|
|
| zài zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng， liǎng zhí jiǎo biān píng fāng de hé děng yú xié biān de píng fāng。 zài zhōng guó gǔ dài， chēng zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng jiào duǎn de yī tiáo zhí jiǎo biān wéi gòu， jiào cháng de yī tiáo zhí jiǎo biān wéi gǔ， xié biān wéi xián， dìng lǐ yīn 'ér dé míng。 gǔ dài suàn shū《 zhōu bì suàn jīng》 suǒ zài shāng gāo de tán huà zhōng céng tí chū gòu gǔ dìng lǐ de tè lì gòu sān gǔ sì xián wǔ ”， gù yòu chēng shāng gāo dìng lǐ”。 zài xī fāng， tā bèi chēng wéi bì dá gē lā sī dìng lǐ”。 |
gōu gǔ dìng lǐ gōu gǔ dìng lǐ |
| 《 zhōu bì suàn jīng》 jìzǎi : xī zhōu chū nián shāng gāo tí chū de “ gòu sān gǔ sì xián wǔ ”。 zhè shì gòu gǔ dìng lǐ de yī gè tè lì。 gòu gǔ dìng lǐ jiù shì zhí jiǎo sān jiǎo xíng xié biān shàng de zhèng fāng xíng miàn jī , děng yú liǎng zhí jiǎo biān shàng de zhèng fāng xíng miàn jī zhī hé。 zhōng guó gǔ dài chēng liǎng zhí jiǎo biān wéi gòu hé gǔ , xié biān wéi xián。 gòu sān gǔ sì xián wǔ jiù shì : gòu sān de píng fāng jiǔ , jiā gǔ sì de píng fāng shí liù , děng yú xián wǔ de píng fāng 'èr shí wǔ。 shuō míng wǒ guó hěn zǎo jiù zhǎng wò gòu gǔ dìng lǐ , xī fāng de xī là dào gōng yuán qián liù shì jì de bì dá gē lā sī shí , cái fā xiàn zhè yī dìng lǐ |
|
gòu gǔ dìng lǐ gòu gǔ dìng lǐ yòu jiào shāng gāo dìng lǐ、 bì shì dìng lǐ， huò chēng bì dá gē lā sī dìng lǐ（ pythagorastheorem） ．
zài yī gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng， xié biān biān cháng de píng fāng děng yú liǎng tiáo zhí jiǎo biān biān cháng píng fāng zhī hé。 rú guǒ zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng zhí jiǎo biān fēn bié wéi a、 b， xié biān wéi c， nà me a²+b²=c²
jù kǎo zhèng， rén lèi duì zhè tiáo dìng lǐ de rèn shí， shǎo shuō yě chāo guò 4000 nián！
zhōng guó zuì zǎo de yī bù shù xué zhù zuò héng héng《 zhōu bì suàn jīng》 de dì yī zhāng , jiù yòu zhè tiáo dìng lǐ de xiāng guān nèi róng： zhōu gōng wèn： “ qiè wén hū dà fū shànshǔ yě， qǐng wèn gǔ zhě bāo xī lì zhōu tiān lì dù。 fū tiān bù kě jiē 'ér shēng， dì bù kě dé chǐ cùn 'ér dù， qǐng wèn shù 'ān cóng chū？” shāng gāo dá：“ shǔzhī fǎ chū yú yuán fāng， yuán chū yú fāng， fāng chū yú jǔ， jǔ chū jiǔ jiǔ bā shí yī， gù zhé jǔ yǐ wéi gòu guǎng sān， gǔ xiū sì， jìng yú wǔ。 jì fāng qí wài， bàn zhī yī jǔ， huán 'ér gòng pán。 dé chéng sān、 sì、 wǔ， liǎng jǔ gòng cháng 'èr shí yòu wǔ， shì wèi jī jǔ。 gù yǔ zhī suǒ yǐ zhì tiān xià zhě， cǐ shǔzhī suǒ yóu shēng yě。” jiù shì shuō， jǔ xíng yǐ qí duì jiǎo xiāng zhé suǒ chēng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng， rú guǒ gòu（ duǎn zhí jiǎo biān） wéi 3， gǔ（ cháng zhí jiǎo biān） wéi 4， nà me xián（ xié biān） bì dìng shì 5。 cóng shàng miàn suǒ yǐn de zhè duàn duì huà zhōng， wǒ men kě yǐ qīng chǔ dì kàn dào， wǒ guó gǔ dài de rén mín zǎo zài jǐ qiān nián yǐ qián jiù yǐ jīng fā xiàn bìng yìng yòng gòu gǔ dìng lǐ zhè yīchóng yào de shù xué yuán lǐ liǎo。
zài xī fāng yòu wén zì jìzǎi de zuì zǎo de zhèng míng shì bì dá gē lā sī gěi chū de。 jù shuō dāng tā zhèng míng liǎo gòu gǔ dìng lǐ yǐ hòu， xīn xǐ ruò kuáng， shā niú bǎi tóu， yǐ shì qìng hè。 gù xī fāng yì chēng gòu gǔ dìng lǐ wéi“ bǎi niú dìng lǐ”。 yí hàn de shì， bì dá gē lā sī de zhèng míng fāng fǎ zǎo yǐ shī chuán， wǒ men wú cóng zhī dào tā de zhèng fǎ。
shí jì shàng， zài gèng zǎo qī de rén lèi huó dòng zhōng， rén men jiù yǐ jīng rèn shí dào zhè yī dìng lǐ de mǒu xiē tè lì。 chú shàng shù liǎng gè lì zǐ wài， jù shuō gǔ 'āi jí rén yě céng lì yòng“ gòu sān gǔ sì xián wǔ” de fǎ zé lái què dìng zhí jiǎo。 dàn shì， zhè yī chuán shuō yǐn qǐ guò xǔ duō shù xué shǐ jiā de huái yí。 bǐ rú shuō， měi guó de shù xué shǐ jiā m· kè lāi yīn jiào shòu céng jīng zhǐ chū：“ wǒ men yě bù zhī dào 'āi jí rén shì fǒu rèn shí dào bì dá gē lā sī dìng lǐ。 wǒ men zhī dào tā men yòu lā shéng rén（ cèliáng yuán）， dàn suǒ chuán tā men zài shéng shàng dǎ jié， bǎ quán cháng fēn chéngzhǎng dù wéi 3、 4、 5 de sān duàn， rán hòu yòng lái xíng chéng zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhī shuō， zé cóng wèi zài rèn hé wén jiàn shàng dé zhèng shí。” bù guò， kǎo gǔ xué jiā men fā xiàn liǎo jǐ kuài dà yuē wán chéng yú gōng yuán qián 2000 nián zuǒ yòu de gǔ bā bǐ lún de ní bǎn shū， jù zhuān jiā men kǎo zhèng， qí zhōng yī kuài shàng miàn kè yòu rú xià wèn tí：“ yī gēn cháng dù wéi 30 gè dān wèi de gùn zǐ zhí lì zài qiáng shàng， dāng qí shàng duān huá xià 6 gè dān wèi shí， qǐng wèn qí xià duān lí kāi qiáng jiǎo yòu duō yuǎn？” zhè shì yī gè sān biān wéi wéi 3:4:5 sān jiǎo xíng de tè shū lì zǐ； zhuān jiā men hái fā xiàn， zài lìng yī kuài ní bǎn shàng miàn kè zhe yī gè qí tè de shù biǎo， biǎo zhōng gòng kè yòu sì liè shí wǔháng shù zì， zhè shì yī gè gòu gǔ shù biǎo： zuì yòu biān yī liè wéi cóng 1 dào 15 de xù hào， ér zuǒ biān sān liè zé fēn bié shì gǔ、 gòu、 xián de shù zhí， yī gòng jìzǎi zhe 15 zǔ gòu gǔ shù。 zhè shuō míng， gòu gǔ dìng lǐ shí jì shàng zǎo yǐ jìn rù liǎo rén lèi zhī shí de bǎo kù。
gòu gǔ dìng lǐ shì jǐ hé xué zhōng de míng zhū， tā chōng mǎn mèi lì， qiān bǎi nián lái， rén men duì tā de zhèng míng qū zhī ruò wù， qí zhōng yòu zhù míng de shù xué jiā、 huà jiā， yě yòu yè yú shù xué 'àihào zhě， yòu pǔ tōng de lǎo bǎi xìng， yě yòu zūn guì de zhèng yào quán guì， shèn zhì yòu guó jiā zǒng tǒng。 yě xǔ shì yīn wéi gòu gǔ dìng lǐ jì zhòng yào yòu jiǎn dān yòu shí yòng， gèng róng yì xī yǐn rén， cái shǐ tā chéng bǎi cì dì fǎn fù bèi rén chǎo zuò， fǎn fù bèi rén lùn zhèng。 1940 nián chū bǎn guò yī běn míng wéi《 bì dá gē lā sī mìng tí》 de gòu gǔ dìng lǐ de zhèng míng zhuān ji， qí zhōng shōu jí liǎo 367 zhǒng bù tóng de zhèng míng fāng fǎ。 shí jì shàng hái bù zhǐ yú cǐ， yòu zī liào biǎo míng， guān yú gòu gǔ dìng lǐ de zhèng míng fāng fǎ yǐ yòu 500 yú zhǒng， jǐn wǒ guó qīng mò shù xué jiā huá héng fāng jiù tí gōng liǎo 'èr shí duō zhǒng jīng cǎi de zhèng fǎ。 zhè shì rèn hé dìng lǐ wú fǎ bǐ nǐ de。（ ※ guān yú gòu gǔ dìng lǐ de xiáng xì zhèng míng， yóu yú zhèng míng guò chéng jiào wéi fán zá， bù yú shōu lù。）
rén men duì gòu gǔ dìng lǐ gǎn xīng qù de yuán yīn hái zài yú tā kě yǐ zuò tuī guǎng。
ōu jǐ lǐ dé zài tā de《 jǐ hé yuán běn》 zhōng gěi chū liǎo gòu gǔ dìng lǐ de tuī guǎng dìng lǐ：“ zhí jiǎo sān jiǎo xíng xié biān shàng de yī gè zhí biān xíng， qí miàn jī wéi liǎng zhí jiǎo biān shàng liǎng gè yǔ zhī xiāng sì de zhí biān xíng miàn jī zhī hé”。
