tǒng jì yǔ gàilǜ : fó jiào yòng yǔ : yǔ yán xué shù yǔ : wù lǐ xué lèi : jì suàn jī : shù xué jiào yù : nóng xué : zhǐ wén shí bié > hán shù
mùlù
log hán shù Han Shu  

hán shù hán shù
函数 hán shù
　　zài mǒu yī biàn huà guò chéng zhōng， liǎng gè biàn liàng x、 y， duì yú mǒu yī fàn wéi nèi de x de měi yī gè zhí， y dōuyòu què dìng de zhí hé tā duì yìng， y jiù shì x de hán shù 。 zhè zhǒng guān xì yī bān yòng y=f(x) lái biǎo shì。
hán shù hán shù
　　bǐ cǐ xiāng guān de liǎng gè liàng zhī yī , tā men de guān xì shì yī gè liàng de zhū zhí yǔ lìng wài yī gè liàng de zhū zhí xiāng duì yìng
No. 4
　　chēng yīn biàn shù。 shù xué míng cí。 zài hù xiāng guān lián de liǎng gè shù zhōng， rú jiá shù biàn huà， yǐ shù yì suí jiá shù de biàn huà 'ér biàn huà， zé yǐ shù chēng wéi jiá shù de hán shù 。 rú mǒu zhǒng bù měi chǐ jià gé yī dìng， zé mǎi de chǐ shù yuè duō， yìng fù jīn 'é yě yuè duō。 yìng fù de jīn 'é jí chǐ shù de hán shù 。
jiǎn jiè
　　zài shù xué lǐng yù， hán shù shì yī zhǒng guān xì， zhè zhǒng guān xì shǐ yī gè jí hé lǐ de měi yī gè yuán sù duì yìng dào lìng yī gè（ kě néng xiāng tóng de） jí hé lǐ de wéi yī yuán sù。
　　----avariablesorelatedtoanotherthatforeachvalueassumedbyonethereisavaluedeterminedfortheother.
　　 zì biàn liàng， hán shù yī gè yǔ tā liàng yòu guān lián de biàn liàng， zhè yī liàng zhōng de rèn hé yī zhí dōunéng zài tā liàng zhōng zhǎo dào duì yìng de gù dìng zhí。
　　----aruleofcorrespondencebetweentwosetssuchthatthereisauniqueelementinthesecondsetassignedtoeachelementinthefirstset.
　　 hán shù liǎng zǔ yuán sù yī yī duì yìng de guī zé， dì yī zǔ zhōng de měi gè yuán sù zài dì 'èr zǔ zhōng zhǐ yòu wéi yī de duì yìng liàng。
　　 hán shù de gài niàn duì yú shù xué hé shù liàng xué de měi yī gè fēn zhī lái shuō dōushì zuì jī chǔ de。
　　functions
　　 shù xué zhōng de yī zhǒng duì yìng guān xì， shì cóng mǒu jí hé a dào shí shù jí b de duì yìng。 jiǎn dān dì shuō， jiá suí zhe yǐ biàn， jiá jiù shì yǐ de hán shù 。 jīng què dì shuō， shè x shì yī gè bù kōng jí hé， y shì mǒu gè shí shù jí hé， f shì gè guī zé， ruò duì x zhōng de měi gè x， àn guī zé f， yòu y zhōng de yī gè y yǔ zhī duì yìng， jiù chēng f shì x shàng de yī gè hán shù ， jì zuò y ＝ f（ x）， chēng x wéi hán shù f（ x） de dìng yì yù， y wéi qí zhí yù， x jiào zuò zì biàn liàng， y wéi x de hán shù 。
　　 lì 1： y＝ sinxx＝ ［ 0， 2π ］， y＝［ － 1， 1］， tā gěi chū liǎo yī gè hán shù guān xì。 dāng rán， bǎ y gǎi wéi y1＝（ a， b）， a ＜ b wéi rèn yì shí shù， réng rán shì yī gè hán shù guān xì。
　　 qí shēn dù y yǔ yī 'àn biān diǎn o dào cèliáng diǎn de jù lí x zhī jiān de duì yìng guān xì chéng qū xiàn， zhè dài biǎo yī gè hán shù ， dìng yì yù wéi［ 0， b］。 yǐ shàng 3 lì zhǎn shì liǎo hán shù de sān zhǒng biǎo shì fǎ： gōng shì fǎ， biǎo gé fǎ hé tú xiàng fǎ。
fù hé hán shù
　　yòu 3 gè biàn liàng， y shì u de hán shù ， y＝ ψ（ u）， u shì x de hán shù ， u＝ f（ x）， wǎng wǎng néng xíng chéng liàn： y tōng guò zhōng jiān biàn liàng u gòu chéng liǎo x de hán shù ：
　　x → u→ y， zhè yào kàn dìng yì yù： shè ψ de dìng yì yù wéi u。 f de zhí yù wéi u， dāng u*íu shí， chēng f yǔ ψ gòu chéng yī gè fù hé hán shù ， lì rú y＝ lgsinx， x ∈（ 0， π）。 cǐ shí sinx ＞ 0， lgsinx yòu yì yì。 dàn rú ruò guī dìng x∈（－ π， 0）， cǐ shí sinx＜ 0， lgsinx wú yì yì， jiù chéng bù liǎo fù hé hán shù 。
fǎn hán shù
　　jiù guān xì 'ér yán， yī bān shì shuāng xiàng de， hán shù yě rú cǐ， shè y＝ f（ x） wéi yǐ zhī de hán shù ， ruò duì měi gè y∈ y， yòu wéi yī de x∈ x， shǐ f（ x）＝ y， zhè shì yī gè yóu y zhǎo x de guò chéng， jí x chéng liǎo y de hán shù ， jì wéi x＝ f-1（ y）。 chēng f-1 wéi f de fǎn hán shù 。 xí guàn shàng yòng x biǎo shì zì biàn liàng， gù zhè gè hán shù réng jì wéi y＝ f-1（ x）， lì rú y＝ sinx yǔ y＝ arcsinx hù wéi fǎn hán shù 。 zài tóng yī zuò biāo xì zhōng， y＝ f（ x） yǔ y＝ f-1（ x） de tú xíng guān yú zhí xiàn y＝ x duìchèn。
yǐn hán shù
　　ruò néng yóu hán shù fāng chéng f（ x， y）＝ 0 què dìng y wéi x de hán shù y＝ f（ x）， jí f（ x， f（ x）） ≡ 0， jiù chēng y shì x de yǐn hán shù 。
duō yuán hán shù
　　shè diǎn（ x1， x2， …， xn）∈ gírn， uír1， ruò duì měi yī diǎn（ x1， x2，…， xn）∈ g， yóu mǒu guī zé f yòu wéi yī de u∈ u yǔ zhī duì yìng： f： g→ u， u＝ f（ x1， x2，…， xn）， zé chēng f wéi yī gè n yuán hán shù ， g wéi dìng yì yù， u wéi zhí yù。
　　 jī běn chū děng hán shù jí qí tú xiàng mì hán shù 、 zhǐ shù hán shù 、 duì shù hán shù 、 sān jiǎo hán shù 、 fǎn sān jiǎo hán shù chēng wéi jī běn chū děng hán shù 。
　　 ① mì hán shù ： y＝ xμ（ μ ≠ 0， μ wéi rèn yì shí shù） dìng yì yù： μ wéi zhèng zhěng shù shí wéi（－ ∞， ＋∞）， μ wéi fù zhěng shù shí shì（－∞， 0） ∪（ 0，＋∞）； μ＝ (α wéi zhěng shù )， dāng α shì jīshù shí wéi（－∞，＋∞）， dāng α shì 'ǒu shù shí wéi（ 0，＋∞）； μ＝ p ／ q,p,q hù sù， zuò wéi de fù hé hán shù jìn xíng tǎo lùn。 lüè tú rú tú 2、 tú 3。
　　 ② zhǐ shù hán shù ： y＝ ax（ a＞ 0， a≠ 1）， dìng yì chéng wéi（－∞，＋∞）， zhí yù wéi（ 0，＋∞）， a＞ 0 shí shì yán gé dān diào zēng jiā de hán shù （ jí dāng x2＞ x1 shí，）， 0＜ a＜ 1 shí shì yán gé dān jiǎn hán shù 。 duì rèn hé a， tú xiàng jūn guò diǎn（ 0， 1）， zhù yì y＝ ax hé y＝（） x de tú xíng guān yú y zhóu duìchèn。 rú tú 4。
　　 ③ duì shù hán shù ： y＝ logax（ a＞ 0）， chēng a wéi dǐ， dìng yì yù wéi（ 0，＋∞）， zhí yù wéi（－∞，＋∞）。 a＞ 1 shí shì yán gé dān diào zēng jiā de， 0＜ a＜ 1 shí shì yán gé dān jiǎn de。 bù lùn a wèihé zhí， duì shù hán shù de tú xíng jūn guò diǎn（ 1， 0）， duì shù hán shù yǔ zhǐ shù hán shù hù wéi fǎn hán shù 。 rú tú 5。
　　 yǐ 10 wéi dǐ de duì shù chēng wéi cháng yòng duì shù， jiǎn jì wéi lgx。 zài kē xué jì shù zhōng pǔ biàn shǐ yòng de shì yǐ e wéi dǐ de duì shù， jí zì rán duì shù， jì zuò lnx。
