de cún chǔ jié gòu ， qí zhōng rèn yī fènliàng de cún qǔ shí jiān xiāng tóng 。 wǒ men zhī dào ， wèi yí shì jì yòu dà xiǎo yòu yòu fāng xiàng de liàng ． shì shí shàng ， xiàn shí shì jiè zhōng ， zhè zhǒng liàng shì hěn duō de ， rú lì 、 sù dù 、 jiā sù dù děng ． wǒ men bǎ jì yòu dà xiǎo yòu yòu fāng xiàng de liàng jiào zuò xiàng liàng ． yì chēng shǐ liàng .
zài xiàn xìng dài shù zhōng de xiàng liàng shì zhǐ ,n gè shí shù zǔ chéng de yòu xù shù zǔ chēng wéi n wéi xiàng liàng . yī bān yòng α,β,γ děng xī là zì mǔ biǎo shì . yòu shí yě yòng a,b,c,o,u,v,x,y děng lā dīng zì mǔ biǎo shì .
chēng wéi n wéi xiàng liàng . qí zhōng ai chēng wéi xiàng liàng α de dì i gè fènliàng .
de "1" wéi a de xià biāo ,"ai" de "i" wéi a de xià biāo , qí tā lèi tuī ) biāo liàng hé xiàng liàng shì yī duì fǎn yì cí . biāo liàng shì zhǐ yòu dà xiǎo dàn méi yòu fāng xiàng de liàng . lì rú jù lí . guī dìng liǎo fāng xiàng hé dà xiǎo de liàng chēng wéi xiàng liàng ． xiàng liàng yòu chēng wéi shǐ liàng ， zuì chū bèi yìng yòng yú wù lǐ xué ． hěn duō wù lǐ liàng rú lì 、 sù dù 、 wèi yí yǐ jí diàn chǎng qiáng dù 、 cí gǎn yìng qiáng dù děngdōu shì xiàng liàng ． dà yuē gōng yuán qián 350 nián qián ， gǔ xī là zhù míng xué zhě yà lǐ shì duō dé jiù zhī dào liǎo lì kě yǐ biǎo shì chéng xiàng liàng ， liǎng gè lì de zǔ hé zuò yòng kě yòng zhù míng de píng xíng sì biān xíng fǎ zé lái dé dào ．“ xiàng liàng ” yī cí lái zì lì xué 、 jiě xī jǐ hé zhōng de yòu xiàng xiàn duàn ． zuì xiān shǐ yòng yòu xiàng xiàn duàn biǎo shì xiàng liàng de shì yīng guó dà kē xué jiā niú dùn ． zài shù xué zhōng ， wǒ men tōng cháng yòng diǎn biǎo shì wèi zhì ， yòng shè xiàn biǎo shì fāng xiàng ． zài píng miàn nèi ， cóng rèn yī diǎn chū fā de suǒ yòu shè xiàn ， kě yǐ fēn bié yòng lái biǎo shì píng miàn nèi de gè gè fāng xiàng xiàng liàng cháng yòng yī tiáo yòu xiàng xiàn duàn lái biǎo shì ， yòu xiàng xiàn duàn de cháng dù biǎo shì xiàng liàng de dà xiǎo ， jiàn tóu suǒ zhǐ de fāng xiàng biǎo shì xiàng liàng de fāng xiàng ．
xiàng liàng yě kě yòng zì mǔ a①、 b、 c děng biǎo shì ， huò yòng biǎo shì xiàng liàng de yòu xiàng xiàn duàn de qǐ diǎn hé zhōng diǎn zì mǔ biǎo shì ．
xiàng liàng de dà xiǎo ， yě jiù shì xiàng liàng de cháng dù ( huò chēng mó )， jì zuò |a| cháng dù wéi 0 de xiàng liàng jiào zuò líng xiàng liàng ， jì zuò 0． cháng dù děng yú 1 gè dān wèi cháng dù de xiàng liàng ， jiào zuò dān wèi xiàng liàng ． píng xíng xiàng liàng yǔ xiāng děng xiàng liàng fāng xiàng xiāng tóng huò xiāng fǎn de fēi líng xiàng liàng jiào zuò píng xíng xiàng liàng ． xiàng liàng a、 b、 c píng xíng ， jì zuò a ∥ b∥ c． wǒ men guī dìng 0 yǔ rèn yī xiàng liàng píng xíng ．
cháng dù xiāng děng qiě fāng xiàng xiāng tóng de xiàng liàng jiào zuò xiāng děng xiàng liàng ． xiàng liàng a yǔ b xiāng děng ， jì zuò a=b． líng xiàng liàng yǔ líng xiàng liàng xiāng děng ． rèn yì liǎng gè xiāng děng de fēi líng xiàng liàng ， dōukě yòng tóng yī tiáo yòu xiàng xiàn duàn lái biǎo shì ， bìng qiě yǔ yòu xiàng xiàn duàn de qǐ diǎn wú guān ． 1、 xiàng liàng de jiā fǎ ：
shè a=（ x,y） b=(x',y')
zé a+b=(x+x',y+y')
xiàng liàng de jiā fǎ mǎn zú píng xíng sì biān xíng fǎ zé hé sān jiǎo xíng fǎ zé 。
xiàng liàng jiā fǎ de xìng zhì ：
jiāo huàn lǜ ：
jié hé lǜ ：
xiàng liàng de jiǎn fǎ
ruò a//b
zé a=eb
zé xy`-x`y=0
ruò a chuí zhí b
zé ab=0
zé xx`+yy`=0
xiàng liàng de chéng fǎ
shè a=（ x,x'） b=(y,y')
diǎn jī ） =x·x'+y·y' zài chū zhōng kè gǎi jiào cái chū sān kè běn zhōng xué xí
gāo yī bì xiū 4 lǐ xué dào shù xué zhōng ， bǎ zhǐ yòu dà xiǎo dàn méi yòu fāng xiàng de liàng jiào zuò shù liàng （ huò chún liàng ）， wù lǐ zhōng cháng chēng wéi biāo liàng 。 shù xué zhōng ， jì yòu dà xiǎo yòu yòu fāng xiàng de liàng jiào zuò xiàng liàng （ yì chēng shǐ (shǐ) liàng ）。
zhù ： zài xiàn xìng dài shù zhōng de xiàng liàng shì zhǐ n gè shí shù zǔ chéng de yòu xù shù zǔ ， chēng wéi n wéi xiàng liàng 。 α=（ a1， a2，…， an） chēng wéi n wéi xiàng liàng . qí zhōng ai chēng wéi xiàng liàng α de dì i gè fènliàng 。
de "1" wéi a de xià biāo ， "ai" de "i" wéi a de xià biāo , qí tā lèi tuī ）。 1、 dài shù biǎo shì ： yī bān yìn shuà yòng hēi tǐ xiǎo xiě zì mǔ α、 β、 γ… huò a、 b、 c… děng lái biǎo shì ， shǒu xiě yòng zài a、 b、 c… děng zì mǔ shàng jiā yī jiàn tóu biǎo shì 。
jǐ hé biǎo shì ： xiàng liàng kě yǐ yòng yòu xiàng xiàn duàn lái biǎo shì 。 yòu xiàng xiàn duàn de cháng dù biǎo shì xiàng liàng de dà xiǎo ， jiàn tóu suǒ zhǐ de fāng xiàng biǎo shì xiàng liàng de fāng xiàng 。（ ruò guī dìng xiàn duàn AB de duān diǎn A wéi qǐ diǎn ， B wéi zhōng diǎn ， zé xiàn duàn jiù jù yòu liǎo cóng qǐ diǎn A dào zhōng diǎn B de fāng xiàng hé cháng dù 。 zhè zhǒng jù yòu fāng xiàng hé cháng dù de xiàn duàn jiào zuò yòu xiàng xiàn duàn 。）
zuò biāo biǎo shì ：
zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng ， fēn bié qǔ yǔ x zhóu 、 y zhóu fāng xiàng xiāng tóng de liǎng gè dān wèi xiàng liàng i， j zuò wéi yī zǔ jī dǐ 。 a wéi píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì nèi de rèn yì xiàng liàng ， yǐ zuò biāo yuán diǎn O wéi qǐ diǎn zuò xiàng liàng OP=a。 yóu píng miàn xiàng liàng jī běn dìng lǐ zhī ， yòu qiě zhǐ yòu yī duì shí shù （ x， y）， shǐ dé a= xiàng liàng OP=xi+yj， yīn cǐ bǎ shí shù duì （ x， y） jiào zuò xiàng liàng a de zuò biāo ， jì zuò a=（ x， y）。 zhè jiù shì xiàng liàng a de zuò biāo biǎo shì 。 qí zhōng （ x， y） jiù shì diǎn P de zuò biāo 。 xiàng liàng OP chēng wéi diǎn P de wèi zhì xiàng liàng 。
zài lì tǐ sān wéi zuò biāo xì zhōng , fēn bié qǔ yǔ x zhóu 、 y zhóu ,z zhóu fāng xiàng xiāng tóng de 3 gè dān wèi xiàng liàng i， j,k zuò wéi yī zǔ jī dǐ 。 ruò a wéi gāi zuò biāo xì nèi de rèn yì xiàng liàng ， yǐ zuò biāo yuán diǎn O wéi qǐ diǎn zuò xiàng liàng OP=a。 yóu kōng jiān jī běn dìng lǐ zhī ， yòu qiě zhǐ yòu yī duì shí shù （ x， y,z）， shǐ dé a= xiàng liàng OP=xi+yj+zk， yīn cǐ bǎ shí shù duì （ x， y,k） jiào zuò xiàng liàng a de zuò biāo ， jì zuò a=（ x， y,z）。 zhè jiù shì xiàng liàng a de zuò biāo biǎo shì 。 qí zhōng （ x， y,k） , yě jiù shì diǎn P de zuò biāo 。 xiàng liàng OP chēng wéi diǎn P de wèi zhì xiàng liàng 。
dāng rán , duì yú kōng jiān duō wéi xiàng liàng , kě yǐ tōng guò lèi tuī dé dào , cǐ lüè . xiàng liàng de mó hé xiàng liàng de shù liàng xiàng liàng de dà xiǎo ， yě jiù shì xiàng liàng de cháng dù ( huò chēng mó )。 xiàng liàng a de mó jì zuò |a|。
zhù ：
xiàng liàng de mó shì fēi fù shí shù ， shì kě yǐ bǐ jiào dà xiǎo de 。
yīn wéi fāng xiàng bù néng bǐ jiào dà xiǎo ， suǒ yǐ xiàng liàng yě jiù bù néng bǐ jiào dà xiǎo 。 duì yú xiàng liàng lái shuō “ dà yú ” hé “ xiǎo yú ” de gài niàn shì méi yòu yì yì de 。 lì rú ，“ xiàng liàng AB> xiàng liàng CD” shì méi yòu yì yì de 。 dān wèi xiàng liàng
cháng dù wéi dān wèi 1 de xiàng liàng ， jiào zuò dān wèi xiàng liàng ． yǔ xiàng liàng a tóng xiàng qiě cháng dù wéi dān wèi 1 de xiàng liàng ， jiào zuò a fāng xiàng shàng de dān wèi xiàng liàng ， jì zuò a0， a0=a/|a|。
líng xiàng liàng
cháng dù wéi 0 de xiàng liàng jiào zuò líng xiàng liàng ， jì zuò 0． líng xiàng liàng de shǐ diǎn hé zhōng diǎn chónghé ， suǒ yǐ líng xiàng liàng méi yòu què dìng de fāng xiàng ， huò shuō líng xiàng liàng de fāng xiàng shì rèn yì de 。
xiāng děng xiàng liàng
cháng dù xiāng děng qiě fāng xiàng xiāng tóng de xiàng liàng jiào zuò xiāng děng xiàng liàng ． xiàng liàng a yǔ b xiāng děng ， jì zuò a=b．
guī dìng ： suǒ yòu de líng xiàng liàng dū xiāng děng ．
dāng yòng yòu xiàng xiàn duàn biǎo shì xiàng liàng shí ， qǐ diǎn kě yǐ rèn yì xuǎn qǔ 。 rèn yì liǎng gè xiāng děng de fēi líng xiàng liàng ， dōukě yòng tóng yī tiáo yòu xiàng xiàn duàn lái biǎo shì ， bìng qiě yǔ yòu xiàng xiàn duàn de qǐ diǎn wú guān ． tóng xiàng qiě děng cháng de yòu xiàng xiàn duàn dū biǎo shì tóng yī xiàng liàng 。
zì yóu xiàng liàng
shǐ diǎn bù gù dìng de xiàng liàng ， tā kě yǐ rèn yì de píng xíng yí dòng ， ér qiě yí dòng hòu de xiàng liàng réng rán dài biǎo yuán lái de xiàng liàng 。
zài zì yóu xiàng liàng de yì yì xià ， xiāng děng de xiàng liàng dū kàn zuò shì tóng yī gè xiàng liàng 。
shù xué zhōng zhǐ yán jiū zì yóu xiàng liàng 。
huá dòng xiàng liàng
yán zhe zhí xiàn zuò yòng de xiàng liàng chēng wéi huá dòng xiàng liàng 。
gù dìng xiàng liàng
zuò yòng yú yī diǎn de xiàng liàng chēng wéi gù dìng xiàng liàng （ yì chēng jiāo zhe xiàng liàng ）。
wèi zhì xiàng liàng
duì yú zuò biāo píng miàn nèi de rèn yì yī diǎn P， wǒ men bǎ xiàng liàng OP jiào zuò diǎn P de wèi zhì xiàng liàng ， jì zuò ： xiàng liàng P。 yǔ a cháng dù xiāng děng 、 fāng xiàng xiāng fǎn de xiàng liàng jiào zuò a de xiāng fǎn xiàng liàng ， jì zuò -a。 yòu -（ -a） =a；
líng xiàng liàng de xiāng fǎn xiàng liàng réng shì líng xiàng liàng 。
píng xíng xiàng liàng
fāng xiàng xiāng tóng huò xiāng fǎn de fēi líng xiàng liàng jiào zuò píng xíng （ huò gòng xiàn ） xiàng liàng ． xiàng liàng a、 b píng xíng （ gòng xiàn ）， jì zuò a∥ b．
líng xiàng liàng cháng dù wéi líng ， shì qǐ diǎn yǔ zhōng diǎn chónghé de xiàng liàng ， qí fāng xiàng bù què dìng ， wǒ men guī dìng ： líng xiàng liàng yǔ rèn yī xiàng liàng píng xíng ．
píng xíng yú tóng yī zhí xiàn de yī zǔ xiàng liàng shì gòng xiàn xiàng liàng 。
gòng miàn xiàng liàng
píng xíng yú tóng yī píng miàn de sān gè （ huò duō yú sān gè ） xiàng liàng jiào zuò gòng miàn xiàng liàng 。
kōng jiān zhōng de xiàng liàng yòu qiě zhǐ yòu yī xià liǎng zhǒng wèi zhì guān xì ： ⑴ gòng miàn ； ⑵ bù gòng miàn 。
zhǐ yòu sān gè huò sān gè yǐ shàng xiàng liàng cái tán gòng miàn bù gòng miàn 。 shè a=（ x， y）， b=(x'， y')。
xiàng liàng de jiā fǎ
xiàng liàng de jiā fǎ mǎn zú píng xíng sì biān xíng fǎ zé hé sān jiǎo xíng fǎ zé 。
xiàng liàng jiā fǎ de yùn suàn lǜ ：
jiāo huàn lǜ ： a+b=b+a；
jié hé lǜ ： (a+b)+c=a+(b+c)。
xiàng liàng de jiǎn fǎ
rú guǒ a、 b shì hù wéixiàng fǎn de xiàng liàng ， nà me a=-b， b=-a， a+b=0.0 de fǎn xiàng liàng wéi 0
jí “ gòng tóng qǐ diǎn ， zhǐ xiàng bèi jiǎn ”
zé a-b=(x-x',y-y').