cóng shàng miàn zhè yī dìng lǐ kě yǐ tuī chū xià miàn de dìng lǐ：“ yǐ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de sān biān wéi zhí jìng zuò yuán， zé yǐ xié biān wéi zhí jìng suǒ zuò yuán de miàn jī děng yú yǐ liǎng zhí jiǎo biān wéi zhí jìng suǒ zuò liǎng yuán de miàn jī hé”。
gòu gǔ dìng lǐ hái kě yǐ tuī guǎng dào kōng jiān： yǐ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de sān biān wéi duì yìng lēng zuò xiāng sì duō miàn tǐ， zé xié biān shàng de duō miàn tǐ de biǎo miàn jī děng yú zhí jiǎo biān shàng liǎng gè duō miàn tǐ biǎo miàn jī zhī hé。
ruò yǐ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de sān biān wéi zhí jìng fēn bié zuò qiú， zé xié biān shàng de qiú de biǎo miàn jī děng yú liǎng zhí jiǎo biān shàng suǒ zuò 'èr qiú biǎo miàn jī zhī hé。
rú cǐ děng děng。
【 fù lù】
yī、【《《 zhōu bì suàn jīng》 ·》 jiǎn jiè】
《 zhōu bì suàn jīng》 suàn jīng shí shū zhī yī。 yuē chéng shū yú gōng yuán qián 'èr shì jì， yuán míng《 zhōu bì》， tā shì wǒ guó zuì gǔ lǎo de tiān wén xué zhù zuò， zhù yào chǎn míng dāng shí de gài tiān shuō hé sì fēn lì fǎ。 táng chū guī dìng tā wèiguó zǐ jiān míng suàn kē de jiào cái zhī yī， gù gǎi míng《 zhōu bì suàn jīng》。《 zhōu bì suàn jīng》 zài shù xué shàng de zhù yào chéng jiù shì jiè shào liǎo gòu gǔ dìng lǐ jí qí zài cèliáng shàng de yìng yòng。 yuán shū méi yòu duì gòu gǔ dìng lǐ jìn xíng zhèng míng， qí zhèng míng shì sān guó shí dōng wú rén zhào shuǎng zài《 zhōu bì zhù》 yī shū de《 gòu gǔ yuán fāng tú zhù》 zhōng gěi chū de。
《 zhōu bì suàn jīng》 shǐ yòng liǎo xiāng dāng fán fù de fēn shù suàn fǎ hé kāi píng fāng fǎ。
èr、【 gā fěi 'ěr dé zhèng míng gòu gǔ dìng lǐ de gù shì】
1876 nián yī gè zhōu mò de bàng wǎn， zài měi guó shǒu dū huá shèng dùn de jiāo wài， yòu yī wèi zhōng nián rén zhèng zài sàn bù， xīn shǎng huáng hūn de měi jǐng， tā jiù shì dāng shí měi guó 'é hài 'é zhōu gòng hé dǎng yì yuán gā fěi 'ěr dé。 tā zǒu zhe zǒu zhe， tū rán fā xiàn fù jìn de yī gè xiǎo shí dèng shàng， yòu liǎng gè xiǎo hái zhèng zài jù jīng huì shén dì tán lùn zhe shénme， shí 'ér dà shēng zhēng lùn， shí 'ér xiǎo shēng tàn tǎo。 yóu yú hàoqí xīn qū shǐ， gā fěi 'ěr dé xún shēng xiàng liǎng gè xiǎo hái zǒu qù， xiǎng gǎo qīng chǔ liǎng gè xiǎo hái dào dǐ zài gànshénme。 zhǐ jiàn yī gè xiǎo nán hái zhèng fǔ zhe shēn zǐ yòng shù zhī zài dì shàng huà zhe yī gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng。 yú shì gā fěi 'ěr dé biàn wèn tā men zài gànshénme？ nà gè xiǎo nán hái tóu yě bù tái dì shuō：“ qǐng wèn xiān shēng， rú guǒ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng tiáo zhí jiǎo biān fēn bié wéi 3 hé 4， nà me xié biān cháng wéi duō shǎo ní？” gā fěi 'ěr dé dá dào：“ shì 5 yā。” xiǎo nán hái yòu wèn dào：“ rú guǒ liǎng tiáo zhí jiǎo biān cháng fēn bié wéi 5 hé 7， nà me zhè gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng de xié biān cháng yòu shì duō shǎo？” gā fěi 'ěr dé bù jiǎ sī suǒ dì huí dá dào：“ nà xié biān de píng fāng yī dìng děng yú 5 de píng fāng jiā shàng 7 de píng fāng。” xiǎo nán hái yòu shuō：“ xiān shēng， nǐ néng shuō chū qí zhōng de dào lǐ má？” gā fěi 'ěr dé yī shí yǔ sài， wú fǎ jiě shì liǎo， xīn lǐ hěn bù shì zī wèi。
yú shì， gā fěi 'ěr dé bù zài sàn bù， lì jí huí jiā， qián xīn tàn tǎo xiǎo nán hái gěi tā chū de nán tí。 tā jīng guò fǎn fù sī kǎo yǔ yǎn suàn， zhōng yú nòng qīng liǎo qí zhōng de dào lǐ， bìng gěi chū liǎo jiǎn jié de zhèng míng fāng fǎ。
jiě： gòu gǔ dìng lǐ de nèi róng： zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng zhí jiǎo biān a、 b de píng fāng hé děng yú xié biān c de píng fāng，
a²+b²=c²
shuō míng： wǒ guó gǔ dài xué zhě bǎ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de jiào duǎn zhí jiǎo biān chēng wéi“ gòu”， jiào cháng zhí jiǎo biān wéi“ gǔ”， xié biān chēng wéi“ xián”， suǒ yǐ bǎ zhè gè dìng lǐ chéng wéi“ gòu gǔ dìng lǐ ”。 gòu gǔ dìng lǐ jiē shì liǎo zhí jiǎo sān jiǎo xíng biān zhī jiān de guān xì。
jǔ lì： rú zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng gè zhí jiǎo biān fēn bié wéi 3、 4， zé xié biān c2=a2+b2=9+16=25
zé shuō míng xié biān wéi 5。
gòu gǔ dìng lǐ dì yī zhāng gòu gǔ dìng lǐ yī、 gòu gǔ dìng lǐ de nèi róng， gòu gǔ dìng lǐ shì zěn yàng dé dào de， cóng dìng lǐ de zhèng míng guò chéng zhōng nǐ dé dào liǎo shénme qǐ shì？ liàn xí： rú tú zì mǔ b suǒ dài biǎo de zhèng fāng xíng de miàn jī shì ()a.12b.13c.144d.1941、 zài △ abc zhōng , ∠ c=rt∠ .(1) ruò a=2,b=3 zé yǐ c wéi biān de zhèng fāng xíng miàn jī =(2) ruò a=5,c=13. zé b=.(3) ruò c=61,b=11. zé a=.(4) ruò a ∶ c=3∶ 5 qiě c=20 zé b=.(5) ruò∠ a=60° qiě ac=7cm zé ab=cm， bc2=cm2.2、 zhí jiǎo sān jiǎo xíng yī tiáo zhí jiǎo biān yǔ xié biān fēn bié wéi 8cm hé 10cm. zé xié biān shàng de gāo děng yú cm.3、 děng yāo sān jiǎo xíng de zhōu cháng shì 20cm, dǐ biān shàng de gāo shì 6cm, zé dǐ biān de cháng wéi cm.4、△ abc zhōng ,ab=ac,∠ bac=120°,ab=12cm, zé bc biān shàng de gāo ad=cm.5、 yǐ zhī：△ abc zhōng，∠ acb=90°， cd ⊥ ab yú d， bc=,db=2cm, zé bccm,ab=cm,ac=cm.6、 rú tú， mǒu rén yù héng dù yī tiáo hé， yóu yú shuǐ liú de yǐng xiǎng， shí jì shàng 'àn dì diǎn c piān lí yù dào dá diǎn b200m， jiēguǒ tā zài shuǐ zhōng shí jì yóu liǎo 520m， qiú gāi hé liú de kuān dù wéi _______。 7、 zài yī kē shù de 10 mǐ gāo chù yòu liǎng zhǐ hóu zǐ， yī zhǐ hóu zǐ pá xià shù zǒu dào lí shù 20 mǐ chù de chí táng de a chù。 lìng yī zhǐ pá dào shù dǐng d hòu zhí jiē yuè dào a chù， jù lí yǐ zhí xiàn jì suàn， rú guǒ liǎng zhǐ hóu zǐ suǒ jīng guò de jù lí xiāng děng， zé zhè kē shù gāo ________ mǐ。
8、 yǐ zhī yī gè rt△ de liǎng biān cháng fēn bié wéi 3 hé 4， zé dì sān biān cháng de píng fāng shì（）
a、 25b、 14c、 7d、 7 huò 25
9、 xiǎo fēng mā mā mǎi liǎo yī bù 29 yīng cùn (74cm) diàn shì jī , xià liè duì 29 yīng cùn de shuō fǎ zhōng zhèng què de shì
a. xiǎo fēng rèn wéi zhǐ de shì píng mù de cháng dù ;b. xiǎo fēng de mā mā rèn wéi zhǐ de shì píng mù de kuān dù ;
c. xiǎo fēng de bà bà rèn wéi zhǐ de shì píng mù de zhōu cháng ;d. shòu huò yuán rèn wéi zhǐ de shì píng mù duì jiǎo xiàn de cháng dù
10、
èr、 nǐ yòu jǐ zhǒng zhèng míng yī gè sān jiǎo xíng shì zhí jiǎo sān jiǎo xíng de fāng fǎ？
liàn xí：
sān jiǎo xíng de sān biān cháng wéi（ a+b） 2=c2+2ab, zé zhè gè sān jiǎo xíng shì ()
a. děng biān sān jiǎo xíng ;b. dùn jiǎo sān jiǎo xíng ;c. zhí jiǎo sān jiǎo xíng ;d. ruì jiǎo sān jiǎo xíng .