　　 ④ sān jiǎo hán shù ： jiàn biǎo 2。
　　 zhèng xián hán shù 、 yú xián hán shù rú tú 6， tú 7 suǒ shì。
　　 ⑤ fǎn sān jiǎo hán shù ： jiàn biǎo 3。 shuāng qū zhèng、 yú xián rú tú 8。
　　 ⑥ shuāng qū hán shù ： shuāng qū zhèng xián（ ex－ e-x）， shuāng qū yú xián （ ex＋ e-x）， shuāng qū zhèng qiē（ ex－ e-x）／（ ex＋ e-x）， shuāng qū yú qiē（ ex＋ e-x）／（ ex－ e-x）。
　　 bǔ chōng
　　 zài shù xué lǐng yù， hán shù shì yī zhǒng guān xì， zhè zhǒng guān xì shǐ yī gè jí hé lǐ de měi yī gè yuán sù duì yìng dào lìng yī gè（ kě néng xiāng tóng de） jí hé lǐ de wéi yī yuán sù（ zhè zhǐ shì yī yuán hán shù f（ x）＝ y de qíng kuàng， qǐng 'àn yīng wén yuán wén bǎ pǔ biàn dìng yì gěi chū， xiè xiè）。 hán shù de gài niàn duì yú shù xué hé shù liàng xué de měi yī gè fēn zhī lái shuō dōushì zuì jī chǔ de。
　　 shù yǔ hán shù ， yìng shè， duì yìng， biàn huàn tōng cháng dōushì tóng yī gè yì sī。
èr cì hán shù
　　i. dìng yì yǔ dìng yì biǎo dá shì
　　 yī bān dì， zì biàn liàng x hé yīn biàn liàng y zhī jiān cún zài rú xià guān xì：
　　y=ax²+bx+c（ a， b， c wéi cháng shù， a≠ 0）
　　 zé chēng y wéi x de 'èr cì hán shù 。
　　 èr cì hán shù biǎo dá shì de yòu biān tōng cháng wéi 'èr cì sān xiàng shì。
　　ii. èr cì hán shù de sān zhǒng biǎo dá shì
　　 yī bān shì： y=ax²+bx+c（ a， b， c wéi cháng shù， a≠ 0）
　　 dǐng diǎn shì： y=a(x-h)²+k[ pāo wù xiàn de dǐng diǎn p（ h， k） ]
　　 jiāo diǎn shì： y=a(x-x1)(x-x2)[ jǐn xiàn yú yǔ x zhóu yòu jiāo diǎn a（ x1， 0） hé b（ x2， 0） de pāo wù xiàn ]
　　 zhù： zài 3 zhǒng xíng shì de hù xiāng zhuǎn huà zhōng， yòu rú xià guān xì :
　　h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax1,x2=(-b± √ b²-4ac)/2a
　　iii. èr cì hán shù de tú xiàng
　　 zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng zuò chū 'èr cì hán shù y=x² de tú xiàng，
　　 kě yǐ kàn chū， èr cì hán shù de tú xiàng shì yī tiáo pāo wù xiàn。
　　iv. pāo wù xiàn de xìng zhì
　　1. pāo wù xiàn shì zhóu duìchèn tú xíng。 duìchèn zhóu wéi zhí xiàn
　　x=-b/2a。
　　 duìchèn zhóu yǔ pāo wù xiàn wéi yī de jiāo diǎn wéi pāo wù xiàn de dǐng diǎn p。
　　 tè bié dì， dāng b=0 shí， pāo wù xiàn de duìchèn zhóu shì y zhóu（ jí zhí xiàn x=0）
　　2. pāo wù xiàn yòu yī gè dǐng diǎn p， zuò biāo wéi
　　p[-b/2a， (4ac-b²)/4a]。
　　 dāng -b/2a=0 shí， p zài y zhóu shàng； dāng Δ=b²-4ac=0 shí， p zài x zhóu shàng。
　　3. èr cì xiàng xì shù a jué dìng pāo wù xiàn de kāi kǒu fāng xiàng hé dà xiǎo。
　　 dāng a＞ 0 shí， pāo wù xiàn xiàng shàng kāi kǒu； dāng a＜ 0 shí， pāo wù xiàn xiàng xià kāi kǒu。
　　|a| yuè dà， zé pāo wù xiàn de kāi kǒu yuè xiǎo。
　　4. yī cì xiàng xì shù b hé 'èr cì xiàng xì shù a gòng tóng jué dìng duìchèn zhóu de wèi zhì。
　　 dāng a yǔ b tóng hào shí（ jí ab＞ 0）， duìchèn zhóu zài y zhóu zuǒ；
　　 dāng a yǔ b yì hào shí（ jí ab＜ 0）， duìchèn zhóu zài y zhóu yòu。
　　5. cháng shù xiàng c jué dìng pāo wù xiàn yǔ y zhóu jiāo diǎn。
　　 pāo wù xiàn yǔ y zhóu jiāo yú（ 0， c）
　　6. pāo wù xiàn yǔ x zhóu jiāo diǎn gè shù
　　Δ=b²-4ac＞ 0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu yòu 2 gè jiāo diǎn。
　　Δ=b²-4ac=0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu yòu 1 gè jiāo diǎn。
　　Δ=b²-4ac＜ 0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu méi yòu jiāo diǎn。
　　v. èr cì hán shù yǔ yī yuán 'èr cì fāng chéng
　　 tè bié dì， èr cì hán shù （ yǐ xià chēng hán shù ） y=ax²+bx+c，
　　 dāng y=0 shí， èr cì hán shù wéi guān yú x de yī yuán 'èr cì fāng chéng（ yǐ xià chēng fāng chéng），
　　 jí ax²+bx+c=0
　　 cǐ shí， hán shù tú xiàng yǔ x zhóu yòu wú jiāo diǎn jí fāng chéng yòu wú shí shù gēn。
　　 hán shù yǔ x zhóu jiāo diǎn de héng zuò biāo jí wéi fāng chéng de gēn。
yī cì hán shù
　　i、 dìng yì yǔ dìng yì shì：
　　 zì biàn liàng x hé yīn biàn liàng y yòu rú xià guān xì：
　　y=kx+b（ k， b wéi cháng shù， k≠ 0）
　　 zé chēng y shì x de yī cì hán shù 。
　　 tè bié dì， dāng b=0 shí， y shì x de zhèng bǐ lì hán shù 。
　　ii、 yī cì hán shù de xìng zhì：
　　y de biàn huà zhí yǔ duì yìng de x de biàn huà zhí chéng zhèng bǐ lì， bǐ zhí wéi k
　　 jí △ y/△ x=k
　　iii、 yī cì hán shù de tú xiàng jí xìng zhì：
　　1 ． zuò fǎ yǔ tú xíng： tōng guò rú xià 3 gè bù zhòu（ 1） liè biǎo；（ 2） miáo diǎn；（ 3） lián xiàn， kě yǐ zuò chū yī cì hán shù de tú xiàng héng héng yī tiáo zhí xiàn。 yīn cǐ， zuò yī cì hán shù de tú xiàng zhǐ xū zhī dào 2 diǎn， bìng lián chéng zhí xiàn jí kě。
　　2． xìng zhì： zài yī cì hán shù shàng de rèn yì yī diǎn p（ x， y）， dū mǎn zú děng shì： y=kx+b。
　　3． k， b yǔ hán shù tú xiàng suǒ zài xiàng xiàn。
　　 dāng k＞ 0 shí， zhí xiàn bì tōng guò yī、 sān xiàng xiàn， y suí x de zēng dà 'ér zēng dà；
　　 dāng k＜ 0 shí， zhí xiàn bì tōng guò 'èr、 sì xiàng xiàn， y suí x de zēng dà 'ér jiǎn xiǎo。
　　 dāng b＞ 0 shí， zhí xiàn bì tōng guò yī、 èr xiàng xiàn； dāng b＜ 0 shí， zhí xiàn bì tōng guò sān、 sì xiàng xiàn。
　　 tè bié dì， dāng b=o shí， zhí xiàn tōng guò yuán diǎn o（ 0， 0） biǎo shì de shì zhèng bǐ lì hán shù de tú xiàng。
　　 zhè shí， dāng k＞ 0 shí， zhí xiàn zhǐ tōng guò yī、 sān xiàng xiàn； dāng k＜ 0 shí， zhí xiàn zhǐ tōng guò 'èr、 sì xiàng xiàn。
　　iv、 què dìng yī cì hán shù de biǎo dá shì：
　　 yǐ zhī diǎn a（ x1， y1）； b（ x2， y2）， qǐng què dìng guò diǎn a、 b de yī cì hán shù de biǎo dá shì。
　　（ 1） shè yī cì hán shù de biǎo dá shì（ yě jiào jiě xī shì） wéi y=kx+b。
　　（ 2） yīn wéi zài yī cì hán shù shàng de rèn yì yī diǎn p（ x， y）， dū mǎn zú děng shì y=kx+b。 suǒ yǐ kě yǐ liè chū 2 gè fāng chéng：
　　y1=kx1+b① hé y2=kx2+b②。
　　（ 3） jiě zhè gè 'èr yuán yī cì fāng chéng， dé dào k， b de zhí。
　　（ 4） zuì hòu dé dào yī cì hán shù de biǎo dá shì。