shù chéng xiàng liàng
shí shù λ hé xiàng liàng a de chéng jī shì yī gè xiàng liàng ， jì zuò λa， qiě ∣ λa∣ =∣ λ∣ ·∣ a∣。
dāng λ ＞ 0 shí ， λa yǔ a tóng fāng xiàng ；
dāng λ ＜ 0 shí ， λa yǔ a fǎn fāng xiàng ；
dāng λ=0 shí ， λa=0， fāng xiàng rèn yì 。
dāng a=0 shí ， duì yú rèn yì shí shù λ， dōuyòu λa=0。
zhù ： àn dìng yì zhī ， rú guǒ λa=0， nà me λ=0 huò a=0。
shí shù λ jiào zuò xiàng liàng a de xì shù ， chéng shù xiàng liàng λa de jǐ hé yì yì jiù shì jiāng biǎo shì xiàng liàng a de yòu xiàng xiàn duàn shēn cháng huò yā suō 。
dāng ∣ λ∣＞ 1 shí ， biǎo shì xiàng liàng a de yòu xiàng xiàn duàn zài yuán fāng xiàng （ λ＞ 0） huò fǎn fāng xiàng （ λ＜ 0） shàng shēn cháng wéi yuán lái de ∣ λ∣ bèi ；
dāng ∣ λ∣＜ 1 shí ， biǎo shì xiàng liàng a de yòu xiàng xiàn duàn zài yuán fāng xiàng （ λ＞ 0） huò fǎn fāng xiàng （ λ＜ 0） shàng suō duǎn wéi yuán lái de ∣ λ∣ bèi 。
shù yǔ xiàng liàng de chéng fǎ mǎn zú xià miàn de yùn suàn lǜ
jié hé lǜ ： (λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
xiàng liàng duì yú shù de fēn pèi lǜ （ dì yī fēn pèi lǜ ）： (λ+μ)a=λa+μa.
shù duì yú xiàng liàng de fēn pèi lǜ （ dì 'èr fēn pèi lǜ ）： λ(a+b)=λa+λb.
shù chéng xiàng liàng de xiāo qù lǜ ：① rú guǒ shí shù λ ≠ 0 qiě λa=λb， nà me a=b。② rú guǒ a≠ 0 qiě λa=μa， nà me λ=μ。
xiàng liàng de shù liàng jī
dìng yì ： yǐ zhī liǎng gè fēi líng xiàng liàng a,b。 zuò OA=a,OB=b, zé jiǎo AOB chēng zuò xiàng liàng a hé xiàng liàng b de jiā jiǎo ， jì zuò 〈 a,b 〉 bìng guī dìng 0 ≤ 〈 a,b〉≤ π
dìng yì ： liǎng gè xiàng liàng de shù liàng jī （ nèi jī 、 diǎn jī ） shì yī gè shù liàng ， jì zuò a·b。 ruò a、 b bù gòng xiàn ， zé a·b=|a|·|b|·cos〈 a， b〉； ruò a、 b gòng xiàn ， zé a·b=+-∣ a∣∣ b∣。
xiàng liàng de shù liàng jī de zuò biāo biǎo shì ： a·b=x·x'+y·y'。
xiàng liàng de shù liàng jī de yùn suàn lǜ
jiāo huàn lǜ ）；
guān yú shù chéng fǎ de jié hé lǜ )；
fēn pèi lǜ ）；
xiàng liàng de shù liàng jī de xìng zhì
de píng fāng 。
⊥ b〈 =〉 a·b=0。
gāi gōng shì zhèng míng rú xià ： |a·b|=|a|·|b|·|cosα| yīn wéi 0≤ |cosα|≤ 1， suǒ yǐ |a·b|≤ |a|·|b|）
xiàng liàng de shù liàng jī yǔ shí shù yùn suàn de zhù yào bù tóng diǎn
xiàng liàng de shù liàng jī bù mǎn zú jié hé lǜ ， jí ： (a·b)·c≠ a·(b·c)； lì rú ： (a·b)^2≠ a^2·b^2。
xiàng liàng de shù liàng jī bù mǎn zú xiāo qù lǜ ， jí ： yóu a·b=a·c(a≠ 0)， tuī bù chū b=c。
yóu |a|=|b|， tuī bù chū a=b huò a=-b。
xiàng liàng de xiàng liàng jī
dìng yì ： liǎng gè xiàng liàng a hé b de xiàng liàng jī （ wài jī 、 chā jī ） shì yī gè xiàng liàng ， jì zuò a×b。 ruò a、 b bù gòng xiàn ， zé a×b de mó shì ：∣ a×b∣ =|a|·|b|·sin〈 a， b〉； a×b de fāng xiàng shì ： chuí zhí yú a hé b， qiě a、 b hé a×b 'àn zhè gè cì xù gòu chéng yòu shǒu xì 。 ruò a、 b gòng xiàn ， zé a×b=0。
xiàng liàng de xiàng liàng jī xìng zhì ：
shì yǐ a hé b wéi biān de píng xíng sì biān xíng miàn jī 。
xiàng liàng de xiàng liàng jī yùn suàn lǜ
zhù ： xiàng liàng méi yòu chú fǎ ，“ xiàng liàng AB/ xiàng liàng CD” shì méi yòu yì yì de 。
sān xiàng liàng de hùn hé jī
dìng yì ： gěi dìng kōng jiān sān xiàng liàng a、 b、 c， xiàng liàng a、 b de xiàng liàng jī a×b， zài hé xiàng liàng c zuò shù liàng jī (a×b)·c， suǒ dé de shù jiào zuò sān xiàng liàng a、 b、 c de hùn hé jī ， jì zuò (a,b,c) huò (abc)， jí (abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
hùn hé jī jù yòu xià liè xìng zhì ：
sān gè bù gòng miàn xiàng liàng a、 b、 c de hùn hé jī de jué duì zhí děng yú yǐ a、 b、 c wéi lēng de píng xíng liù miàn tǐ de tǐ jī V， bìng qiě dāng a、 b、 c gòu chéng yòu shǒu xì shí hùn hé jī shì zhèng shù ； dāng a、 b、 c gòu chéng zuǒ shǒu xì shí ， hùn hé jī shì fù shù ， jí (abc)=εV（ dāng a、 b、 c gòu chéng yòu shǒu xì shí ε=1； dāng a、 b、 c gòu chéng zuǒ shǒu xì shí ε=-1）
shàng xìng zhì de tuī lùn ： sān xiàng liàng a、 b、 c gòng miàn de chōng yào tiáo jiàn shì (abc)=0
xiàng liàng de sān jiǎo xíng bù děng shì
dāng qiě jǐn dāng a、 b fǎn xiàng shí ， zuǒ biān qǔ děng hào ；
dāng qiě jǐn dāng a、 b tóng xiàng shí ， yòu biān qǔ děng hào 。
dāng qiě jǐn dāng a、 b tóng xiàng shí ， zuǒ biān qǔ děng hào ；
dāng qiě jǐn dāng a、 b fǎn xiàng shí ， yòu biān qǔ děng hào 。
dìng bǐ fēn diǎn
dìng bǐ fēn diǎn gōng shì （ xiàng liàng P1P=λ· xiàng liàng PP2）