1、 zài Δabc zhōng , ruò ab2+bc2=ac2, zé∠ a+∠ c ＝ °。
2、 rú tú， zhèng fāng xíng wǎng gé zhōng de△ abc， ruò xiǎo fāng gé biān cháng wéi 1， zé△ abc shì（）
（ a） zhí jiǎo sān jiǎo xíng (b) ruì jiǎo sān jiǎo xíng
（ b） (c) dùn jiǎo sān jiǎo xíng (d) yǐ shàng dá 'àn dōubù duì
yǐ zhī sān jiǎo xíng de sān biān cháng fēn bié shì 2n+1,2n+2n,2n+2n+1（ n wéi zhèng zhěng shù） zé zuì dà jiǎo děng yú _________ dù .
3、 yǐ zhī， rú tú， sì biān xíng abcd zhōng， ab=3cm， ad=4cm， bc=13cm， cd=12cm， qiě∠ a=90°， qiú sì biān xíng abcd de miàn jī。
yuè dú cái liào：
sān jiǎo xué lǐ yòu yī gè hěn zhòng yào de dìng lǐ， wǒ guó chēng tā wéi gòu gǔ dìng lǐ ， yòu jiào shāng gāo dìng lǐ。 yīn wéi《 zhōu bì suàn jīng》 tí dào， shāng gāo shuō guò " gòu sān gǔ sì xián wǔ " de huà。 xià miàn jiè shào qí zhōng de jǐ zhǒng zhèng míng。
zuì chū de zhèng míng shì fēn gē xíng de。 shè a、 b wéi zhí jiǎo sān jiǎo xíng de zhí jiǎo biān， c wéi xié biān。 kǎo lǜ xià tú liǎng gè biān cháng dōushì a+b de zhèng fāng xíng a、 b。 jiāng a fēn chéng liù bù fēn， jiāng b fēn chéng wǔ bù fēn。 yóu yú bā gè xiǎo zhí jiǎo sān jiǎo xíng shì quán děng de， gù cóng děng liàng zhōng jiǎn qù děng liàng， biàn kě tuī chū： xié biān shàng de zhèng fāng xíng děng yú liǎng gè zhí jiǎo biān shàng de zhèng fāng xíng zhī hé。 zhè lǐ b zhōng de sì biān xíng shì biān cháng wéi c de zhèng fāng xíng shì yīn wéi， zhí jiǎo sān jiǎo xíng sān gè nèi jiǎo hé děng yú liǎng gè zhí jiǎo。 rú shàng zhèng míng fāng fǎ chēng wéi xiāng jiǎn quán děng zhèng fǎ。 b tú jiù shì wǒ guó《 zhōu bì suàn jīng》 zhōng de“ xián tú”。
xià tú shì h． pò lǐ jiā 'ěr（ perigal） zài 1873 nián gěi chū de zhèng míng， tā shì yī zhǒng xiāng jiā quán děng zhèng fǎ。 qí shí zhè zhǒng zhèng míng shì chóngxīn fā xiàn de， yīn wéi zhè zhǒng huàfēn fāng fǎ， labitibnqorra（ 826 ～ 901） yǐ jīng zhī dào。（ rú： yòu tú） xià miàn de yī zhǒng zhèng fǎ， shì h•e• dù dēng ní（ dudeney） zài 1917 nián gěi chū de。 yòng de yě shì yī zhǒng xiāng jiā quán děng de zhèng fǎ。
rú yòu tú suǒ shì， biān cháng wéi b de zhèng fāng xíng de miàn jī jiā shàng biān cháng wéi a de zhèng fāng xíng de miàn jī， děng yú biān cháng wéi c de zhèng fāng xíng miàn jī。
xià tú de zhèng míng fāng fǎ， jù shuō shì l• dá • fēn qí（ davinci,1452～ 1519） shè jì de， yòng de shì xiāng jiǎn quán děng de zhèng míng fǎ。
ōu jǐ lǐ dé（ euclid） zài tā de《 yuán běn》 dì yī juàn de mìng tí 47 zhōng， gěi chū liǎo gòu gǔ dìng lǐ de yī gè jí qí qiǎo miào de zhèng míng， rú cì yè shàng tú。 yóu yú tú xíng hěn měi， yòu rén chēng qí wéi“ xiū shì de tóu jīn”， yě yòu rén chēng qí wéi“ xīn niàn de jiào yǐ”， shí zài shì yòu qù。 huá luó gēng jiào shòu céng jiàn yì jiāng cǐ tú fā wǎng yǔ zhòu， hé“ wài xīng rén” qù jiāo liú。 qí zhèng míng de gěng gài shì：
(ac)2=2△ jab=2△ cad=adkl。
tóng lǐ， (bc)2=kebl
suǒ yǐ
(ac)2+(bc)2=adkl+kebl=(bc)2
yìn dù shù xué jiā jiān tiān wén xué jiā pó shí jiā luó（ bhaskara， huó yuè yú 1150 nián qián hòu） duì gòu gǔ dìng lǐ gěi chū yī zhǒng qí miào de zhèng míng， yě shì yī zhǒng fēn gē xíng de zhèng míng。 rú xià tú suǒ shì， bǎ xié biān shàng de zhèng fāng xíng huàfēn wéi wǔ bù fēn。 qí zhōng sì bù fēn dōushì yǔ gěi dìng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng quán děng de sān jiǎo xíng； yī bù fēn wéi liǎng zhí jiǎo biān zhī chā wéi biān cháng de xiǎo zhèng fāng xíng。 hěn róng yì bǎ zhè wǔ bù fēn chóngxīn pīn còu zài yī qǐ， dé dào liǎng gè zhí jiǎo biān shàng de zhèng fāng xíng zhī hé。 shì shí shàng，
pó shí jiā luó hái gěi chū liǎo xià tú de yī zhǒng zhèng fǎ。 huà chū zhí jiǎo sān jiǎo xíng xié biān shàng de gāo， dé liǎng duì xiāng sì sān jiǎo xíng， cóng 'ér yòu
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
liǎng biān xiāng jiā dé
a2+b2=c(m+n)=c2
zhè gè zhèng míng， zài shí qī shì jì yòu yóu yīng guó shù xué jiā j． wò lì sī (wallis,1616～ 1703) chóngxīn fā xiàn。
yòu jǐ wèi měi guó zǒng tǒng yǔ shù xué yòu zhe wēi miào lián xì。 g• huá shèng dùn céng jīng shì yī gè zhù míng de cèliáng yuán。 t• jié fú xùn céng dà lì cù jìn měi guó gāo děng shù xué jiào yù。 a． lín kěn shì tōng guò yán jiū 'ōu jǐ lǐ dé de《 yuán běn》 lái xué xí luó ji de。 gèng yòu chuàng zào xìng de shì dì shí qī rèn zǒng tǒng j． a． jiā fěi 'ěr dé（ garfield,1831～ 1888）， tā zài xué shēng shí dài duì chū děng shù xué jiù jù yòu qiáng liè de xīng qù hé gāo chāo de cái néng。 zài 1876 nián，（ dāng shí tā shì zhòng yì yuàn yì yuán， wǔ nián hòu dāng xuǎn wéi měi guó zǒng tǒng） gěi chū liǎo gòu gǔ dìng lǐ yī gè piào liàng de zhèng míng， céng fā biǎo yú《 xīn yīng gé lán jiào yù zá zhì》。 zhèng míng de sī lù shì， lì yòng tī xíng hé zhí jiǎo sān jiǎo xíng miàn jī gōng shì。 rú cì yè tú suǒ shì， shì yóu sān gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng pīn chéng de zhí jiǎo tī xíng。 yòng bù tóng gōng shì， qiú xiāng tóng de miàn jī dé
jí
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
zhè zhǒng zhèng fǎ， zài zhōng xué shēng xué xí jǐ hé shí wǎng wǎng gǎn xīng qù。