　　v、 yī cì hán shù zài shēng huó zhōng de yìng yòng
　　1. dāng shí jiān t yī dìng， jù lí s shì sù dù v de yī cì hán shù 。 s=vt。
　　2. dāng shuǐ chí chōu shuǐ sù dù f yī dìng， shuǐ chí zhōng shuǐ liàng g shì chōu shuǐ shí jiān t de yī cì hán shù 。 shè shuǐ chí zhōng yuán yòu shuǐ liàng s。 g=s-ft。
　　 fǎn bǐ lì hán shù
　　 xíng rú y＝ k／ x(k wéi cháng shù qiě k≠ 0) de hán shù ， jiào zuò fǎn bǐ lì hán shù 。
　　 zì biàn liàng x de qǔ zhí fàn wéi shì bù děng yú 0 de yī qiē shí shù。
　　 fǎn bǐ lì hán shù de tú xiàng wéi shuāng qū xiàn。
　　 rú tú， shàng miàn gěi chū liǎo k fēn bié wéi zhèng hé fù（ 2 hé -2） shí de hán shù tú xiàng。
sān jiǎo hán shù
　　sān jiǎo hán shù shì shù xué zhōng shǔ yú chū děng hán shù zhōng de chāo yuè hán shù de yī lèi hán shù 。 tā men de běn zhì shì rèn yì jiǎo de jí hé yǔ yī gè bǐ zhí de jí hé de biàn liàng zhī jiān de yìng shè。 tōng cháng de sān jiǎo hán shù shì zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng dìng yì de， qí dìng yì yù wéi zhěng gè shí shù yù。 lìng yī zhǒng dìng yì shì zài zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng， dàn bìng bù wán quán。 xiàn dài shù xué bǎ tā men miáo shù chéng wú qióng shù liè de jí xiàn hé wēi fēn fāng chéng de jiě， jiāng qí dìng yì kuò zhǎn dào fù shù xì。
　　 yóu yú sān jiǎo hán shù de zhōu qī xìng， tā bìng bù jù yòu dān zhí hán shù yì yì shàng de fǎn hán shù 。
　　 sān jiǎo hán shù zài fù shù zhōng yòu jiào wéi zhòng yào de yìng yòng。 zài wù lǐ xué zhōng， sān jiǎo hán shù yě shì cháng yòng de gōng jù。
　　 tā yòu liù zhǒng jī běn hán shù ：
　　 hán shù míng zhèng xián yú xián zhèng qiē yú qiē zhèng gē yú gē
　　 fú hào sincostancotseccsc
　　 zhèng xián hán shù sin（ a） =a/h
　　 yú xián hán shù cos（ a） =b/h
　　 zhèng qiē hán shù tan（ a） =a/b
　　 yú qiē hán shù cot（ a） =b/a
　　 zài mǒu yī biàn huà guò chéng zhōng， liǎng gè biàn liàng x、 y， duì yú mǒu yī fàn wéi nèi de x de měi yī gè zhí， y dōuyòu què dìng de zhí hé tā duì yìng， y jiù shì x de hán shù 。 zhè zhǒng guān xì yī bān yòng y=f(x) lái biǎo shì。
hán shù gài niàn de fā zhǎn lì shǐ
　　1. zǎo qī hán shù gài niàn héng héng jǐ hé guān niàn xià de hán shù
　　 shí qī shì jì gā lì lüè (g． galileo， yì， 1564－ 1642) zài《 liǎng mén xīn kē xué》 yī shū zhōng， jīhū quán bù bāo hán hán shù huò chēng wéi biàn liàng guān xì de zhè yī gài niàn， yòng wén zì hé bǐ lì de yǔ yán biǎo dá hán shù de guān xì。 1673 nián qián hòu dí kǎ 'ěr (descartes， fǎ， 1596－ 1650) zài tā de jiě xī jǐ hé zhōng， yǐ zhù yì dào yī gè biàn liàng duì lìng yī gè biàn liàng de yǐ lài guān xì， dàn yīn dāng shí shàng wèi yì shí dào yào tí liàn hán shù gài niàn， yīn cǐ zhí dào 17 shì jì hòu qī niú dùn、 lāi bù ní cí jiàn lì wēi jī fēn shí hái méi yòu rén míng què hán shù de yī bān yì yì， dà bù fēn hán shù shì bèi dāng zuò qū xiàn lái yán jiū de。
　　1673 nián， lāi bù ní cí shǒu cì shǐ yòng “ function ”（ hán shù ） biǎo shì“ mì”， hòu lái tā yòng gāi cí biǎo shì qū xiàn shàng diǎn de héng zuò biāo、 zòng zuò biāo、 qiē xiàn cháng děng qū xiàn shàng diǎn de yòu guān jǐ hé liàng。 yǔ cǐ tóng shí， niú dùn zài wēi jī fēn de tǎo lùn zhōng， shǐ yòng“ liú liàng” lái biǎo shì biàn liàng jiān de guān xì。
　　2. shí bā shì jì hán shù gài niàn ── dài shù guān niàn xià de hán shù
　　1718 nián yuē hàn • bèi nǔ lì (bernoullijohann， ruì， 1667－ 1748) zài lāi bù ní cí hán shù gài niàn de jī chǔ shàng duì hán shù gài niàn jìn xíng liǎo dìng yì：“ yóu rèn yī biàn liàng hé cháng shù de rèn yī xíng shì suǒ gòu chéng de liàng。” tā de yì sī shì fán biàn liàng x hé cháng liàng gòu chéng de shì zǐ dū jiào zuò x de hán shù ， bìng qiáng diào hán shù yào yòng gōng shì lái biǎo shì。
　　1755， ōu lā (l． euler， ruì shì， 1707－ 1783) bǎ hán shù dìng yì wéi“ rú guǒ mǒu xiē biàn liàng， yǐ mǒu yī zhǒng fāng shì yǐ lài yú lìng yī xiē biàn liàng， jí dāng hòu miàn zhè xiē biàn liàng biàn huà shí， qián miàn zhè xiē biàn liàng yě suí zhe biàn huà， wǒ men bǎ qián miàn de biàn liàng chēng wéi hòu miàn biàn liàng de hán shù 。”
　　18 shì jì zhōng yè 'ōu lā (l． euler， ruì， 1707－ 1783) gěi chū liǎo dìng yì：“ yī gè biàn liàng de hán shù shì yóu zhè gè biàn liàng hé yī xiē shù jí cháng shù yǐ rèn hé fāng shì zǔ chéng de jiě xī biǎo dá shì。” tā bǎ yuē hàn • bèi nǔ lì gěi chū de hán shù dìng yì chēng wéi jiě xī hán shù ， bìng jìn yī bù bǎ tā qū fēn wéi dài shù hán shù hé chāo yuè hán shù ， hái kǎo lǜ liǎo“ suí yì hán shù ”。 bù nán kàn chū， ōu lā gěi chū de hán shù dìng yì bǐ yuē hàn • bèi nǔ lì de dìng yì gèng pǔ biàn、 gèng jù yòu guǎng fàn yì yì。
　　3. shí jiǔ shì jì hán shù gài niàn── duì yìng guān xì xià de hán shù
　　1821 nián， kē xī (cauchy， fǎ， 1789－ 1857) cóng dìng yì biàn liàng qǐ gěi chū liǎo dìng yì：“ zài mǒu xiē biàn shù jiān cún zài zhe yī dìng de guān xì， dāng yī jīng gěi dìng qí zhōng mǒu yī biàn shù de zhí， qí tā biàn shù de zhí kě suí zhe 'ér què dìng shí， zé jiāng zuì chū de biàn shù jiào zì biàn liàng， qí tā gè biàn shù jiào zuò hán shù 。” tóng shí zhǐ chū duì hán shù lái shuō bù yī dìng yào yòu jiě xī biǎo dá shì。 bù guò tā réng rán rèn wéi hán shù guān xì kě yǐ yòng duō gè jiě xī shì lái biǎo shì， zhè shì yī gè hěn dà de jú xiàn。
　　1837 nián dí lì kè léi (dirichlet， dé， 1805－ 1859) tū pò liǎo zhè yī jú xiàn， rèn wéi zěn yàng qù jiàn lì x yǔ y zhī jiān de guān xì wú guān jǐn yào， tā tuò guǎng liǎo hán shù gài niàn， zhǐ chū：“ duì yú zài mǒu qū jiān shàng de měi yī gè què dìng de x zhí， y dōuyòu yī gè huò duō gè què dìng de zhí， nà me y jiào zuò x de hán shù 。” zhè gè dìng yì bì miǎn liǎo hán shù dìng yì zhōng duì yǐ lài guān xì de miáo shù， yǐ qīng xī de fāng shì bèi suǒ yòu shù xué jiā jiē shòu。 zhè jiù shì rén men cháng shuō de jīng diǎn hán shù dìng yì。