shè P1、 P2 shì zhí xiàn shàng de liǎng diǎn ， P shì l shàng bù tóng yú P1、 P2 de rèn yì yī diǎn 。 zé cún zài yī gè shí shù λ， shǐ xiàng liàng P1P=λ· xiàng liàng PP2， λ jiào zuò diǎn P fēn yòu xiàng xiàn duàn P1P2 suǒ chéng de bǐ 。
ruò P1（ x1,y1)， P2(x2,y2)， P(x,y)， zé yòu
dìng bǐ fēn diǎn xiàng liàng gōng shì ）
dìng bǐ fēn diǎn zuò biāo gōng shì ）
wǒ men bǎ shàng miàn de shì zǐ jiào zuò yòu xiàng xiàn duàn P1P2 de dìng bǐ fēn diǎn gōng shì
sān diǎn gòng xiàn dìng lǐ
ruò OC=λOA+μOB, qiě λ+μ=1, zé A、 B、 C sān diǎn gòng xiàn
sān jiǎo xíng zhòng xīn pàn duàn shì
zài △ ABC zhōng ， ruò GA+GB+GC=O, zé G wéi △ ABC de zhòng xīn xiàng liàng gòng xiàn de zhòng yào tiáo jiàn ruò b≠ 0， zé a//b de zhòng yào tiáo jiàn shì cún zài wéi yī shí shù λ， shǐ a=λb。
de zhòng yào tiáo jiàn shì xy'-x'y=0。
líng xiàng liàng 0 píng xíng yú rèn hé xiàng liàng 。 xiàng liàng chuí zhí de chōng yào tiáo jiàn a⊥ b de chōng yào tiáo jiàn shì a·b=0。
de chōng yào tiáo jiàn shì xx'+yy'=0。
líng xiàng liàng 0 chuí zhí yú rèn hé xiàng liàng . xiàng liàng （ huò shǐ liàng ）， zuì chū bèi yìng yòng yú wù lǐ xué ． hěn duō wù lǐ liàng rú lì 、 sù dù 、 wèi yí yǐ jí diàn chǎng qiáng dù 、 cí gǎn yìng qiáng dù děngdōu shì xiàng liàng ． dà yuē gōng yuán qián 350 nián qián ， gǔ xī là zhù míng xué zhě yà lǐ shì duō dé jiù zhī dào liǎo lì kě yǐ biǎo shì chéng xiàng liàng ， liǎng gè lì de zǔ hé zuò yòng kě yòng zhù míng de píng xíng sì biān xíng fǎ zé lái dé dào ．“ xiàng liàng ” yī cí lái zì lì xué 、 jiě xī jǐ hé zhōng de yòu xiàng xiàn duàn ． zuì xiān shǐ yòng yòu xiàng xiàn duàn biǎo shì xiàng liàng de shì yīng guó dà kē xué jiā niú dùn ．
kè běn shàng tǎo lùn de xiàng liàng shì yī zhǒng dài jǐ hé xìng zhì de liàng ， chú líng xiàng liàng wài ， zǒng kě yǐ huà chū jiàn tóu biǎo shì fāng xiàng ． dàn shì zài gāo děng shù xué zhōng hái yòu gèng guǎng fàn de xiàng liàng ． lì rú ， bǎ suǒ yòu shí xì shù duō xiàng shì de quán tǐ kàn chéng yī gè duō xiàng shì kōng jiān ， zhè lǐ de duō xiàng shì dōukě kàn chéng yī gè xiàng liàng ． zài zhè zhǒng qíng kuàng xià ， yào zhǎo chū qǐ diǎn hé zhōng diǎn shèn zhì huà chū jiàn tóu biǎo shì fāng xiàng shì bàn bù dào de ． zhè zhǒng kōng jiān zhōng de xiàng liàng bǐ jǐ hé zhōng de xiàng liàng yào guǎng fàn dé duō ， kě yǐ shì rèn yì shù xué duì xiàng huò wù lǐ duì xiàng ． zhè yàng ， jiù kě yǐ zhǐ dǎo xiàn xìng dài shù fāng fǎ yìng yòng dào guǎng kuò de zì rán kē xué lǐng yù zhōng qù liǎo ． yīn cǐ ， xiàng liàng kōng jiān de gài niàn ， yǐ chéng liǎo shù xué zhōng zuì jī běn de gài niàn hé xiàn xìng dài shù de zhōng xīn nèi róng ， tā de lǐ lùn hé fāng fǎ zài zì rán kē xué de gè lǐng yù zhōng dé dào liǎo guǎng fàn de yìng yòng ． ér xiàng liàng jí qí xiàn xìng yùn suàn yě wéi “ xiàng liàng kōng jiān ” zhè yī chōu xiàng de gài niàn tí gōng chū liǎo yī gè jù tǐ de mó xíng ．
cóng shù xué fā zhǎn shǐ lái kàn ， lì shǐ shàng hěn cháng yī duàn shí jiān ， kōng jiān de xiàng liàng jié gòu bìng wèi bèi shù xué jiā men suǒ rèn shí ， zhí dào 19 shì jì mò 20 shì jì chū ， rén men cái bǎ kōng jiān de xìng zhì yǔ xiàng liàng yùn suàn lián xì qǐ lái ， shǐ xiàng liàng chéng wéi jù yòu yī tào yōu liáng yùn suàn tōng xìng de shù xué tǐ xì ．
xiàng liàng néng gòu jìn rù shù xué bìng dé dào fā zhǎn ， shǒu xiān yìng cóng fù shù de jǐ hé biǎo shì tán qǐ ． 18 shì jì mò qī ， nuó wēi cèliáng xué jiā wēi sài 'ěr shǒu cì lì yòng zuò biāo píng miàn shàng de diǎn lái biǎo shì fù shù a ＋ bi， bìng lì yòng jù yòu jǐ hé yì yì de fù shù yùn suàn lái dìng yì xiàng liàng de yùn suàn ． bǎ zuò biāo píng miàn shàng de diǎn yòng xiàng liàng biǎo shì chū lái ， bìng bǎ xiàng liàng de jǐ hé biǎo shì yòng yú yán jiū jǐ hé wèn tí yǔ sān jiǎo wèn tí ． rén men zhú bù jiē shòu liǎo fù shù ， yě xué huì liǎo lì yòng fù shù lái biǎo shì hé yán jiū píng miàn zhōng de xiàng liàng ， xiàng liàng jiù zhè yàng píng jìng dì jìn rù liǎo shù xué ．