guān yú zhè gè dìng lǐ， yòu xǔ duō qiǎo miào de zhèng fǎ（ jù shuō yòu jìn 400 zhǒng）， xià miàn xiàng tóng xué men jiè shào jǐ zhǒng， tā mendōu shì yòng pīn tú de fāng fǎ lái zhèng míng de。
zhèng fǎ 1 rú tú 26-2， zài zhí jiǎo sān jiǎo xíng abc de wài cè zuò zhèng fāng xíng abde， acfg， bchk， tā men de miàn jī fēn bié wéi c2， b2 hé a2。 wǒ men zhǐ yào zhèng míng dà zhèng fāng xíng miàn jī děng yú liǎng gè xiǎo zhèng fāng xíng miàn jī zhī hé jí kě。
guò c yǐn cm ‖ bd， jiāo ab yú l， lián jiē bc， ce。 yīn wéi
ab=ae， ac=ag∠ cae=∠ bag，
suǒ yǐ△ ace ≌△ agb
'ér
suǒ yǐ
saeml=sacfg(1)
tóng fǎ kě zhèng
sblmd=sbkhc(2)
(1)+(2) dé
sabde=sacfg+sbkhc，
jí c2=a2+b2
zhèng fǎ 2 rú tú 26-3（ zhào jūn qīng tú）， yòng bā gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng abc pīn chéng yī gè dà de zhèng fāng xíng cfgh， tā de biān cháng shì a+b， zài tā de nèi bù yòu yī gè nèi jiē zhèng fāng xíng abed， tā de biān cháng wéi c， yóu tú kě zhī。
scfgh=sabed+4×sabc，
suǒ yǐ a2+b2=c2
zhèng fǎ 3 rú tú 26-4（ méi wén dǐng tú）。
zài zhí jiǎo△ abc de xié biān ab shàng xiàng wài zuò zhèng fāng xíng abde， zài zhí jiǎo biān ac shàng yòu zuò zhèng fāng xíng acgf。 kě yǐ zhèng míng（ cóng lüè）， yán cháng gf bì guò e； yán cháng cg dào k， shǐ gk=bc=a， lián jié kd， zuò dh⊥ cf yú h， zé dhck shì biān cháng wéi a de zhèng fāng xíng。 shè
wǔ biān xíng ackde de miàn jī =s
yī fāng miàn，
s= zhèng fāng xíng abde miàn jī +2 bèi△ abc miàn jī
=c2+ab(1)
lìng yī fāng miàn，
s= zhèng fāng xíng acgf miàn jī + zhèng fāng xíng dhgk miàn jī
+2 bèi△ abc miàn jī
=b2+a2+ab.(2)
yóu (1)， (2) dé
c2=a2+b2
zhèng fǎ 4 rú tú 26-5（ xiàng míng dá tú）， zài zhí jiǎo sān jiǎo xíng abc de xié biān shàng zuò zhèng fāng xíng abde， yòu yǐ zhí jiǎo sān jiǎo xíng abc de liǎng gè zhí jiǎo biān ca， cb wéi jī chǔ wán chéng yī gè biān cháng wéi b de zhèng fāng xíng bfgj（ tú 26-5）。 kě yǐ zhèng míng（ cóng lüè）， gf de yán cháng xiàn bì guò d。 yán cháng ag dào k， shǐ gk=a， yòu zuò eh⊥ gf yú h， zé ekgh bì wéi biān cháng děng yú a de zhèng fāng xíng。
shè wǔ biān xíng ekjbd de miàn jī wéi s。 yī fāng miàn
s=sabde+2sabc=c2+ab(1)
lìng yī fāng miàn，
s=sbefg+2•s△ abc+sghfk
=b2+ab+a2
yóu (1)， (2) dé
c2=a2+b2
yáng zuò méi tú；
hé mèng yáo tú；
chén jié tú；
huá héng fāng tú
dōushì yòng miàn jī lái jìn xíng yàn zhèng： yī gè dà de miàn jī děng yú jǐ gè xiǎo miàn jī de hé。 lì yòng tóng yī gè miàn jī de bù tóng biǎo shì fǎ lái dé dào děng shì， cóng 'ér huà jiǎn dé dào gòu gǔ dìng lǐ ） tú jiàn http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
【 gè jù tè sè de zhèng míng fāng fǎ】
gòu gǔ dìng lǐ shì shù xué shàng zhèng míng fāng fǎ zuì duō de dìng lǐ zhī yī héng héng yòu sì bǎi duō zhǒng zhèng fǎ！ dàn yòu jìzǎi de dì yī gè zhèng míng héng héng bì dá gē lā sī de zhèng míng fāng fǎ yǐ jīng shī chuán。 mù qián suǒ néng jiàn dào de zuì zǎo de yī zhǒng zhèng fǎ， shǔ yú gǔ xī là shù xué jiā 'ōu jǐ lǐ dé。 tā de zhèng fǎ cǎi yòng yǎn yì tuī lǐ de xíng shì， jìzǎi zài shù xué jù zhù《 jǐ hé yuán běn》 lǐ。
zài zhōng guó gǔ dài de shù xué jiā zhōng， zuì zǎo duì gòu gǔ dìng lǐ jìn xíng zhèng míng de shì sān guó shí qī wú guó de shù xué jiā zhào shuǎng。 zhào shuǎng chuàng zhì liǎo yī fú“ gòu gǔ yuán fāng tú”， yòng shù xíng jié hé de fāng fǎ， gěi chū liǎo gòu gǔ dìng lǐ de xiáng xì zhèng míng。 zài zhè fú“ gòu gǔ yuán fāng tú” zhōng， yǐ xián wéi biān cháng dé dào zhèng fāng xíng abde shì yóu 4 gè xiāng děng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng zài jiā shàng zhōng jiān de nà gè xiǎo zhèng fāng xíng zǔ chéng de。 měi gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng de miàn jī wéi ab/2； zhōng jiān de xiǎo zhèng fāng xíng biān cháng wéi b-a， zé miàn jī wéi（ b-a） 2。 yú shì biàn kě dé rú xià de shì zǐ：
4×（ ab/2） +（ b-a） 2=c2
huà jiǎn hòu biàn kě dé： a2+b2=c2
yì jí： c=（ a2+b2） (1/2)
zhào shuǎng de zhè gè zhèng míng kě wèi bié jù jiàng xīn， jí fù chuàng xīn yì shí。 tā yòng jǐ hé tú xíng de jié、 gē、 pīn、 bǔ lái zhèng míng dài shù shì zhī jiān de héng děng guān xì， jì jù yán mì xìng， yòu jù zhí guān xìng， wéi zhōng guó gǔ dài yǐ xíng zhèng shù、 xíng shù tǒng yī、 dài shù hé jǐ hé jǐn mì jié hé、 hù bù kě fēn de dú tè fēng gé shù lì liǎo yī gè diǎn fàn。
yǐ xià wǎng zhǐ wéi zhào shuǎng de“ gòu gǔ yuán fāng tú”： http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01f9d756be31ce31f761a75cacc1410c.gif
yǐ hòu de shù xué jiā dà duō jì chéng liǎo zhè yī fēng gé bìng qiě yòu fā zhǎn， zhǐ shì jù tǐ tú xíng de fēn hé yí bǔ lüè yòu bù tóng 'ér yǐ。 lì rú shāo hòu yī diǎn de liú huī zài zhèng míng gòu gǔ dìng lǐ shí yě shì yòng yǐ xíng zhèng shù de fāng fǎ， liú huī yòng liǎo“ chū rù xiāng bǔ fǎ” jí jiǎn tiē zhèng míng fǎ， tā bǎ gòu gǔ wéi biān de zhèng fāng xíng shàng de mǒu xiē qū yù jiǎn xià lái ( chū )， yí dào yǐ xián wéi biān de zhèng fāng xíng de kòngbái qū yù nèi ( rù )， jiēguǒ gāng hǎo tián mǎn， wán quán yòng tú jiě fǎ jiù jiě jué liǎo wèn tí。
yǐ xià wǎng zhǐ wéi liú huī de“ qīng zhū chū rù tú”： http://cimg.163.com/catchpic/a/a7/a7070d771214459d67a75e8675aa4dcb.gif gòu 3 gǔ 4 |
|
gòu gǔ dìng lǐ :