　　 děng dào kāng tuō (cantor， dé， 1845－ 1918) chuàng lì de jí hé lùn zài shù xué zhōng zhàn yòu zhòng yào dì wèi zhī hòu， wéi bù lún (veblen， měi， 1880－ 1960) yòng“ jí hé” hé“ duì yìng” de gài niàn gěi chū liǎo jìn dài hán shù dìng yì， tōng guò jí hé gài niàn bǎ hán shù de duì yìng guān xì、 dìng yì yù jí zhí yù jìn yī bù jù tǐ huà liǎo， qiě dǎ pò liǎo“ biàn liàng shì shù” de jí xiàn， biàn liàng kě yǐ shì shù， yě kě yǐ shì qí tā duì xiàng。
　　4. xiàn dài hán shù gài niàn── jí hé lùn xià de hán shù
　　1914 nián háo sī dào fū (f． hausdorff) zài《 jí hé lùn gāng yào》 zhōng yòng bù míng què de gài niàn“ xù 'ǒu” lái dìng yì hán shù ， qí bì kāi liǎo yì yì bù míng què de“ biàn liàng”、“ duì yìng” gài niàn。 kù lā tuō fū sī jī (kuratowski) yú 1921 nián yòng jí hé gài niàn lái dìng yì“ xù 'ǒu” shǐ háo sī dào fū de dìng yì hěn yán jǐn liǎo。
　　1930 nián xīn de xiàn dài hán shù dìng yì wéi“ ruò duì jí hé m de rèn yì yuán sù x， zǒng yòu jí hé Ｎ què dìng de yuán sù y yǔ zhī duì yìng， zé chēng zài jí hé m shàng dìng yì yī gè hán shù ， jì wéi y=f(x)。 yuán sù x chēng wéi zì biàn yuán， yuán sù y chēng wéi yīn biàn yuán。”
　　 shù yǔ hán shù ， yìng shè， duì yìng， biàn huàn tōng cháng dōuyòu tóng yī gè yì sī。
　　 dàn hán shù zhǐ biǎo shì shù yǔ shǔzhī jiān de duì yìng guān xì， yìng shè hái kě biǎo shì diǎn yǔ diǎn zhī jiān， tú xíng zhī jiān děng de duì yìng guān xì。 kě yǐ shuō hán shù bāo hán yú yìng shè。
　　 zhèng bǐ lì hán shù :
　　 zhèng bǐ lì hán shù y=kx（ k shì cháng shù， k≠ 0） de tú xiàng shì yī tiáo jīng guò yuán diǎn de zhí xiàn．  dāng x>0 shí， tú xiàng jīng guò sān、 yī xiàng xiàn， cóng zuǒ xiàng yòu shàng shēng， jí suí x de zēng dà y yě zēng dà； dāng k<0 shí，  tú xiàng jīng guò 'èr、 sì xiàng xiàn， cóng zuǒ xiàng yòu xià jiàng， jí suí x zēng dà y fǎn 'ér jiǎn xiǎo．
　　 zhèng shì yóu yú zhèng bǐ lì hán shù y=kx（ k shì cháng shù， k≠ 0） de tú xiàng shì yī tiáo zhí xiàn，  wǒ men kě yǐ chēng tā wéi zhí xiàn y=kx．
　　（ lìng： zhōng wén“ hán shù ” míng chēng de yóu lái
　　 zài zhōng guó qīng dài shù xué jiā lǐ shàn lán（ 1811 héng 1882） fān yì de《 dài shù xué》 yī shū zhōng shǒu cì yòng zhōng wén bǎ“ function” fān yì wéi“ hán shù ”， cǐ yì míng yán yòng zhì jīn。 duì wèishénme zhè yàng fān yì zhè gè gài niàn， shū zhōng jiě shì shuō“ fán cǐ biàn shù zhōng hán bǐ biàn shù zhě， zé cǐ wéi bǐ zhī hán shù ”； zhè lǐ de“ hán” shì bāo hán de yì sī。）
　　 shēn rù yán jiū yī cì hán shù
　　 xú ruò hàn
　　 zài xué xí yī cì hán shù shí， gēn jù zhōng xué yào qiú， wǒ men hái yào shēn rù yán jiū tā de shí jì yìng yòng， yǐ jí rú hé gǎi biàn tú xiàng de wèi zhì。
　　 yī、 shí jì wèn tí zhōng de fēn duàn hán shù
　　［ lì 1］（ 2005 nián wǔ hàn shì） xiǎo míng zǎo chén cóng jiā qí chē dào xué xiào， xiān shàng pō hòu xià pō， xíng chéng qíng kuàng rú tú。 ruò fǎn huí shí shàng、 xià yī gè pō de sù dù bù biàn， nà me xiǎo míng cóng xué xiào qí chē huí jiā yòng de shí jiān shì duō shǎo？
　　 fēn xī： shàng、 xià pō de sù dù bù tóng， wèn tí yào fēn liǎng duàn lái yán jiū。
　　 gēn jù hán shù tú xiàng tí gōng de xìn xī， kě zhī xiǎo míng cóng jiā qù xué xiào shí， shàng pō lù chéng wéi 3600 mǐ， xià pō lù chéng wéi 9600－ 3600=6000（ mǐ）。
　　 ∴ shàng pō sù dù wéi 3600÷18=200（ mǐ / fēn zhōng）
　　 xià pō sù dù wéi 6000÷（ 30－ 18） =500（ mǐ / fēn zhōng）
　　 xiǎo míng huí jiā shí， shàng pō lù chéng 6000 mǐ， xià pō lù chéng 3600 mǐ， suǒ yòng shí jiān wéi 6000÷200＋ 3600÷500=37.2（ fēn zhōng）。
　　 èr、 zài wù lǐ xué kē zhōng de yìng yòng
　　［ lì 2］（ 2004 nián huáng gāng shì） mǒu bān tóng xué zài tàn jiū tánhuáng de cháng dù yǔ wài lì de biàn huà guān xì shí， shí yàn jì lù dé dào de xiāng yìng shù jù rú xià biǎo：
　　 qiú y guān yú x de hán shù jiě xī shì jí zì biàn liàng de qǔ zhí fàn wéi。
　　 fēn xī： gēn jù wù lǐ xué zhī shí kě zhī， tánhuáng zài wài lì（ suǒ guà fǎ mǎ de zhòng lì） zuò yòng xià fā shēng xíng biàn（ shēn cháng）， wài lì yǔ zhǐ zhēn wèi zhì de guān xì kě yǐ yòng yī cì hán shù biǎo shì； dàn shì， měi gè tánhuáng suǒ shòu de wài lì dōuyòu yī dìng de xiàn dù， yīn cǐ wǒ men bì xū qiú chū zì biàn liàng de qǔ zhí fàn wéi。
　　 yóu yǐ zhī shù jù qiú chū： zài tánhuáng shòu lì shēn cháng guò chéng zhōng，
　　 lìng y=7.5， dé x=275
　　∴ suǒ qiú hán shù wéi
　　 zhù liǎng duàn zhī jiān de fēn jiè diǎn shì x=275， bù shì x=300。
　　 sān、 zhí xiàn píng yí de yìng yòng
　　［ lì 3］（ 2005 nián hēi lóng jiāng shěng） zài zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng， yǐ zhī diǎn a（－ 9， 0）、 p（ 0，－ 3）、 c（ 0，－ 12）。 wèn： zài x zhóu shàng shì fǒu cún zài diǎn q， shǐ yǐ diǎn a、 c、 p、 q wéi dǐng diǎn de sì biān xíng shì tī xíng？ ruò cún zài， qiú zhí xiàn pq de jiě xī shì； ruò bù cún zài， qǐng shuō míng lǐ yóu。
　　 fēn xī： zài suǒ yán jiū de tī xíng zhōng nǎ liǎng biān píng xíng？ yòu liǎng zhǒng kě néng： rú guǒ， jiù shì bǎ zhí xiàn ca píng yí， jīng guò p diǎn yì qiú zhí xiàn ca de jiě xī shì wéi
　　 píng yí hòu dé dào zhí xiàn de jiě xī shì wéi
　　 rú guǒ
　　 bǎ zhí xiàn pa： píng yí， jīng guò c diǎn
　　 dé dào zhí xiàn：
　　 zhí xiàn jiāo x zhóu yú diǎn（－ 36， 0）
　　 zhí xiàn de jiě xī shì wéi
　　 rú hé lǐ jiě hán shù gài niàn
　　 cáo yáng