dàn fù shù de lì yòng shì shòu xiàn zhì de ， yīn wéi tā jǐn néng yòng yú biǎo shì píng miàn ， ruò yòu bù zài tóng yī píng miàn shàng de lì zuò yòng yú tóng yī wù tǐ ， zé xū yào xún zhǎo suǒ wèi sān wéi “ fù shù ” yǐ jí xiāng yìng de yùn suàn tǐ xì ． 19 shì jì zhōng qī ， yīng guó shù xué jiā hā mì 'ěr dùn fā míng liǎo sì yuán shù （ bāo kuò shù liàng bù fēn hé xiàng liàng bù fēn ）， yǐ dài biǎo kōng jiān de xiàng liàng ． tā de gōng zuò wéi xiàng liàng dài shù hé xiàng liàng fēn xī de jiàn lì diàn dìng liǎo jī chǔ ． suí hòu ， diàn cí lǐ lùn de fā xiàn zhě ， yīng guó de shù xué wù lǐ xué jiā mài kè sī wéi 'ěr bǎ sì yuán shù de shù liàng bù fēn hé xiàng liàng bù fēn fēn kāi chǔlǐ ， cóng 'ér chuàng zào liǎo dà liàng de xiàng liàng fēn xī ．
sān wéi xiàng liàng fēn xī de kāi chuàng ， yǐ jí tóng sì yuán shù de zhèng shì fēn liè ， shì yīng guó de jū bó sī hé hǎi wéi sài dé yú 19 shì jì 8O nián dài gè zì dú lì wán chéng de ． tā men tí chū ， yī gè xiàng liàng bù guò shì sì yuán shù de xiàng liàng bù fēn ， dàn bù dú lì yú rèn hé sì yuán shù ． tā men yǐn jìn liǎo liǎng zhǒng lèi xíng de chéng fǎ ， jí shù liàng jī hé xiàng liàng jī ． bìng bǎ xiàng liàng dài shù tuī guǎng dào biàn xiàng liàng de xiàng liàng wēi jī fēn ． cóng cǐ ， xiàng liàng de fāng fǎ bèi yǐn jìn dào fēn xī hé jiě xī jǐ hé zhōng lái ， bìng zhú bù wán shàn ， chéng wéi liǎo yī tào yōu liáng de shù xué gōng jù . xīn diàn xiàng liàng yǔ zōng hé xīn diàn xiàng liàng wù lǐ xué shàng yòng lái biǎo míng jì yòu shù liàng dà xiǎo ， yòu yòu fāng xiàng xìng de liàng jiào zuò xiàng liàng （ Vector）， yì chēng shǐ liàng 。 xīn jī xì bāo zài chú jí hé fù jí de guò chéng zhōng xíng chéng diàn 'ǒu ， diàn 'ǒu jì yòu shù liàng dà xiǎo ， yòu yòu fāng xiàng xìng ， chēng wéi diàn 'ǒu xiàng liàng 。 diàn 'ǒu xiàng liàng kě yǐ kàn zuò shì dān gè xīn jī xì bāo de xīn diàn xiàng liàng ， tā de shù liàng dà xiǎo jiù shì diàn 'ǒu de diàn dòng shì ， qǔ jué yú diàn 'ǒu liǎng jí diànhè jù jí de shù mù ， shù mù yuè duō ， diàn dòng shì jiù yuè dà ， fǎn zhī ， zé yuè xiǎo 。 xīn diàn xiàng liàng de fāng xiàng jiù shì diàn 'ǒu de fāng xiàng 。 diàn 'ǒu xiàng liàng kě yòng jiàn shǐ lái biǎo shì ， jiàn gān de cháng dù biǎo shì xiàng liàng de dà xiǎo ， jiàn tóu biǎo shì xiàng liàng de fāng xiàng （ diàn yuán ）， jiàn wěi biǎo shì diàn xué 。 yīn wéi xīn jī de chú jí shì cóng xīn nèi mó miàn kāi shǐ zhǐ xiàng xīn wài mó miàn ， suǒ yǐ xiàng liàng de fāng xiàng shì diàn yuán zài qián （ jiàn tóu ）， diàn xué zài hòu （ jiàn wěi ）。 fù jí shí ， yīn wéi xiān chú jí de bù wèi xiān fù jí ， suǒ yǐ diàn xué zài qián diàn yuán zài hòu 。 ér xīn jī fù jí cóng xīn wài mó kāi shǐ ， zhǐ xiàng xīn nèi mó ， yīn cǐ fù jí xiàng liàng yǔ chú jí yī zhì 。
yī piàn xīn jī shì yóu duō gè xīn jī xì bāo suǒ zǔ chéng ， chú jí yǔ fù jí shí huì chǎn shēng hěn duō gè diàn 'ǒu xiàng liàng ， bǎ tā men dié jiā zài yī qǐ chéng wéi yī gè diàn 'ǒu xiàng liàng ， zhè jiù shì zōng hé xīn diàn xiàng liàng 。 xīn zàng shì yóu jǐ gè bù fēn xīn jī zǔ chéng de ， chú jí shí ， shì bù tóng fāng xiàng de diàn 'ǒu xiàng liàng tóng shí huó dòng ， gè zì chǎn shēng bù tóng fāng xiàng de diàn dòng lì ， bǎ jǐ gè bù tóng fāng xiàng de xīn diàn xiàng liàng zōng hé chéng yī gè xiàng liàng ， jiù dài biǎo zhěng gè xīn zàng de zōng hé xīn diàn xiàng liàng 。
zài xīn diàn huó dòng zhōu qī zhōng ， gè bù xīn jī chú jí yǔ fù jí yòu yī dìng de shùn xù ， měi yī shùn jiān jūn yòu bù tóng bù wèi de xīn jī de xīn diàn huó dòng ， lì rú ： xīn shì chú jí shí 0.01s， 0.02s ～ 0.08s de xīn diàn xiàng liàng zài mǒu yī shùn jiān yòu yòu zhòng duō de xīn jī xì bāo chǎn shēng fāng xiàng bù jìn xiāng tóng de diàn 'ǒu xiàng liàng ， bǎ zhè xiē diàn 'ǒu xiàng liàng àn píng xíng sì biān xíng fǎ yǐ cì jiā yǐ zōng hé ， zhè gè zuì hòu zōng hé 'ér chéng de xiàng liàng chēng wéi shùn jiān zōng hé xīn diàn xiàng liàng 。 xīn zàng shì lì tǐ qì guān ， tā chǎn shēng de shùn jiān xiàng liàng zài kōng jiān cháo xiàng sì miàn bā fāng ， bǎ yī shùn jiān zōng hé xīn diàn xiàng liàng de jiān duān gòu chéng yī diǎn ， zé zài zhěng gè xīn diàn zhōu qī zhōng suí zhe shí jiān de tuī yí ， bǎ yí dòng de gè diǎn lián jiē qǐ lái de huán xíng guǐ jì jiù gòu chéng kōng jiān xīn diàn xiàng liàng huán jí kōng jiān xiàng liàng xīn diàn tú