zài wǒ guó， bǎ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng zhí jiǎo biān de píng fāng hé děng yú xié biān de píng fāng zhè yī tè xìng jiào zuò gòu gǔ dìng lǐ huò gòu gǔ xián dìng gǔ 'āi jí rén lì yòng dǎ jié zuò RT sān jiǎo xíng lǐ， yòu chēng bì dá gē lā sī dìng lǐ huò bì shì dìng lǐ（ PythagorasTheorem）。
dìng lǐ：
rú guǒ zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng zhí jiǎo biān fēn bié wéi a， b， xié biān wéi c， nà me a^2+b^2=c^2； jí zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng zhí jiǎo biān de píng fāng hé děng yú xié biān de píng fāng。
rú guǒ sān jiǎo xíng de sān tiáo biān a， b， c mǎn zú a^2+b^2=c^2， rú： yī tiáo zhí jiǎo biān shì 3， yī tiáo zhí jiǎo biān shì 4， xié biān jiù shì 3×3+4×4=X×X， X=5。 nà me zhè gè sān jiǎo xíng shì zhí jiǎo sān jiǎo xíng。（ chēng gòu gǔ dìng lǐ de nì dìng lǐ）
gòu gǔ dìng lǐ de lái yuán：
bì dá gē lā sī shù bì dá gē lā sī shù shì yī gè jī běn de jǐ hé dìng lǐ， chuán tǒng shàng rèn wéi shì yóu gǔ xī là de bì dá gē lā sī suǒ zhèng míng。 jù shuō bì dá gē lā sī zhèng míng liǎo zhè gè dìng lǐ hòu， jí zhǎn liǎo bǎi tóu niú zuò qìng zhù， yīn cǐ yòu chēng“ bǎi niú dìng lǐ”。 zài zhōng guó，《 zhōu bì suàn jīng》 jìzǎi liǎo gòu gǔ dìng lǐ de gōng shì yǔ zhèng míng， xiāng chuán shì zài shāng dài yóu shāng gāo fā xiàn， gù yòu yòu chēng zhī wéi shāng gāo dìng lǐ； sān guó shí dài de zhào shuǎng duì《 zhōu bì suàn jīng》 nèi de gòu gǔ dìng lǐ zuò chū liǎo xiáng xì zhù shì， yòu gěi chū liǎo lìng wài yī gè zhèng míng。 fǎ guó hé bǐ lì shí chēng wéi lǘ qiáo dìng lǐ， āi jí chēng wéi 'āi jí sān jiǎo xíng。 wǒ guó gǔ dài bǎ zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng jiào duǎn de zhí jiǎo biān jiào zuò gòu， jiào cháng de zhí jiǎo biān jiào zuò gǔ， xié biān jiào zuò xián。
yòu guān gòu gǔ dìng lǐ shū jí
《 shù xué yuán lǐ》 rén mín jiào yù chū bǎn shè
《 tàn jiū gòu gǔ dìng lǐ 》 tóng jì dà xué chū bǎn shè
《 yōu yīn péi jiào shù xué》 běi jīng dà xué chū bǎn shè
《 gòu gǔ mó xíng》 xīn shì jì chū bǎn shè
《 jiǔ zhāng suàn shù yī shū》
《 yōu yīn péi jiē mì gòu gǔ dìng lǐ 》 jiāng xī jiào yù chū bǎn shè
bì dá gē lā sī shù
bì dá gē lā sī shù shì yóu bì dá gē lā sī gēn jù gòu gǔ dìng lǐ suǒ huà chū lái de yī gè kě yǐ wú xiàn chóngfù de tú xíng。 yòu yīn wéi chóngfù shù cì hòu de xíng zhuàng hǎo sì yī kē shù， suǒ yǐ bèi chēng wéi bì dá gē lā sī shù。
zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng gè zhí jiǎo biān píng fāng de hé děng yú xié biān de píng fāng。
liǎng gè xiāng lín de xiǎo zhèng fāng xíng miàn jī de hé děng yú xiāng lín de yī gè dà zhèng fāng xíng de miàn jī。
lì yòng bù děng shì A2+B2 ≥ 2AB
sān gè zhèng fāng xíng zhī jiān de sān jiǎo xíng， qí miàn jī xiǎo yú děng yú dà zhèng fāng xíng miàn jī de sì fēn zhī yī， dà yú děng yú yī gè xiǎo zhèng fāng xíng miàn jī de 'èr fēn zhī yī。 |
zuì zǎo de gòu gǔ dìng lǐ yìng yòng |
cóng hěn duō ní bǎn jìzǎi biǎo míng， bā bǐ lún rén shì shì jiè shàng zuì zǎo fā xiàn“ gòu gǔ dìng lǐ ” de， zhè lǐ zhǐ jǔ yī lì。 lì rú gōng yuán qián 1700 nián de yī kuài ní bǎn（ biān hào wéi BM85196） shàng dì jiǔ tí， dà yì wéi“ yòu yī gēn cháng wéi 5 mǐ de mù liáng（ AB） shù zhí kào zài qiáng shàng， shàng duān（ A） xià huá yī mǐ zhì D。 wèn xià duān（ C） lí qiáng gēn（ B） duō yuǎn？” tā men jiě cǐ tí jiù shì yòng liǎo gòu gǔ dìng lǐ ， rú tú
shè AB=CD=l=5 mǐ， BC=a， AD=h=1 mǐ， zé BD=l-h=5-1 mǐ =4 mǐ
∴ a= √ [l-（ l-h)]=√ [5-(5-1)]=3 mǐ，∴ sān jiǎo xíng BDC zhèng shì yǐ 3、 4、 5 wéi biān de gòu gǔ sān jiǎo xíng。 |
《 zhōu bì suàn jīng》 zhōng gòu gǔ dìng lǐ de gōng shì yǔ zhèng míng |
《 zhōu bì suàn jīng》 suàn jīng shí shū zhī yī。 yuē chéng shū yú gōng yuán qián 'èr shì jì， yuán míng《 zhōu bì》， tā shì wǒ guó zuì gǔ lǎo de tiān wén xué zhù zuò， zhù yào chǎn míng dāng shí de gài tiān shuō hé sì fēn lì fǎ。 táng chū guī dìng tā wèiguó zǐ jiān míng suàn kē de jiào cái zhī yī， gù gǎi míng《 zhōu bì suàn jīng》。
shǒu xiān，《 zhōu bì suàn jīng》 zhōng míng què jìzǎi liǎo gòu gǔ dìng lǐ de gōng shì：“ ruò qiú xié zhì rì zhě， yǐ rì xià wéi jù， rì gāo wéi gǔ， jù gǔ gè zì chéng， bìng 'ér kāi fāng chú zhī， dé xié zhì rì”（《 zhōu bì suàn jīng》 shàng juàn 'èr）
ér gòu gǔ dìng lǐ de zhèng míng ní， jiù zài《 zhōu bì suàn jīng》 shàng juàn yī héng héng
xī zhě zhōu gōng wèn yú shāng gāo yuē：“ qiè wén hū dà fū shànshǔ yě， qǐng wèn xī zhě bāo xī lì zhōu tiān lì dù héng héng fū tiān kě bù jiē 'ér shēng， dì bù kě dé chǐ cùn 'ér dù， qǐng wèn shù 'ān cóng chū？”
shāng gāo yuē：“ shǔzhī fǎ chū yú yuán fāng， yuán chū yú fāng， fāng chū yú jǔ， jǔ chū yú jiǔ jiǔ bā shí yī。 gù zhé jǔ， yǐ wéi jù guǎng sān， gǔ xiū sì， jìng yú wǔ。 jì fāng zhī， wài bàn qí yī jǔ， huán 'ér gòng pán， dé chéng sān sì wǔ。 liǎng jǔ gòng cháng 'èr shí yòu wǔ， shì wèi jī jǔ。 gù yǔ zhī suǒ yǐ zhì tiān xià zhě， cǐ shǔzhī suǒ shēng yě。”
zhōu gōng duì gǔ dài fú xī（ bāo xī） gòu zào zhōu tiān lì dù de shì jì gǎn dào bù kě sī yì（ tiān bù kě jiē 'ér shēng， dì bù kě dé chǐ cùn 'ér dù）， jiù qǐng jiào shāng gāo shù xué zhī shí cóng hé 'ér lái。 yú shì shāng gāo yǐ gòu gǔ dìng lǐ de zhèng míng wéi lì， jiě shì shù xué zhī shí de yóu lái。