　　 hán shù shì shù xué zhōng de yī gè jí qí zhòng yào de jī běn gài niàn， zài zhōng xué shù xué zhōng， hán shù jí qí yòu guān de nèi róng hěn fēng fù， suǒ zhàn fèn liàng zhòng， zhǎng wò hǎo hán shù de gài niàn duì jīn hòu de xué xí fēi cháng yòu yòng。 huí gù hán shù gài niàn de fā zhǎn shǐ，“ hán shù ” zuò wéi shù xué shù yǔ shì lāi bù ní cí shǒu cì cǎi yòng de， tā zài 1692 nián de lùn wén zhōng dì yī cì tí chū hán shù zhè yī gài niàn， dàn qí hán yì yǔ xiàn zài duì hán shù de lǐ jiě dà bù xiāng tóng。 xiàn dài chū zhōng shù xué kè chéng zhōng， hán shù dìng yì cǎi yòng de shì“ biàn liàng shuō”。 jí：
　　 zài mǒu biàn huà guò chéng zhōng， yòu liǎng gè biàn liàng x， y， rú guǒ duì yú x zài mǒu yī fàn wéi nèi de měi yī gè què dìng de zhí， àn zhào mǒu gè duì yìng fǎ zé， y dōuyòu wéi yī què dìng de zhí hé tā duì yìng， nà me jiù bǎ y chēng wéi x de hán shù ， x chēng wéi zì biàn liàng， y chēng wéi yīn biàn liàng。
　　 tā míng què zhǐ chū， zì biàn liàng x zài mǒu yī gěi dìng fàn wéi kě yǐ qǔ rèn yī gè zhí， yīn biàn liàng y 'àn yī dìng de guī lǜ yě xiāng yìng měi cì qǔ wéi yī què dìng de zhí。 dàn shì， chū zhōng jiē duàn bìng bù yào qiú zhǎng wò zì biàn liàng de qǔ zhí fàn wéi（ kàn yī xià chū zhōng yào xué de jǐ gè hán shù kě zhī， zhè gè dìng yì wán quán gòu yòng， ér qiě， duì yú chū zhōng shēng lái shuō， yě róng yì lǐ jiě）。
　　 hán shù gài niàn de chōu xiàng xìng hěn qiáng， xué shēng bù yì lǐ jiě， yào lǐ jiě hán shù gài niàn bì xū míng què liǎng diǎn： dì yī， míng què zì biàn liàng hé yīn biàn liàng de guān xì， zài mǒu biàn huà guò chéng zhōng， yòu liǎng gè biàn liàng x， y， rú guǒ kàn chéng y suí x de biàn huà 'ér biàn huà， nà me x chēng wéi zì biàn liàng， y chēng wéi yīn biàn liàng； rú guǒ kàn chéng x suí y de biàn huà 'ér biàn huà， nà me y chēng wéi zì biàn liàng， x chēng wéi yīn biàn liàng。 dì 'èr， hán shù dìng yì de hé xīn shì“ yī yī duì yìng”， jí gěi dìng yī gè zì biàn liàng x de zhí jiù yòu wéi yī què dìng de yīn biàn liàng y de zhí hé tā duì yìng， zhè yàng de duì yìng kě yǐ shì“ yī gè zì biàn liàng duì yìng yī gè yīn biàn liàng”（ jiǎn chēng“ yī duì yī”）， yě kě yǐ shì“ jǐ gè zì biàn liàng duì yìng yī gè yīn biàn liàng”（ jiǎn chēng“ duō duì yī”）， dàn bù kě yǐ shì“ yī gè zì biàn liàng duì yìng duō gè yīn biàn liàng”（ jiǎn chēng“ yī duì duō”）， xià miàn yǐ tú 1 lái chǎn shù zhè yàng de duì yìng guān xì（ qí zhōng x shì zì biàn liàng， y shì yīn biàn liàng）：
　　“ yī duì yī”“ duō duì yī”“ yī duì duō”
　　 shì hán shù shì hán shù bù shì hán shù
　　 tú 1
　　 xià miàn jǔ 4 gè lì zǐ bāng zhù dà jiā lǐ jiě hán shù de gài niàn：
　　 lì 1 yī gēn tánhuáng de cháng dù wéi 10cm， dāng tánhuáng shòu dào lā lì f（ f zài yī dìng de fàn wéi nèi） shí， tánhuáng de cháng dù yòng y biǎo shì， cè dé yòu guān de shù jù rú biǎo 1：
　　 biǎo 1
　　 lā lì f（ kg）
　　1
　　2
　　3
　　4
　　…
　　 tánhuáng de cháng dù y（ c）
　　…
　　 tánhuáng de cháng dù y shì lā lì f de hán shù má？
　　 fēn xī： cóng biǎo gé zhōng kě dú chū xìn xī， dāng lā lì fēn bié shì 1kg、 2kg、 3kg、 4kg shí， dū wéi yī duì yìng liǎo yī gè tánhuáng de cháng dù y， mǎn zú hán shù de dìng yì， suǒ yǐ tánhuáng de cháng dù y shì lā lì f de hán shù 。 yī bān dì， yǐ biǎo gé xíng shì gěi chū de hán shù ， dì yīháng shì zì biàn liàng de zhí， dì 'èr xíng shì yīn biàn liàng de zhí。
　　 lì 2 tú 2 shì mǒu dì qū yī nián nèi měi gè yuè de zuì gāo qì wēn hé zuì dī qì wēn tú。
　　 tú 2
　　 tú 2 miáo shù liǎo nǎ xiē biàn liàng zhī jiān de guān xì？ nǐ néng jiāng qí zhōng mǒu gè biàn liàng kàn chéng lìng yī gè biàn liàng de hán shù má？
　　 fēn xī： tú zhōng gěi chū liǎo sān gè biàn liàng， zuì gāo qì wēn、 zuì dī qì wēn hé yuè fèn， cóng tú zhōng kě yǐ zhí guān dì kàn chū zuì gāo qì wēn hé zuì dī qì wēn suí zhe yuè fèn de biàn huà 'ér biàn huà， ér qiě měi yuè de zuì gāo qì wēn hé zuì dī qì wēn dōushì wéi yī de， suǒ yǐ zuì gāo qì wēn（ huò zuì dī qì wēn） shì yuè fèn de hán shù 。 wǒ men hái kě yǐ fā xiàn 7 yuè hé 8 yuè de zuì gāo qì wēn xiāng tóng， yě jiù shì shuō liǎng gè zì biàn liàng duì yìng liǎo tóng yī yīn biàn liàng。 yī bān dì， yǐ tú xiàng xíng shì gěi chū de hán shù ， héng zhóu biǎo shì zì biàn liàng， zòng zhóu biǎo shì yīn biàn liàng。
　　 lì 3 xià liè biàn liàng zhī jiān de guān xì shì bù shì hán shù guān xì？ shuō míng lǐ yóu。
　　（ 1） yuán de miàn jī s yǔ bàn jìng r zhī jiān de guān xì；
　　（ 2） qì chē yǐ 70 qiān mǐ / shí de sù dù xíng shǐ， tā shǐ guò de lù chéng s（ qiān mǐ） hé suǒ yòng shí jiān t（ shí） zhī jiān de guān xì；
　　（ 3） děng yāo sān jiǎo xíng de miàn jī shì， tā de dǐ biān cháng y（ lí mǐ） hé dǐ biān shàng de gāo x（ lí mǐ） zhī jiān de guān xì。
　　 fēn xī：（ 1） yuán de miàn jī s yǔ bàn jìng r zhī jiān de guān xì shì shì， dāng bàn jìng què dìng shí， yuán de miàn jī s yě wéi yī què dìng， suǒ yǐ yuán de miàn jī s yǔ bàn jìng r zhī jiān de guān xì shì hán shù guān xì。
　　（ 2） lù chéng s（ qiān mǐ） hé suǒ yòng shí jiān t（ shí） de guān xì shì shì， dāng shí jiān t què dìng shí， lù chéng s yě wéi yī què dìng， suǒ yǐ lù chéng s（ qiān mǐ） hé suǒ yòng shí jiān t（ shí） zhī jiān de guān xì shì hán shù guān xì。
　　（ 3） dǐ biān cháng ycm hé dǐ biān shàng de gāo xcm de guān xì shì shì， dāng dǐ biān shàng de gāo x què dìng shí， dǐ biān cháng y yě wéi yī què dìng， suǒ yǐ dǐ biān cháng ycm hé dǐ biān shàng de gāo xcm zhī jiān de guān xì shì hán shù guān xì。
　　 yī bān dì， yǐ guān xì shì xíng shì gěi chū de hán shù ， děng hào zuǒ biān shì yīn biàn liàng， děng hào yòu biān de wèi zhī shù shì zì biàn liàng。
　　 lì 4 xià liè tú xiàng zhōng， bù néng biǎo shì hán shù guān xì de shì（）