kōng jiān xīn liàng xiàng liàng huán shì yī gè lì tǐ tú xíng ， zài píng miàn zhǐ shàng miáo huì lì tǐ tú xíng shì kùn nán de ， tōng cháng cǎi yòng kōng jiān xīn diàn xiàng liàng huán zài sān gè bù tóng de hù xiāng chuí zhí de píng miàn de tóu yǐng lái guān chá 。 suǒ wèi tóu yǐng ， jiù shì yǔ mǒu yī píng miàn chuí zhí de píng xíng guāng xiàn zhào zài xīn diàn xiàng liàng huán shàng ， cǐ xiàng liàng huán zài zhè gè píng miàn shàng xíng chéng de yǐng xiàng chēng wéi tóu yǐng 。 rán hòu bǎ tóu yǐng zài měi yī miàn de xíng tài huì chéng píng miàn tú ， yóu zhè sān gè píng miàn tú zǔ chéng kōng jiān lì tǐ tú xiàng 。 cǐ jí lín chuáng shàng cháng guī jì lù de xīn diàn xiàng liàng tú 。 yì chēng kōng jiān xiàng liàng huán de dì yī cì tóu yǐng 。
lín chuáng shàng cháng yòng de sān gè píng miàn （ é miàn 、 héng miàn 、 shǐ zhuàng miàn ） yóu sān gè zhóu （ Y zhóu 、 X zhóu 、 Z zhóu ） zǔ chéng de （ jiàn tú 14-2-5 jí zhù jiě ）。 yǐ héng miàn wéi lì jiǎn shù xīn diàn xiàng liàng tú de jī běn tú xíng rú xià ：
huán yì chēng P xiàng liàng huán ， dài biǎo xīn fáng jī chú jí guò chéng ， qí zōng hé xiàng liàng de fāng xiàng （ P diàn zhóu ） zhǐ xiàng zuǒ xià shāo piān qián 。
huán dài biǎo xīn shì jī de chú jí guò chéng ， huán tǐ tuǒ yuán xíng ， chéng nì zhōng xiàng yùn xíng ， zǒng shí jiān yuē 0.08s， sān fēn zhī yī wèi yú x zhóu zhī qián ， sān fēn zhī 'èr wèi yú X zhóu zhī hòu ， qí zōng hé xiàng liàng de fāng xiàng （ QRS diàn zhóu ） zhǐ xiàng zuǒ hòu 。 gēn jù qí chú jí shùn xù de xiān hòu yòu fēn wéi ：① shì jiàngé chú jí ， yòu chēng chū shǐ xiàng liàng huò 0.01s xiàng liàng 。 xīn shì chú jí shǒu xiān kāi shǐ yú shì jiàngé zuǒ cè zhōng 1/3 chù zì zuǒ xiàng yòu chú jí ， chú jí xiàng liàng zhǐ xiàng yòu qián （ yuē 110° zuǒ yòu ）。② jiān bù chú jí 。 dāng xīn shì chú jí dào 0.02s shí ， chōng dòng kuò zhǎn dào xīn jiān bù ， cǐ shí zuǒ yòu xīn jiān bù tóng shí jìn xíng chú jí ， qí zōng hé xiàng liàng zhǐ xiàng qián xià 。 ③ zuǒ xīn shì chú jí zài chú jí kāi shǐ hòu 0.04s zuǒ yòu ， shì jiàngé hé yòu shì de jué dà bù fēn yǐ chú jí wán bì ， zhǐ yòu zuǒ shì cè bì hé yòu shì hòu jī dǐ bù chú jí réng zài jìn xíng ， suǒ yǐ yòu chēng 0.04s xiàng liàng huò zuì dà xiàng liàng ， qí fāng xiàng zhǐ xiàng zuǒ hòu 。 ④ jī dǐ bù chú jí dāng chú jí zhì 0.06s shí ， zhǐ shèng xià zuǒ shì hòu jī dǐ bù hé shì jiàngé de yī xiǎo kuài jī dǐ bù chú jí réng zài jìn xíng ， gù yòu chēng zhōng mò xiàng liàng ， qí fāng xiàng zhǐ xiàng yòu hòu （ xiāng dāng yú 265 dù zuǒ yòu ）。
huán dài biǎo xīn shì jī de fù jí guò chéng ， qí zōng hé xiàng liàng de fāng xiàng zhǐ xiàng zuǒ qián yǔ QRS huán diàn zhóu fāng xiàng jī běn yī zhì , fǎn yìng zài xīn diàn tú R bō wéi zhù de dǎo lián zhōng T bō shì zhí lì de 。 zhè yǔ qián wén chǎn shù de dān gè xīn jī xì bāo de chú jí yǔ fù yòu xiàng liàng fāng xiàng xiāng fǎn de shuō fǎ sì hū yòu máo dùn zhī chù 。 mù qián rèn wéi ， xīn shì fù jí guò chéng yǔ chú jí guò chéng yòu suǒ bù tóng ， tā yǔ chuán dǎo xì tǒng wú guān ， ér yǔ xīn jī de dài xiè gōng néng yòu mìqiè guān xì 。 yī bān dì shuō ， wēn dù gāo ， yā lì xiǎo ， gōng xuè hǎo de bù wèi ， qí xì bāo fù jí jiù kuài xiē 。 xīn wài mó yǔ xīn nèi mó bǐ jiào ， fú hé zhè sān gè tiáo jiàn ， suǒ yǐ ， xīn wài mó fù jí kuài 。 yóu yú xīn wài mó zǎo yú xīn nèi mó fù jí ， zhè yàng ， qí diàn 'ǒu xiàng liàng de diàn yuán zài xīn wài mó cè ， diàn xué zài xīn nèi mó cè ， jí xīn shì fù jí de xiàng liàng zhǐ xiàng xīn wài mó ， yīn cǐ xīn shì chú jí yǔ fù jí de fāng xiàng yī zhì 。
xiàng liàng yǔ shǐ liàng de yī xiē qū bié ： xiàng liàng yǔ shǐ liàng de yī xiē qū bié ： xué guò gāo zhōng wù lǐ biàn zhī dào shǐ liàng ， xué guò gāo děng dài shù biàn zhī dào xiàng liàng ， liǎng gè xiāng sì de gài niàn qí shí shì cún zài bù tóng de 。 shǐ liàng shì yī gè jǐ hé zhōng de gài niàn ， biǎo shì yī gè jù yòu fāng xiàng hé dà xiǎo de liàng ， yòu qǐ diǎn hé zhōng diǎn 。 cóng shǐ liàng de jǐ hé dìng yì chū fā ， shì hěn nán yán jiū de 。 shùn yìng shù xué zhōng jǐ hé gài niàn dài shù huà de cháo liú ， xiǎn rán bǎ shǐ liàng de gài niàn yòng dài shù fāng fǎ lái biǎo shì ， jiù hǎo liàng huà dì dìng yì shǐ liàng de yùn suàn bìng jìn yī bù yán jiū gè zhǒng fù zá de yùn suàn （ jiā chéng dài wēi fēn ）。 