《 zhōu bì suàn jīng》 zhèng míng bù zhòu“ shǔzhī fǎ chū yú yuán fāng， yuán chū yú fāng， fāng chū yú jǔ， jǔ chū yú jiǔ jiǔ bā shí yī。”： jiě shì fā zhǎn mài luò héng héng shǔzhī fǎ chū yú yuán（ yuánzhōulǜ sān） fāng（ sì fāng）， yuán chū yú fāng（ yuán xíng miàn jī = wài jiē zhèng fāng xíng * yuánzhōulǜ /4）， fāng chū yú jǔ（ zhèng fāng xíng yuán zì liǎng biān xiāng děng de jǔ）， jǔ chū yú jiǔ jiǔ bā shí yī（ cháng chéng kuān miàn jī jì suàn yǐ zì jiǔ jiǔ chéng fǎ biǎo）。
“ gù zhé jǔ ①， yǐ wéi jù guǎng sān， gǔ xiū sì， jìng yú wǔ。”： kāi shǐ zuò tú héng héng xuǎn zé yī gè gòu sān（ yuánzhōulǜ sān）、 gǔ sì（ sì fāng） de jǔ， jǔ de liǎng tiáo biān zhōng diǎn de lián xiàn yìng wéi 5（ jìng yú wǔ）。
“ ② jì fāng zhī， wài bàn qí yī jǔ， huán 'ér gòng pán， dé chéng sān sì wǔ。”： zhè jiù shì guān jiàn de zhèng míng guò chéng héng héng yǐ jǔ de liǎng tiáo biān huà zhèng fāng xíng（ gòu fāng、 gǔ fāng）， gēn jù jǔ de xián wài miàn zài huà yī gè jǔ（ qū chǐ， shí jì shàng yòng zuò zhí jiǎo sān jiǎo）， jiāng“ wài bàn qí yī jǔ” dé dào de sān jiǎo xíng jiǎn xià huán rào fù zhì xíng chéng yī gè dà zhèng fāng xíng， kě kàn dào qí zhōng yòu biān cháng sān gòu fāng、 biān cháng sì gǔ fāng、 biān cháng wǔ xián fāng sān gè zhèng fāng xíng。
“ liǎng jǔ gòng cháng ③ èr shí yòu wǔ， shì wèi jī jǔ。”： cǐ wéi yàn suàn héng héng gòu fāng、 gǔ fāng de miàn jī zhī hé， yǔ xián fāng de miàn jī 'èr shí wǔ xiāng děng héng héng cóng tú xíng shàng lái kàn， dà zhèng fāng xíng jiǎn qù sì gè sān jiǎo xíng miàn jī hòu wéi xián fāng， zài shì dà zhèng fāng xíng jiǎn qù yòu shàng、 zuǒ xià liǎng gè cháng fāng xíng miàn jī hòu wéi gòu fāng gǔ fāng zhī hé。 yīn sān jiǎo xíng wéi cháng fāng xíng miàn jī de yī bàn， kě tuī chū sì gè sān jiǎo xíng miàn jī děng yú yòu shàng、 zuǒ xià liǎng gè cháng fāng xíng miàn jī， suǒ yǐ gòu fāng + gǔ fāng = xián fāng。
zhù yì：
① jǔ， yòu chēng qū chǐ， L xíng de mù jiàng gōng jù， yóu cháng duǎn liǎng gēn mù tiáo zǔ chéng de zhí jiǎo。 gǔ dài“ jǔ” zhǐ L xíng qū chǐ，“ jǔ xíng” cái shì“ jǔ” yǎn shēng de cháng fāng xíng。
②“ jì fāng zhī， wài bàn qí yī jǔ” cǐ jù yòu zhēng yì。 qīng dài sì kù quán shū bǎn dìng wéi“ jì fāng qí wài bàn zhī yī jǔ”， ér zhī qián bǎn běn duō wéi“ jì fāng zhī wài bàn qí yī jǔ”。 jīng chén liáng zuǒ、 lǐ guó wěi、 lǐ jì mǐn、 qū 'ān jīng děng xué zhě yán jiū，“ jì fāng zhī， wài bàn qí yī jǔ” gèng fú hé luó ji。
③ cháng zhǐ de shì miàn jī。 gǔ dài duì bù tóng wéi dù de liàng gāng bǐ jiào， bìng méi yòu fā míng xīn de shù yǔ， ér tǒng chēng“ cháng”。 zhào shuǎng zhù chēng :“ liǎng jǔ zhě , jù gǔ gè zì chéng zhī shí。 gòng zhǎngzhě , bìng shí zhī shù。
yóu yú nián dài jiǔ yuǎn， zhōu gōng xián tú shī chuán， chuán shì bǎn běn zhǐ yìn liǎo zhào shuǎng xián tú（ zào zhǐ shù zài hàn dài cái fā míng）。 suǒ yǐ mǒu xiē xué zhě wù yǐ wéi shāng gāo méi yòu zhèng míng（ zhǐ shì shuō liǎo yī duàn mò míng qí miào de huà）， hòu lái zhào shuǎng cái gěi chū zhèng míng。
qí shí bù rán， zhāi lù zhào shuǎng zhù shì《 zhōu bì suàn jīng》 shí suǒ zuò de《 jù gǔ yuán fāng tú》 héng héng“ jù gǔ gè zì chéng , bìng zhī wéi xián shí , kāi fāng chú zhī jí xián。 àn : xián tú yòu kě yǐ jù gǔ xiāng chéng wéi zhū shí 'èr , bèi zhī wéi zhū shí sì , yǐ jù gǔ zhī chā zì xiāng chéng wéi zhōng huáng shí , jiā chā shí yì chéng xián shí。”
zhào shuǎng xián tú zhù yì“ àn” zhōng de“ xián tú yòu kě yǐ”、“ yì chéng xián shí”，“ yòu”“ yì” èr zì biǎo shì zhào shuǎng rèn wéi gòu gǔ dìng lǐ hái kě yǐ yòng lìng yī zhǒng fāng fǎ zhèng míng， yú shì tā gěi chū liǎo xīn de zhèng míng。
xià wéi zhào shuǎng zhèng míng héng héng
qīng zhū chū rù tú sān jiǎo xíng wéi zhí jiǎo sān jiǎo xíng， yǐ gòu a wéi biān de zhèng fāng xíng wéi zhū fāng， yǐ gǔ b wéi biān de zhèng fāng xíng wéi qīng fāng。 yǐ yíng bǔ xū， jiāng zhū fāng、 qīng fàng bìng chéng xián fāng。 yǐ qí miàn jī guān xì yòu a^2+b^2=c^2. yóu yú zhū fāng、 qīng fāng gè yòu yī bù fēn zài xuán fāng nèi， nà yī bù fēn jiù bù dòng liǎo。
yǐ gòu wéi biān de de zhèng fāng xíng wéi zhū fāng， yǐ gǔ wéi biān de zhèng fāng xíng wéi qīng fāng。 yǐ yíng bǔ xū， zhǐ yào bǎ tú zhōng zhū fāng（ a2） de I yí zhì I ′， qīng fāng de II yí zhì II′， III yí zhì III′， zé gāng hǎo pīn hǎo yī gè yǐ xián wéi biān cháng de zhèng fāng xíng（ c …… 2）． yóu cǐ biàn kě zhèng dé a^+b^2=c^2; |
gā fěi 'ěr dé zhèng míng gòu gǔ dìng lǐ de gù shì |