　　 fēn xī： zài shàng miàn sì gè tú xiàng zhōng， a、 c、 d dōukě yǐ biǎo shì hán shù guān xì， yīn wéi rèn yì gěi dìng yī gè zì biàn liàng x de zhí， dōuyòu wéi yī de yī gè y zhí yǔ tā xiāng duì yìng， dàn shì b tú zhōng， rèn yì gěi dìng yī gè zì biàn liàng x de zhí， què yòu liǎng gè bù tóng de y zhí yǔ tā duì yìng， suǒ yǐ běn tí yìng xuǎn b。
　　［ wèn tí 2.9］ shè m shì yī gè xiǎo yú 2006 de sì wèi shù， yǐ zhī cún zài zhèng zhěng shù n， shǐ dé m－ n wéi zhì shù， qiě mn shì yī gè wán quán píng fāng shù， qiú mǎn zú tiáo jiàn de suǒ yòu sì wèi shù m。
mì hán shù
　　mì hán shù de yī bān xíng shì wéi y=x^a。
　　 rú guǒ a qǔ fēi líng de yòu lǐ shù shì bǐ jiào róng yì lǐ jiě de， bù guò chū xué zhě duì yú a qǔ wú lǐ shù， zé bù tài róng yì lǐ jiě， zài wǒ men de kè chéng lǐ， bù yào qiú zhǎng wò rú hé lǐ jiě zhǐ shù wéi wú lǐ shù de wèn tí， yīn wéi zhè shè jí dào shí shù lián xù tǒng de jí wéi shēn kè de zhī shí。 yīn cǐ wǒ men zhǐ yào jiē shòu tā zuò wéi yī gè yǐ zhī shì shí jí kě。
　　 duì yú a de qǔ zhí wéi fēi líng yòu lǐ shù， yòu bì yào fēn chéng jǐ zhǒng qíng kuàng lái tǎo lùn gè zì de tè xìng：
　　 shǒu xiān wǒ men zhī dào rú guǒ a=p/q， q hé p dōushì zhěng shù， zé x^(p/q)=q cì gēn hào（ x de p cì fāng）， rú guǒ q shì jīshù， hán shù de dìng yì yù shì r， rú guǒ q shì 'ǒu shù， hán shù de dìng yì yù shì [0,＋∞）。 dāng zhǐ shù n shì fù zhěng shù shí， shè a=-k， zé x=1/(x^k)， xiǎn rán x≠ 0， hán shù de dìng yì yù shì（－∞， 0)∪ (0,＋∞ ). yīn cǐ kě yǐ kàn dào x suǒ shòu dào de xiàn zhì lái yuán yú liǎng diǎn， yī shì yòu kě néng zuò wéi fēn mǔ 'ér bù néng shì 0， yī shì yòu kě néng zài 'ǒu shù cì de gēn hào xià 'ér bù néng wéi fù shù， nà me wǒ men jiù kě yǐ zhī dào：
　　 pái chú liǎo wéi 0 yǔ fù shù liǎng zhǒng kě néng， jí duì yú x>0， zé a kě yǐ shì rèn yì shí shù；
　　 pái chú liǎo wéi 0 zhè zhǒng kě néng， jí duì yú x<0 hé x>0 de suǒ yòu shí shù， q bù néng shì 'ǒu shù；
　　 pái chú liǎo wéi fù shù zhè zhǒng kě néng， jí duì yú x wéi dà yú qiě děng yú 0 de suǒ yòu shí shù， a jiù bù néng shì fù shù。
　　 zǒng jié qǐ lái， jiù kě yǐ dé dào dāng a wéi bù tóng de shù zhí shí， mì hán shù de dìng yì yù de bù tóng qíng kuàng rú xià：
　　 rú guǒ a wéi rèn yì shí shù， zé hán shù de dìng yì yù wéi dà yú 0 de suǒ yòu shí shù；
　　 rú guǒ a wéi fù shù， zé x kěn dìng bù néng wéi 0， bù guò zhè shí hán shù de dìng yì yù hái bì xū gēn jù q de jī'ǒu xìng lái què dìng， jí rú guǒ tóng shí q wéi 'ǒu shù， zé x bù néng xiǎo yú 0， zhè shí hán shù de dìng yì yù wéi dà yú 0 de suǒ yòu shí shù； rú guǒ tóng shí q wéi jīshù， zé hán shù de dìng yì yù wéi bù děng yú 0 de suǒ yòu shí shù。
　　 zài x dà yú 0 shí， hán shù de zhí yù zǒng shì dà yú 0 de shí shù。
　　 zài x xiǎo yú 0 shí， zé zhǐ yòu tóng shí q wéi jīshù， hán shù de zhí yù wéi fēi líng de shí shù。
　　 ér zhǐ yòu a wéi zhèng shù， 0 cái jìn rù hán shù de zhí yù。
　　 yóu yú x dà yú 0 shì duì a de rèn yì qǔ zhí dōuyòu yì yì de， yīn cǐ xià miàn gěi chū mì hán shù zài dì yī xiàng xiàn de gè zì qíng kuàng .
　　 kě yǐ kàn dào：
　　（ 1） suǒ yòu de tú xíng dū tōng guò（ 1， 1） zhè diǎn。
　　（ 2） dāng a dà yú 0 shí， mì hán shù wéi dān diào dì zēng de， ér a xiǎo yú 0 shí， mì hán shù wéi dān diào dì jiǎn hán shù 。
　　（ 3） dāng a dà yú 1 shí， mì hán shù tú xíng xià 'āo； dāng a xiǎo yú 1 dà yú 0 shí， mì hán shù tú xíng shàng tū。
　　（ 4） dāng a xiǎo yú 0 shí， a yuè xiǎo， tú xíng qīng xié chéng dù yuè dà。
　　（ 5） a dà yú 0， hán shù guò（ 0， 0）； a xiǎo yú 0， hán shù bù guò（ 0， 0） diǎn。
　　（ 6） xiǎn rán mì hán shù wú jiè。
gāo sī hán shù
　　shè x∈ r， yòng [x] huò int(x) biǎo shì bù chāo guò x de zuì dà zhěng shù， bìng yòng biǎo shì x de fēi fù chún xiǎo shù , zé y=[x] chēng wéi gāo sī（ guass） hán shù ， yě jiào qǔ zhěng hán shù 。
　　 rèn yì yī gè shí shù dōunéng xiě chéng zhěng shù yǔ fēi fù chún xiǎo shù zhī hé， jí： x=[x]+（ 0 ≤ <1）
jiǎn jiè
　　zài shù xué yì yì shàng， yī gè hán shù （ function） biǎo shì měi gè shū rù zhí duì yìng wéi yī shū chū zhí。 hán shù f zhōng duì yìng shū rù zhí de shū chū zhí x de biāo zhǔn fú hào wéi f(x)。 bāo hán mǒu gè hán shù suǒ yòu de shū rù zhí de jí hé bèi chēng zuò zhè gè hán shù de dìng yì yù， bāo hán suǒ yòu de shū chū zhí de jí hé bèi chēng zuò zhí yù。
　　 lì rú， biǎo dá shì f(x)=x^2 biǎo shì liǎo yī gè hán shù f， qí zhōng měi gè shū rù zhí f dū yǔ wéi yī shū chū zhí x xiāng lián xì。 yīn cǐ， rú guǒ yī gè shū rù zhí wéi 3， nà me tā suǒ duì yìng de shū chū zhí wéi 9。 yī dàn yī gè hán shù f bèi dìng yì， lì rú， jiù kě yǐ bèi xiě wéi f(4)=16。
　　----Avariablesorelatedtoanotherthatforeachvalueassumedbyonethereisavaluedeterminedfortheother.
　　 zì biàn liàng， hán shù yī gè yǔ tā liàng yòu guān lián de biàn liàng， zhè yī liàng zhōng de rèn hé yī zhí dōunéng zài tā liàng zhōng zhǎo dào duì yìng de gù dìng zhí。
　　----Aruleofcorrespondencebetweentwosetssuchthatthereisauniqueelementinthesecondsetassignedtoeachelementinthefirstset.
　　 yīn biàn liàng ( hán shù ): suí zhe zì biàn liàng de biàn huà 'ér biàn huà , qiě zì biàn liàng qǔ wéi yī zhí shí , yīn biàn liàng ( hán shù ) yòu qiě zhǐ yòu wéi yī yī zhí yǔ qí xiāng duì yìng .
　　 hán shù liǎng zǔ yuán sù yī yī duì yìng de guī zé， dì yī zǔ zhōng de měi gè yuán sù zài dì 'èr zǔ zhōng zhǐ yòu wéi yī de duì yìng liàng。
　　 hán shù de gài niàn duì yú shù xué hé shù liàng xué de měi yī gè fēn zhī lái shuō dōushì zuì jī chǔ de。
　　 ～ ‖ hán shù de dìng yì： shè x hé y shì liǎng gè biàn liàng， D shì shí shù jí de mǒu gè zǐ jí， ruò duì yú D zhōng de měi gè zhí x， biàn liàng y 'àn zhào yī dìng de fǎ zé yòu qiě jǐn yòu yī gè què dìng de zhí y yǔ zhī duì yìng， chēng biàn liàng y wéi biàn liàng x de hán shù ， jì zuò y=f(x).