dí kǎ 'ěr tóng xué shì gè hǎo tóng xué ， zuò biāo xì de chū xiàn fāng biàn liǎo shǐ liàng de dài shù dìng yì 。 bǎ yī gè shǐ liàng r fàng zhì zài yī gè rén wéi guī dìng de zuò biāo xì xià ， 3 wéi zuò biāo xì de x-y-z zhóu shàng fēn bié yòu liǎo 3 gè jī shǐ liàng i-j-k（ cháng dù wéi 1）， bǎ zhè gè shǐ liàng de qǐ diǎn hé zhōng diǎn xiàng sān gè zhóu shàng tóu yǐng ， dé dào sān gè tóu yǐng shǐ liàng a*i,b*j,c*k, nà me a,b,c（ shǔ yú R） biàn shì shǐ liàng r zài zhè gè zuò biāo xì xià de zuò biāo , jí r=[abc]*transpose[ijk]=[ijk]*transpose[abc]。 rú cǐ jiǎng lái ， jī běn bǎ rén gǎo yùn ， lái diǎn 'ér gān cuì de ， jiù shì bǎ shǐ liàng r píng yí shǐ dé qí qǐ diǎn yǔ zuò biāo xì yuán diǎn chónghé ， zé qí zhōng diǎn de zuò biāo jiù shì zhè gè shǐ liàng de zuò biāo ， yǐ zuò biāo xì yuán diǎn wéi qǐ diǎn de shǐ liàng bèi chēng wéi shǐ jìng 。 shǐ liàng de zuò biāo transpose[abc]（ jí shǐ liàng de dài shù dìng yì ） biàn shì dài shù xué zhōng cháng cháng chū xiàn de xiàng liàng 。 liǎng gè gài niàn cháng cháng bèi hùn wéi yī tán shì bù duì de ， bù jǐn jǐn yīn wéi shǐ liàng shì jǐ hé gài niàn 'ér xiàng liàng shì dài shù gài niàn ， ér qiě xiàng liàng zài dài shù zhōng zǎo jiù bèi kuò chōng dào n wéi ， zǎo yǐ chāo chū liǎo xiàn shí shēng huó 3 wéi kōng jiān de xiàn zhì 。 lìng wài ， yī gè shǐ liàng huò zhě shuō yī gè diǎn （ dāng shǐ liàng wéi shǐ jìng shí ， shǐ liàng jiù gēn qí zhōng diǎn yī yī duì yìng ） shì kè guān cún zài ， zài bù tóng de zuò biāo xì xià jiāng yòu bù tóng de zuò biāo biǎo shì ， yě jiù shì shuō ， yī gè shǐ liàng huò zhě yī gè diǎn kě yǐ yòu hěn duō （ wú qióng ） xiàng liàng yǔ qí duì yìng 。 jì zhù xiàng liàng （ 3 wéi jí qí yǐ xià ） shì shǐ liàng de dài shù biǎo shì jiù kě yǐ liǎo 。
yòu liǎo dài shù dìng yì ， zì rán 'ér rán jiù yào yǐ xiàng liàng qù duì yìng zhe yán jiū shǐ liàng de yùn suàn ， mù qián kàn lái ， shǐ liàng yùn suàn bāo kuò jiā （ jiǎn ）、 diǎn chéng hé chā chéng hé duì shí jiān qiú dǎo 。 jiā hé chéng shì zài gāo děng shù xué lǐ jiàn guò de ， ér shǐ liàng qiú dǎo yùn suàn shì zài běn kē de shù xué kè chéng zhōng méi yòu jiàn guò de （ zhì shǎo wǒ méi zài běn kē jiàn guò ， shuō dào zhè 'ér wǒ yòu yào bǐ shì dāng shí de běn kē jiào yù liǎo ）， shǐ liàng de qiú dǎo yùn suàn shì yán jiū gāng tǐ yùn dòng xué hé xiāng duì yùn dòng de jī chǔ （ chú fēi zhǐ huì bào mù tóu ）， zài lǐ lùn lì xué zhōng yòu jiǎng 。 xū yào zhù yì de shì ， shǐ liàng chā chéng de jiēguǒ réng shì yī gè shǐ liàng ， zhè gè xīn shǐ liàng de zuò biāo （ xiàng liàng ） de jì suàn shì yǔ bèi shèngshǐ liàng duì yìng de yī gè fǎn duìchèn jǔ zhèn yòu guān 。 tóng yī gè shǐ liàng zài bù tóng zuò biāo xì xià zuò biāo （ xiàng liàng ） bù tóng ， zuò biāo de biàn huàn xū yào yǐ lài yī gè fāng xiàng yú xián zhèn ， jī qì rén xué zhōng yòu chēng xuánzhuàn jǔ zhèn 。 xiangliang
xiàng liàng
yī zhǒng jì yòu dà xiǎo yòu yòu fāng xiàng de liàng 。 yòu chēng wéi shǐ liàng 。 lì rú zài wù lǐ xué zhōng de sù dù 、 jiā sù dù 、 lì děng děng jiù shì zhè yàng de liàng 。 shěqì shí jì hán yì ， jiù chōu xiàng wéi shù xué zhōng de gài niàn ─ ─ xiàng liàng 。
xià miàn xiàn yú sān wéi 'ōu shì kōng jiān zhōng lái tǎo lùn 。
xiàng liàng de biǎo shì fǎ tōng cháng kě yǐ yòng jǐ hé de huò dài shù de fāng fǎ lái biǎo shì xiàng liàng 。
xiàng liàng de jǐ hé biǎo shì fǎ cóng kōng jiān zhōng rèn yì yī diǎn □ chū fā yǐn yī bàn shè xiàn □□， bìng zài qí shàng lìng qǔ yī diǎn □ , zé yòu xiàng xiàn duàn □□ jiù dài biǎo yī xiàng liàng （ tú 1 xiàng liàng de jǐ hé biǎo shì ） , jiǎn jì wéi □， huò yòng □ biǎo shì ； zhè xiàng liàng de dà xiǎo jiù shì xiàn duàn □□ de cháng , qí fāng xiàng jiù shì bàn shè xiàn □ de fāng xiàng 。 xiàng liàng □ de dà xiǎo chēng wéi tā de mó huò jué duì zhí ， jì wéi □。