1876 nián yī gè zhōu mò de bàng wǎn， zài měi guó shǒu dū huá shèng dùn de jiāo wài， yòu yī wèi zhōng nián rén zhèng zài sàn bù， xīn shǎng huáng hūn de měi jǐng， tā jiù shì dāng shí měi guó 'é hài 'é zhōu gòng hé dǎng yì yuán gā fěi 'ěr dé。 tā zǒu zhe zǒu zhe， tū rán fā xiàn fù jìn de yī gè xiǎo shí dèng shàng， yòu liǎng gè xiǎo hái zhèng zài jù jīng huì shén dì tán lùn zhe shénme， shí 'ér dà shēng zhēng lùn， shí 'ér xiǎo shēng tàn tǎo。 yóu yú hàoqí xīn qū shǐ， gā fěi 'ěr dé xún shēng xiàng liǎng gè xiǎo hái zǒu qù， xiǎng gǎo qīng chǔ liǎng gè xiǎo hái dào dǐ zài gànshénme。 zhǐ jiàn yī gè xiǎo nán hái zhèng fǔ zhe shēn zǐ yòng shù zhī zài dì shàng huà zhe yī gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng。 yú shì gā fěi 'ěr dé biàn wèn tā men zài gànshénme？ nà gè xiǎo nán hái tóu yě bù tái dì shuō：“ qǐng wèn xiān shēng， rú guǒ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng tiáo zhí jiǎo biān fēn bié wéi 3 hé 4， nà me xié biān cháng wéi duō shǎo ní？” gā fěi 'ěr dé dá dào：“ shì 5 yā。” xiǎo nán hái yòu wèn dào：“ rú guǒ liǎng tiáo zhí jiǎo biān fēn bié wéi 5 hé 7， nà me zhè gè zhí jiǎo sān jiǎo xíng de xié biān cháng yòu shì duō shǎo？” gā fěi 'ěr dé bù jiā sī suǒ dì huí dá dào：“ nà xié biān de píng fāng yī dìng děng yú 5 de píng fāng jiā shàng 7 de píng fāng．” xiǎo nán hái shuō：“ xiān shēng， nǐ néng shuō chū qí zhōng de dào lǐ má？” gā fěi 'ěr dé yī shí yǔ sài， wú fǎ jiě shì liǎo， xīn lǐ hěn bù shì zī wèi。， gā fěi 'ěr dé bù zài sàn bù， lì jí huí jiā， qián xīn tàn tǎo xiǎo nán hái gěi tā chū de nán tí。 tā jīng guò fǎn fù sī kǎo yǔ yǎn suàn， zhōng yú nòng qīng liǎo qí zhōng de dào lǐ， bìng gěi chū liǎo jiǎn jié de zhèng míng fāng fǎ。
rú xià :
jiě： zài wǎng gé nèi， yǐ liǎng gè zhí jiǎo biān wéi biān cháng de xiǎo zhèng fāng xíng miàn jī hé， děng yú yǐ xié biān wéi biān cháng dídí zhèng fāng xíng miàn jī。
gòu gǔ dìng lǐ de nèi róng： zhí jiǎo sān jiǎo xíng liǎng zhí jiǎo biān a、 b de píng fāng hé děng yú xié biān c de píng fāng，
a de píng fāng +b de píng fāng =c de píng fāng ;
shuō míng： wǒ guó gǔ dài xué zhě bǎ zhí jiǎo sān jiǎo xíng de jiào duǎn zhí jiǎo biān chēng wéi“ gòu”， jiào cháng zhí jiǎo biān wéi“ gǔ”， xié biān chēng wéi“ xián”， suǒ yǐ bǎ zhè gè dìng lǐ chéng wéi“ gòu gǔ dìng lǐ ”。 gòu gǔ dìng lǐ jiē shì liǎo zhí jiǎo sān jiǎo xíng biān zhī jiān de guān xì。
jǔ lì： rú zhí jiǎo sān jiǎo xíng de liǎng gè zhí jiǎo biān fēn bié wéi 3、 4， zé xié biān c de píng fāng ;=a de píng fāng +b de píng fāng =9+16=25 jí c=5
zé shuō míng xié biān wéi 5。 |
gòu gǔ dìng lǐ de zhǒng zhèng míng fāng fǎ |
zhè gè dìng lǐ yòu xǔ duō zhèng míng de fāng fǎ， qí zhèng míng de fāng fǎ kě néng shì shù xué zhòng duō dìng lǐ zhōng zuì duō de。 lù míng sī（ ElishaScottLoomis） de PythagoreanProposition yī shū zhōng zǒng gòng tí dào 367 zhǒng zhèng míng fāng shì。
yòu rén huì cháng shì yǐ sān jiǎo héng děng shì（ lì rú： zhèng xián hé yú xián hán shù de tài lè jí shù） lái zhèng míng gòu gǔ dìng lǐ ， dàn shì， yīn wéi suǒ yòu de jī běn sān jiǎo héng děng shì dōushì jiàn jī yú gòu gǔ dìng lǐ ， suǒ yǐ bù néng zuò wéi gòu gǔ dìng lǐ de zhèng míng（ cān jiàn xún huán lùn zhèng）。
【 zhèng fǎ 1】（ méi wén dǐng zhèng míng）
zuò sì gè quán děng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng， shè tā men de liǎng tiáo zhí jiǎo biān cháng fēn bié wéi a、 b， xié biān cháng wéi c. bǎ tā men pīn chéng rú tú nà yàng de yī gè duō biān xíng， shǐ D、 E、 F zài yī tiáo zhí xiàn shàng . guò C zuò AC de yán cháng xiàn jiāo DF yú diǎn P.
∵ D、 E、 F zài yī tiáo zhí xiàn shàng , qiě RtΔGEF≌ RtΔEBD,
∴∠ EGF=∠ BED，
∵∠ EGF+∠ GEF=90°，
∴∠ BED+∠ GEF=90°，
∴∠ BEG=180° ― 90°=90°
yòu∵ AB=BE=EG=GA=c，
∴ ABEG shì yī gè biān cháng wéi c de zhèng fāng xíng .
∴∠ ABC+∠ CBE=90°
∵ RtΔABC≌ RtΔEBD,
∴∠ ABC=∠ EBD.
∴∠ EBD+∠ CBE=90°
jí∠ CBD=90°
yòu∵∠ BDE=90°，∠ BCP=90°，
BC=BD=a.
∴ BDPC shì yī gè biān cháng wéi a de zhèng fāng xíng .
tóng lǐ， HPFG shì yī gè biān cháng wéi b de zhèng fāng xíng .
shè duō biān xíng GHCBE de miàn jī wéi S， zé
,
∴ .
【 zhèng fǎ 2】（ xiàng míng dá zhèng míng）
zuò liǎng gè quán děng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng， shè tā men de liǎng tiáo zhí jiǎo biān cháng fēn bié wéi a、 b（ b>a）， xié biān cháng wéi c. zài zuò yī gè biān cháng wéi c de zhèng fāng xíng . bǎ tā men pīn chéng rú tú suǒ shì de duō biān xíng， shǐ E、 A、 C sān diǎn zài yī tiáo zhí xiàn shàng .
guò diǎn Q zuò QP ∥ BC， jiāo AC yú diǎn P.
guò diǎn B zuò BM⊥ PQ， chuí zú wéi M； zài guò diǎn
F zuò FN⊥ PQ， chuí zú wéi N.
∵∠ BCA=90°， QP∥ BC，
∴∠ MPC=90°，
∵ BM⊥ PQ，
∴∠ BMP=90°，
∴ BCPM shì yī gè jǔ xíng， jí∠ MBC=90°.
∵∠ QBM+∠ MBA=∠ QBA=°，
∠ ABC+∠ MBA=∠ MBC=90°，
∴∠ QBM=∠ ABC，
yòu∵∠ BMP=90°，∠ BCA=90°， BQ=BA=c，
∴ RtΔBMQ≌ RtΔBCA.
tóng lǐ kě zhèng RtΔQNF≌ RtΔAEF.
【 zhèng fǎ 3】（ zhào hào jié zhèng míng）
zuò liǎng gè quán děng de zhí jiǎo sān jiǎo xíng， shè tā men de liǎng tiáo zhí jiǎo biān cháng fēn bié wéi a、 b（ b>a）， xié biān cháng wéi c. zài zuò yī gè biān cháng wéi c de zhèng fāng xíng . bǎ tā men pīn chéng rú tú suǒ shì de duō biān xíng .
fēn bié yǐ CF， AE wéi biān cháng zuò zhèng fāng xíng FCJI hé AEIG，
∵ EF=DF-DE=b-a， EI=b，
∴ FI=a，
∴ G,I,J zài tóng yī zhí xiàn shàng，
∵ CJ=CF=a， CB=CD=c，
∠ CJB=∠ CFD=90°，
∴ RtΔCJB≌ RtΔCFD，
tóng lǐ， RtΔABG≌ RtΔADE，
∴ RtΔCJB≌ RtΔCFD≌ RtΔABG≌ RtΔADE
∴∠ ABG=∠ BCJ,
∵∠ BCJ+∠ CBJ=90°,
∴∠ ABG+∠ CBJ=90°,
∵∠ ABC=90°,
∴ G,B,I,J zài tóng yī zhí xiàn shàng，
【 zhèng fǎ 4】（ ōu jǐ lǐ dé zhèng míng）
zuò sān gè biān cháng fēn bié wéi a、 b、 c de zhèng fāng xíng， bǎ tā men pīn chéng rú tú suǒ shì xíng zhuàng， shǐ H、 C、 B sān diǎn zài yī tiáo zhí xiàn shàng， lián jié
BF、 CD. guò C zuò CL⊥ DE，
jiāo AB yú diǎn M， jiāo DE yú diǎn L.