　　 shù jí D chēng wéi hán shù de dìng yì yù， yóu hán shù duì yìng fǎ zé huò shí jì wèn tí de yào qiú lái què dìng。 xiāng yìng de hán shù zhí de quán tǐ chēng wéi hán shù de zhí yù， duì yìng fǎ zé hé dìng yì yù shì hán shù de liǎng gè yào sù。
　　functions
　　 shù xué zhōng de yī zhǒng duì yìng guān xì， shì cóng fēi kōng shù jí A dào shí shù jí B de duì yìng。 jiǎn dān dì shuō， jiá suí zhe yǐ biàn， jiá jiù shì yǐ de hán shù 。 jīng què dì shuō， shè X shì yī gè fēi kōng jí hé， Y shì fēi kōng shù jí， f shì gè duì yìng fǎ zé， ruò duì X zhōng de měi gè x， àn duì yìng fǎ zé f， shǐ Y zhōng cún zài wéi yī de yī gè yuán sù y yǔ zhī duì yìng， jiù chēng duì yìng fǎ zé f shì X shàng de yī gè hán shù ， jì zuò y＝ f（ x）， chēng X wéi hán shù f（ x） de dìng yì yù， jí hé {y|y=f（ x）， x∈ R} wéi qí zhí yù（ zhí yù shì Y de zǐ jí）， x jiào zuò zì biàn liàng， y jiào zuò yīn biàn liàng， xí guàn shàng yě shuō y shì x de hán shù 。
　　 ruò xiān dìng yì yìng shè de gài niàn， kě yǐ jiǎn dān dìng yì hán shù wéi： dìng yì zài fēi kōng shù jí zhī jiān de yìng shè chēng wéi hán shù 。
　　 lì 1： y＝ sinxX＝［ 0， 2π］， Y＝［－ 1， 1］， tā gěi chū liǎo yī gè hán shù guān xì。 dāng rán， bǎ Y gǎi wéi Y1＝（ a， b）， a＜ b wéi rèn yì shí shù， réng rán shì yī gè hán shù guān xì。
　　 qí shēn dù y yǔ yī 'àn biān diǎn O dào cèliáng diǎn de jù lí x zhī jiān de duì yìng guān xì chéng qū xiàn， zhè dài biǎo yī gè hán shù ， dìng yì yù wéi［ 0， b］。 yǐ shàng 3 shì fǎ： gōng shì fǎ， biǎo gé fǎ hé tú xiàng fǎ。
　　 yī bān dì， zài yī gè biàn huà guò chéng zhōng bìng qiě duì yú X de měi yī gè què dìng de zhí， Y dōuyòu wéi yī de zhí yǔ qí duì yìng， Y shì X de hán shù 。 rú guǒ dāng X=A shí Y=B， nà me B jiào zuò dāng zì biàn liàng。
　　 fù hé hán shù <IMGsrc="http://t10.baidu.7021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg"name=pn0>
　　 yòu 3 gè biàn liàng， y shì u de hán shù ， y＝ ψ（ u）， u shì x de hán shù ， u＝ f（ x）， wǎng wǎng néng xíng chéng liàn： y tōng guò zhōng jiān biàn liàng u gòu chéng liǎo x de
　　x→ u→ y， zhè yào kàn dìng yì yù： shè yù wéi U， dāng U*&Iacute;U shí， chēng f yǔ ψ gòu chéng yī gè fù hé hán shù ， lì rú y＝ lgsinx， x∈（ 0， π）。 cǐ shí sinx＞ 0， lgsinx yòu yì yì。 dàn rú ruò guī dìng x∈（－ π， 0）， cǐ shí sinx＜ 0， lgsinx wú yì yì， jiù chéng bù liǎo fù hé hán shù 。
fǎn hán shù
　　yī bān dì， shè hán shù y=f(x)(x∈ A) de zhí yù shì C， gēn jù zhè gè hán shù zhōng x,y de guān xì， yòng y bǎ x biǎo shì chū， dé dào x=f(y). ruò duì yú y zài C zhōng de rèn hé yī gè zhí， tōng guò x=f(y)， x zài A zhōng dū yòu wéi yī de zhí hé tā duì yìng， nà me， x=f(y) jiù biǎo shì y shì zì biàn liàng， x shì zì biàn liàng y de hán shù ， zhè yàng de hán shù x=f(y)(y∈ C) jiào zuò hán shù y=f(x)(x∈ A) de fǎn hán shù ， jì zuò x=f^-1(y). fǎn hán shù y=f^-1(x) de dìng yì yù、 zhí yù fēn bié shì hán shù y=f(x) de zhí yù、 dìng yì yù .
　　 shuō míng： ⑴ zài hán shù x=f^-1(y) zhōng， y shì zì biàn liàng， x shì hán shù ， dàn xí guàn shàng， wǒ men yī bān yòng x biǎo shì zì biàn liàng， yòng y biǎo shì hán shù ， wèicǐ wǒ men cháng cháng duì diào hán shù x=f^-1(y) zhōng de zì mǔ x,y， bǎ tā gǎi xiě chéng y=f^-1(x)， jīn hòu fán wú tè bié shuō míng， hán shù y=f(x) de fǎn hán shù dū cǎi yòng zhè zhǒng jīng guò gǎi xiě de xíng shì .
　　 ⑵ fǎn hán shù yě shì hán shù ， yīn wéi tā fú hé hán shù de dìng yì . cóng fǎn hán shù de dìng yì kě zhī， duì yú rèn yì yī gè hán shù y=f(x) lái shuō， bù yī dìng yòu fǎn hán shù ， ruò hán shù y=f(x) yòu fǎn hán shù y=f^-1(x)， nà me hán shù y=f^-1(x) de fǎn hán shù jiù shì y=f(x)， zhè jiù shì shuō， hán shù y=f(x) yǔ y=f^-1(x) hù wéi fǎn hán shù .
　　 ⑶ cóng yìng shè de dìng yì kě zhī， hán shù y=f(x) shì dìng yì yù A dào zhí yù C de yìng shè， ér tā de fǎn hán shù y=f^-1(x) shì jí hé C dào jí hé A de yìng shè， yīn cǐ， hán shù y=f(x) de dìng yì yù zhèng hǎo shì tā de fǎn hán shù y=f^-1(x) de zhí yù； hán shù y=f(x) de zhí yù zhèng hǎo shì tā de fǎn hán shù y=f^-1(x) de dìng yì yù（ rú xià biǎo）：
　　 hán shù y=f(x) fǎn hán shù y=f^-1(x)
　　 dìng yì yù AC
　　 zhí yù CA
　　 ⑷ shàng shù dìng yì yòng“ nì” yìng shè gài niàn kě xù shù wéi：
　　 ruò què dìng hán shù y=f(x) de yìng shè f shì hán shù de dìng yì yù dào zhí yù“ shàng” de“ yī yī yìng shè”， nà me yóu f de“ nì” yìng shè f^-1 suǒ què dìng de hán shù x=f^-1(x) jiù jiào zuò hán shù y=f(x) de fǎn hán shù . fǎn hán shù x=f^-1(x) de dìng yì yù、 zhí yù fēn bié shì hán shù y=f(x) de zhí yù、 dìng yì yù .
　　 kāi shǐ de liǎng gè lì zǐ： s=vt jì wéi f(t)=vt, zé tā de fǎn hán shù jiù kě yǐ xiě wéi f^-1(t)=t/v， tóng yàng y=2x+6 jì wéi f(x)=2x+6， zé tā de fǎn hán shù wéi： f^-1(x)=x/2-3.
　　 yòu shí shì fǎn hán shù xū yào jìn xíng fēn lèi tǎo lùn， rú： f(x)=X+1/X， xū jiāng X jìn xíng fēn lèi tǎo lùn： zài X dà yú 0 shí de qíng kuàng， X xiǎo yú 0 de qíng kuàng， duō shì yào zhù yì de。 yī bān fēn shù hán shù de fǎn hán shù de biǎo shì wéi y=ax+b/cx+d(a/c bù děng yú b/d)--y=b-dx/cx+a
　　 fǎn hán shù de yìng yòng：
　　 zhí jiē qiú hán shù de zhí yù kùn nán shí， kě yǐ tōng guò qiú qí yuán hán shù de dìng yì yù lái què dìng yuán hán shù de zhí yù， qiú fǎn hán shù de bù zhòu shì zhè yàng de
　　1. xiān qiú chū yuán hán shù de zhí yù， yīn wéi yuán hán shù de zhí yù jiù shì fǎn hán shù de dìng yì yù
　　（ wǒ men zhī dào hán shù de sān yào sù shì dìng yì yù， zhí yù， duì yìng fǎ zé， suǒ yǐ xiān qiú fǎn hán shù de dìng yì yù shì qiú fǎn hán shù de dì yī bù）
　　2. fǎn jiě x， yě jiù shì yòng y lái biǎo shì x
　　3. gǎi xiě， jiāo huàn wèi zhì， yě jiù shì bǎ x gǎi chéng y， bǎ y gǎi chéng x
　　4. xiě chū fǎn hán shù jí qí dìng yì yù
　　 jiù guān xì 'ér yán， yī bān shì shuāng xiàng de， hán shù yě rú cǐ， shè y＝ f（ x） wéi yǐ zhī de hán shù ， ruò duì měi gè y∈ Y， yòu wéi yī de x∈ X， shǐ f（ x）＝ y， zhè shì yī gè yóu y zhǎo x de guò chéng， jí x chéng liǎo y de hán shù ， jì wéi x＝ f-1（ y）。 zé f-1 wéi f de fǎn hán shù 。 xí guàn shàng yòng x biǎo shì zì biàn liàng， gù zhè gè hán shù réng jì wéi y＝ f-1（ x）， lì rú y＝ sinx yǔ y＝ arcsinx hù wéi fǎn hán shù 。 zài tóng yī zuò biāo xì zhōng， y＝ f（ x） yǔ y＝ f-1（ x） de tú xíng guān yú zhí xiàn y＝ x duìchèn。