yī bān shuō lái ， rú guǒ xiàng liàng □ de qǐ diǎn □ huàn zuò lìng yī diǎn □□， zhōng diǎn yě huàn zuò lìng yī diǎn □□ , shǐ □□∥□□□□， qiě tā men de zhǐ xiàng yě xiāng tóng , yòu cháng dù □ zé rèn wéi xiàng liàng □ yǔ xiàng liàng □ shì xiāng děng huò xiāng tóng de xiàng liàng ：□， réng kě jì wéi □。 zhè yàng lǐ jiě de xiàng liàng yòu shí yě chēng wéi zì yóu xiàng liàng （ qǐ diǎn kě zì yóu gǎi biàn ）。 dāng rán gēn jù shí jì qíng kuàng , yòu shí xiàng liàng de qǐ diǎn bù néng suí biàn gǎi biàn （ lì rú , rú guǒ xiàng liàng □ dài biǎo yī gè lì ， qí qǐ diǎn □ dài biǎo lì de zuò yòng diǎn ， zhè shí qǐ diǎn jiù bù néng suí yì gǎi biàn ）， zhè zhǒng xiàng liàng yòu shí chēng wéi gù duān xiàng liàng 。 zhè lǐ yī bān zhǐ kǎo lǜ zì yóu xiàng liàng 。
yī zhǒng tè shū qíng kuàng xū jiā zhù yì ， jiù shì □ =□ de qíng kuàng , zhè shí xiàng liàng □ chēng wéi líng xiàng liàng ， jì wéi 0。 líng xiàng liàng de mó wéi 0, ér qiě wú què dìng fāng xiàng 。
àn zhào qián miàn zì yóu xiàng liàng de guān diǎn , guī dìng liǎng xiàng liàng □ ,□ xiāng děng de chōng fēn bì yào tiáo jiàn shì ： ｜ □｜ =｜□｜ , qiě ( rú guǒ tā men bù shì líng xiàng liàng )□ ,□ de fāng xiàng （ bāo kuò zhǐ xiàng ） xiāng tóng 。
rú guǒ xiàng liàng □ ,□（ dū ≠ 0） suǒ zài zhí xiàn píng xíng huò chónghé ， zé chēng □ yǔ □ píng xíng ,□ jì zuò □∥□。 xiàng liàng － □ zhǐ de shì qí mó yǔ □ de mó xiāng děng 、 qiě yǔ □ píng xíng dàn zhǐ xiàng xiāng fǎn de xiàng liàng 。 rú guǒ xiàng liàng □ ,□ suǒ zài zhí xiàn hù xiāng chuí zhí ， zé chēng □ yǔ □ hù xiāng chuí zhí huò zhèng jiāo ， jì zuò □⊥□。
cǐ wài hái guī dìng ， rèn hé xiàng liàng □ dū yǔ líng xiàng liàng 0 jì píng xíng yòu chuí zhí 。
gēn jù dìng yì ， rèn hé xiàng liàng □ yǔ tā zì shēn píng xíng 。
rú guǒ xiàng liàng □ de mó děng yú 1(｜□｜ =1)， zé chēng □ wéi yī dān wèi xiàng liàng 。
xiàng liàng de dài shù biǎo shì fǎ xiàng liàng de jǐ hé biǎo shì fǎ jì zhí guān yòu jiǎn dān 。 dàn zuò wéi yī zhǒng shù xué liàng ， xiàng liàng yào cān jiā yùn suàn ， zhè zhǒng biǎo shì fǎ yòu shí jiù jí bù fāng biàn 。 xià miàn xiàng liàng de dài shù biǎo shì fǎ jiù kě kè fú zhè yī kùn nán 。
zài kōng jiān qǔ dìng yī yòu shǒu zuò biāo xì （ dāng rán yě kě qǔ zuǒ shǒu zuò biāo xì ， dàn wéi què dìng qǐ jiàn , bù qǔ zuǒ shǒu xì ） , rú tú 2 xiàng liàng de zuò biāo biǎo shì 。 yǐ gěi yī xiàng liàng □。 bǎ tā de qǐ diǎn qǔ zài zuò biāo yuán diǎn □ chù ， qí zhōng diǎn wéi □。 bǎ yòu xiàng xiàn duàn □□ tóu yǐng dào sān zuò biāo zhóu □ ,□ ,□ shàng , fēn bié dé tóu yǐng □□□，□□□，□□□ , tā men de yòu xiàng cháng □ ,□ ,□ fēn bié chēng wéi □ zài □ zhóu 、□ zhóu 、□ zhóu shàng de sān gè fènliàng ， ér bǎ □ biǎo shì wéi
zhè biàn shì xiàng liàng □ de dài shù biǎo shì fǎ 。 (□ ,□□ ,□ ) shí jì shàng jiù shì □ diǎn zài □□□□ zuò biāo xì zhōng de zuò biāo 。 fǎn guò lái , gěi dìng kōng jiān yī diǎn □ (□ ,□ ,□ )， yóu (1) shì jiù kě dìng yì yī xiàng liàng □□， shǐ qí sān gè fènliàng yǐ cì wéi □ ,□ ,□。
líng xiàng liàng 0 de sān gè fènliàng dōushì 0： 0={0,0,0}。
yóu dìng yì hái kě zhī ， rú guǒ xiàng liàng □ yǐ (1) shì gěi chū ， zé
rú guǒ xiàng liàng □ de qǐ diǎn qǔ zài □□ {□□ ,□□ ,□□ } diǎn ， ér zhōng diǎn wéi □□ {□□ ,□□ ,□□ }， zé qí dài shù biǎo shì wéi
dāng zuò biāo xì zuò píng yí shí ， xiàng liàng de dài shù biǎo shì bù biàn 。 dāng zuò biāo xì zài tǎo lùn guò chéng zhōng shǐ zhōng gù dìng bù biàn shí , zé yě kě bǎ (1) shì ， jí sān gè yòu shùn xù de shù □ ,□ ,□ zuò wéi xiàng liàng de dìng yì 。
xiàng liàng de dài shù yùn suàn xiàng liàng zuò wéi yī zhǒng shù xué liàng kě yǐ jìn xíng mǒu xiē dài shù yùn suàn ， rú jiā fǎ 、 jiǎn fǎ 、 chéng fǎ děng 。 zhè xiē yùn suàn fāng fǎ dōuyòu shí jì bèi jǐng ， yīn cǐ zài shí jì shàng shì yòu yì yì de ， yìng yòng shí shì yòu xiào de 。
xiàng liàng de shù chéng xiàng liàng □ yǔ yī （ shí ） shù □ de chéng fǎ guī dìng rú xià ： dìng yì □□ wéi yī xiàng liàng ， qí mó
qiě yǔ □ píng xíng ； dāng □ >0 shí ， qí zhǐ xiàng yǔ □ de xiāng tóng ； dāng □ □
rú guǒ yòng dài shù biǎo shì fǎ ， zé ruò □ ={□ ,□ ,□ }， biàn yòu
xiàng liàng de shù chéng shì fú hé jié hé lǜ de , : Xiang Liang n.: vector, vectors, vector quantity shǐ liàng shè yǐng jǐ hé tóu yǐng shù xué wù lǐ wù lǐ xué shǐ liàng kōng jiān kē xué sān wéi jǔ zhèn bǎi kē cí diǎn bǎi kē dà quán dài shù xiàn xìng dài shù jīng jì bǎi kē yùn suàn fǎ zé gèng duō jiēguǒ ...
bìng xiàng liàng xiàng liàng tú xiàng liàng huán wú xiàng liàng xiàng liàng huà