∵ AF=AC， AB=AD，
∠ FAB=∠ GAD，
∴ ΔFAB≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB de miàn jī děng yú，
ΔGAD de miàn jī děng yú jǔ xíng ADLM
de miàn jī de yī bàn，
∴ jǔ xíng ADLM de miàn jī =.
tóng lǐ kě zhèng， jǔ xíng MLEB de miàn jī =.
∵ zhèng fāng xíng ADEB de miàn jī
= jǔ xíng ADLM de miàn jī + jǔ xíng MLEB de miàn jī
∴ jí a de píng fāng +b de píng fāng =c de píng fāng
【 zhèng fǎ 5】 ōu jǐ lǐ dé de zhèng fǎ
《 jǐ hé yuán běn》 zhōng de zhèng míng
zài 'ōu jǐ lǐ dé de《 jǐ hé yuán běn》 yī shū zhōng tí chū gòu gǔ dìng lǐ yóu yǐ xià zhèng míng hòu kě chéng lì。 shè△ ABC wéi yī zhí jiǎo sān jiǎo xíng， qí zhōng A wéi zhí jiǎo。 cóng A diǎn huá yī zhí xiàn zhì duì biān， shǐ qí chuí zhí yú duì biān shàng de zhèng fāng xíng。 cǐ xiàn bǎ duì biān shàng de zhèng fāng xíng yī fēn wéi 'èr， qí miàn jī fēn bié yǔ qí yú liǎng gè zhèng fāng xíng xiāng děng。
zài zhèng shì de zhèng míng zhōng， wǒ men xū yào sì gè fǔ zhù dìng lǐ rú xià：
rú guǒ liǎng gè sān jiǎo xíng yòu liǎng zǔ duì yìng biān hé zhè liǎng zǔ biān suǒ jiā de jiǎo xiāng děng， zé liǎng sān jiǎo xíng quán děng。（ SAS dìng lǐ） sān jiǎo xíng miàn jī shì rèn yī tóng dǐ tóng gāo zhī píng xíng sì biān xíng miàn jī de yī bàn。 rèn yì yī gè zhèng fāng xíng de miàn jī děng yú qí 'èr biān cháng de chéng jī。 rèn yì yī gè sì fāng xíng de miàn jī děng yú qí 'èr biān cháng de chéng jī（ jù fǔ zhù dìng lǐ 3）。 zhèng míng de gài niàn wéi： bǎ shàng fāng de liǎng gè zhèng fāng xíng zhuǎn huàn chéng liǎng gè tóng děng miàn jī de píng xíng sì biān xíng， zài xuán zhuǎn bìng zhuǎn huàn chéng xià fāng de liǎng gè tóng děng miàn jī de cháng fāng xíng。
qí zhèng míng rú xià：
shè△ ABC wéi yī zhí jiǎo sān jiǎo xíng， qí zhí jiǎo wéi CAB。 qí biān wéi BC、 AB、 hé CA， yǐ xù huì chéng sì fāng xíng CBDE、 BAGF hé ACIH。 huà chū guò diǎn A zhī BD、 CE de píng xíng xiàn。 cǐ xiàn jiāng fēn bié yǔ BC hé DE zhí jiǎo xiāng jiāo yú K、 L。 fēn bié lián jiē CF、 AD， xíng chéng liǎng gè sān jiǎo xíng BCF、 BDA。∠ CAB hé∠ BAG dōushì zhí jiǎo， yīn cǐ C、 A hé G dōushì xiàn xìng duì yìng de， tóng lǐ kě zhèng B、 A hé H。∠ CBD hé∠ FBA jiē wéi zhí jiǎo， suǒ yǐ∠ ABD děng yú∠ FBC。 yīn wéi AB hé BD fēn bié děng yú FB hé BC， suǒ yǐ△ ABD bì xū xiāng děng yú△ FBC。 yīn wéi A yǔ K hé L shì xiàn xìng duì yìng de， suǒ yǐ sì fāng xíng BDLK bì xū 'èr bèi miàn jī yú△ ABD。 yīn wéi C、 A hé G yòu gòng tóng xiàn xìng， suǒ yǐ zhèng fāng xíng BAGF bì xū 'èr bèi miàn jī yú△ FBC。 yīn cǐ sì biān xíng BDLK bì xū yòu xiāng tóng de miàn jī BAGF=AB^2。 tóng lǐ kě zhèng， sì biān xíng CKLE bì xū yòu xiāng tóng de miàn jī ACIH=AC^2。 bǎ zhè liǎng gè jiēguǒ xiāng jiā， AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC yóu yú BD=KL， BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC yóu yú CBDE shì gè zhèng fāng xíng， yīn cǐ AB^2+AC^2=BC^2。 cǐ zhèng míng shì yú 'ōu jǐ lǐ dé《 jǐ hé yuán běn》 yī shū dì 1.47 jié suǒ tí chū de |
gòu gǔ dìng lǐ de bié míng |
gòu gǔ dìng lǐ ， shì jǐ hé xué zhōng yī kē guāng cǎi duó mùdì míng zhū， bèi chēng wéi“ jǐ hé xué de jī shí”， ér qiě zài gāo děng shù xué hé qí tā xué kē zhōng yě yòu zhe jí wéi guǎng fàn de yìng yòng。 zhèng yīn wéi zhè yàng， shì jiè shàng jǐ gè wén míng gǔ guó dōuyǐ fā xiàn bìng qiě jìn xíng liǎo guǎng fàn shēn rù de yán jiū， yīn cǐ yòu xǔ duō míng chēng。
wǒ guó shì fā xiàn hé yán jiū gòu gǔ dìng lǐ zuì gǔ lǎo de guó jiā zhī yī。 wǒ guó gǔ dài shù xué jiā chēng zhí jiǎo sān jiǎo xíng wéi gòu gǔ xíng， jiào duǎn de zhí jiǎo biān chēng wéi gòu， lìng yī zhí jiǎo biān chēng wéi gǔ， xié biān chēng wéi xián， suǒ yǐ gòu gǔ dìng lǐ yě chēng wéi gòu gǔ xián dìng lǐ。 zài gōng yuán qián 1000 duō nián， jù jìzǎi， shāng gāo ( yuē gōng yuán qián 1120 nián ) dá zhōu gōng yuē“ gù zhé jǔ， yǐ wéi jù guǎng sān， gǔ xiū sì， jìng yú wǔ。 jì fāng zhī， wài bàn qí yī jǔ， huán 'ér gòng pán， dé chéng sān sì wǔ。 liǎng jǔ gòng cháng 'èr shí yòu wǔ， shì wèi jī jǔ。”． yīn cǐ， gòu gǔ dìng lǐ zài wǒ guó yòu chēng“ shāng gāo dìng lǐ”． zài gōng yuán qián 7 zhì 6 shì jì yī zhōng guó xué zhě chén zǐ， céng jīng gěi chū guò rèn yì zhí jiǎo sān jiǎo xíng de sān biān guān xì jí“ yǐ rì xià wéi gòu， rì gāo wéi gǔ， gòu、 gǔ gè chéng bìng kāi fāng chú zhī dé xié zhì rì。
zài fǎ guó hé bǐ lì shí， gòu gǔ dìng lǐ yòu jiào“ lǘ qiáo dìng lǐ”。 hái yòu de guó jiā chēng gòu gǔ dìng lǐ wéi“ píng fāng dìng lǐ”。
zài chén zǐ hòu yī 'èr bǎi nián， xī là de zhù míng shù xué jiā bì dá gē lā sī fā xiàn liǎo zhè gè dìng lǐ， yīn cǐ shì jiè shàng xǔ duō guó jiādōu chēng gòu gǔ dìng lǐ wéi“ bì dá gē lā sī” dìng lǐ． wèile qìng zhù zhè yī dìng lǐ de fā xiàn， bì dá gē lā sī xué pài shā liǎo yī bǎi tóu niú chóu xiè gòngfèng shén líng， yīn cǐ zhè gè dìng lǐ yòu yòu rén jiào zuò“ bǎi niú dìng lǐ”．
qián rèn měi guó dì 'èr shí jiè zǒng tǒng gā fěi 'ěr dé zhèng míng liǎo gòu gǔ dìng lǐ （ 1876 nián 4 yuè 1 rì）。 |
|
- n.: Pythagorean theorem
|
|
| shù xué | bì dá gē lā sī dìng lǐ | jiào yù | lǐ kē | zhī shí | yuán | suàn shù | xiàn xìng fāng chéng | | ā lā bó shù xué | jǐ hé | shāng gāo dìng lǐ | bì shì dìng lǐ | gòu gǔ dìng lǐ zhèng míng | |
|
|
| guǎng gòu gǔ dìng lǐ | guǎng yì gòu gǔ dìng lǐ | gòu gǔ dìng lǐ zhèng míng | | gòu gǔ dìng lǐ de nì dìng lǐ | |
|