yǐn hán shù
　　ruò néng yóu fāng chéng F（ x， y）＝ 0 què dìng y wéi x de hán shù y＝ f（ x）， jí F（ x， f（ x））≡ 0， jiù chēng y shì x de yǐn hán shù 。
　　 zhù yì： cǐ chù wéi fāng chéng F（ x,y=0 bìng fēi hán shù 。
　　 sī kǎo： yǐn hán shù shì fǒu wéi hán shù ？ yīn wéi zài qí biàn huà de guò chéng zhōng bìng bù mǎn zú“ yī duì yī” hé“ duō duì yī”。
èr cì hán shù
　　yī bān dì， zì biàn liàng x hé yīn biàn liàng y zhī jiān cún zài rú xià guān xì：
　　y=ax^2+bx+c(a≠ 0)
　　（ a， b， c wéi cháng shù， a≠ 0， qiě a jué dìng hán shù de kāi kǒu fāng xiàng， a>0 shí， kāi kǒu fāng xiàng xiàng shàng， a<0 shí， kāi kǒu fāng xiàng xiàng xià。 IaI hái kě yǐ jué dìng kāi kǒu dà xiǎo ,IaI yuè dà kāi kǒu jiù yuè xiǎo ,IaI yuè xiǎo kāi kǒu jiù yuè dà。）
　　 zé chēng y wéi x de 'èr cì hán shù 。
　　 èr cì hán shù biǎo dá shì de yòu biān tōng cháng wéi 'èr cì sān xiàng shì。
　　x shì zì biàn liàng， y shì x de hán shù
　　 èr cì hán shù de sān zhǒng biǎo dá shì
　　 yī bān shì： y=ax^2+bx+c（ a， b， c wéi cháng shù， a≠ 0）
　　 dǐng diǎn shì： y=a(x-h)^2+k[ pāo wù xiàn de dǐng diǎn P（ h， k） ] duì yú 'èr cì hán shù y=ax^2+bx+c qí dǐng diǎn zuò biāo wéi (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
　　 jiāo diǎn shì： y=a(x-x₁)(x-x₂)[ jǐn xiàn yú yǔ x zhóu yòu jiāo diǎn A（ x₁， 0） hé B（ x₂， 0） de pāo wù xiàn ]
　　 qí zhōng x1， 2=(-b±√ (b^2－ 4ac))/(2a)
　　 zhù： zài 3 zhǒng xíng shì de hù xiāng zhuǎn huà zhōng， yòu rú xià guān xì :
　　______
　　h=-b/(2a)k=(4ac-b^2)/(4a)x₁,x₂=(-b±√ b^2-4ac)/2a
　　 'èr cì hán shù de tú xiàng
　　 zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng zuò chū 'èr cì hán shù y=x^2 de tú xiàng，
　　 èr cì hán shù kě yǐ kàn chū， èr cì hán shù de tú xiàng shì yī tiáo pāo wù xiàn。
　　 èr cì hán shù biāo zhǔn huà fǎ bù zhòu
　　（ zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo jìshàng）
　　（ 1） liè biǎo
　　（ 2） miáo diǎn
　　（ 3） lián xiàn
　　 pāo wù xiàn de xìng zhì
　　1. pāo wù xiàn shì zhóu duìchèn tú xíng。 duìchèn zhóu wéi zhí xiàn x=-b/2a。
　　 duìchèn zhóu yǔ pāo wù xiàn wéi yī de jiāo diǎn wéi pāo wù xiàn de dǐng diǎn P。
　　 tè bié dì， dāng b=0 shí， pāo wù xiàn de duìchèn zhóu shì y zhóu（ jí zhí xiàn x=0）
　　2. pāo wù xiàn yòu yī gè dǐng diǎn P， zuò biāo wéi P(-b/2a， (4ac-b^2)/4a)
　　 dāng -b/2a=0 shí， P zài y zhóu shàng； dāng Δ=b^2-4ac=0 shí， P zài x zhóu shàng。
　　3. èr cì xiàng xì shù a jué dìng pāo wù xiàn de kāi kǒu fāng xiàng hé dà xiǎo。
　　 dāng a＞ 0 shí， pāo wù xiàn xiàng shàng kāi kǒu； dāng a＜ 0 shí， pāo wù xiàn xiàng xià kāi kǒu。
　　|a| yuè dà， zé pāo wù xiàn de kāi kǒu yuè xiǎo。
　　4. yī cì xiàng xì shù b hé 'èr cì xiàng xì shù a gòng tóng jué dìng duìchèn zhóu de wèi zhì。
　　 dāng a yǔ b tóng hào shí（ jí ab＞ 0）， duìchèn zhóu zài y zhóu zuǒ；
　　 dāng a yǔ b yì hào shí（ jí ab＜ 0）， duìchèn zhóu zài y zhóu yòu。
　　5. cháng shù xiàng c jué dìng pāo wù xiàn yǔ y zhóu jiāo diǎn。
　　 pāo wù xiàn yǔ y zhóu jiāo yú（ 0， c）
　　6. pāo wù xiàn yǔ x zhóu jiāo diǎn gè shù
　　Δ=b^2-4ac＞ 0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu yòu 2 gè jiāo diǎn。
　　Δ=b^2-4ac=0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu yòu 1 gè jiāo diǎn。
　　_______
　　Δ=b^2-4ac＜ 0 shí， pāo wù xiàn yǔ x zhóu méi yòu jiāo diǎn。 X de qǔ zhí shì xū shù（ x=-b±√ b^2－ 4ac de zhí de xiāng fǎn shù， chéng shàng xū shù i， zhěng gè shì zǐ chú yǐ 2a）
　　 dāng a>0 shí， hán shù zài x=-b/2a chù qǔ dé zuì xiǎo zhí f(-b/2a)=4ac-b^2/4a； zài {x|x<-b/2a} shàng shì jiǎn hán shù ， zài {x|x>-b/2a} shàng shì zēng hán shù ； pāo wù xiàn de kāi kǒu xiàng shàng； hán shù de zhí yù shì {x|x ≥ 4ac-b^2/4a} xiāng fǎn bù biàn
　　 dāng b=0 shí， pāo wù xiàn de duìchèn zhóu shì y zhóu， zhè shí， hán shù shì 'ǒu hán shù ， jiě xī shì biàn xíng wéi y=ax^2+c(a≠ 0)
　　 èr cì hán shù yǔ yī yuán 'èr cì fāng chéng
　　 tè bié dì， èr cì hán shù （ yǐ xià chēng hán shù ） y=ax^2+bx+c，
　　 dāng y=0 shí， èr cì hán shù wéi guān yú x de yī yuán 'èr cì fāng chéng（ yǐ xià chēng fāng chéng），
　　 jí ax^2+bx+c=0
　　 cǐ shí， hán shù tú xiàng yǔ x zhóu yòu wú jiāo diǎn jí fāng chéng yòu wú shí shù gēn。
　　 hán shù yǔ x zhóu jiāo diǎn de héng zuò biāo jí wéi fāng chéng de gēn。
　　1． èr cì hán shù y=ax^2， y=a(x-h)^2， y=a(x-h)^2+k， y=ax^2+bx+c( gè shì zhōng， a≠ 0) de tú xiàng xíng zhuàng xiāng tóng， zhǐ shì wèi zhì bù tóng， tā men de dǐng diǎn zuò biāo jí duìchèn zhóu rú xià biǎo：
　　 jiě xī shì
　　y=ax^2
　　y=a(x-h)^2
　　y=a(x-h)^2+k
　　y=ax^2+bx+c
　　 dǐng diǎn zuò biāo
　　(0， 0)
　　(h， 0)
　　(h， k)
　　(-b/2a， (4ac-b^2)/4a)
　　 duìchèn zhóu
　　x=0
　　x=h
　　x=h
　　x=-b/2a
　　 dāng h>0 shí， y=a(x-h)^2 de tú xiàng kě yóu pāo wù xiàn y=ax^2 xiàng yòu píng xíng yí dòng h gè dān wèi dé dào，
　　 dāng h<0 shí， zé xiàng zuǒ píng xíng yí dòng |h| gè dān wèi dé dào．
　　 dāng h>0,k>0 shí， jiāng pāo wù xiàn y=ax^2 xiàng yòu píng xíng yí dòng h gè dān wèi， zài xiàng shàng yí dòng k gè dān wèi， jiù kě yǐ dé dào y=a(x-h)^2+k de tú xiàng；
　　 dāng h>0,k<0 shí， jiāng pāo wù xiàn y=ax^2 xiàng yòu píng xíng yí dòng h gè dān wèi， zài xiàng xià yí dòng |k| gè dān wèi kě dé dào y=a(x-h)^2+k de tú xiàng；
　　 dāng h<0,k>0 shí， jiāng pāo wù xiàn xiàng zuǒ píng xíng yí dòng |h| gè dān wèi， zài xiàng shàng yí dòng k gè dān wèi kě dé dào y=a(x-h)^2+k de tú xiàng；
　　 dāng h<0,k<0 shí， jiāng pāo wù xiàn xiàng zuǒ píng xíng yí dòng |h| gè dān wèi， zài xiàng xià yí dòng |k| gè dān wèi kě dé dào y=a(x-h)^2+k de tú xiàng；
　　 yīn cǐ， yán jiū pāo wù xiàn y=ax^2+bx+c(a≠ 0) de tú xiàng， tōng guò pèi fāng， jiāng yī bān shì huà wéi y=a(x-h)^2+k de xíng shì， kě què dìng qí dǐng diǎn zuò biāo、 duìchèn zhóu， pāo wù xiàn de dà tǐ wèi zhì jiù hěn qīng chǔ liǎo． zhè gěi huà tú xiàng tí gōng liǎo fāng biàn．
　　2． pāo wù xiàn y=ax^2+bx+c(a≠ 0) de tú xiàng： dāng a>0 shí， kāi kǒu xiàng shàng， dāng a<0 shí kāi kǒu xiàng xià， duìchèn zhóu shì zhí xiàn x=-b/2a， dǐng diǎn zuò biāo shì (-b/2a， [4ac-b^2]/4a)．
　　3． pāo wù xiàn y=ax^2+bx+c(a≠ 0)， ruò a>0， dāng x≤ -b/2a shí， y suí x de zēng dà 'ér jiǎn xiǎo； dāng x≥ -b/2a shí， y suí x de zēng dà 'ér zēng dà． ruò a<0， dāng x≤ -b/2a shí， y suí x de zēng dà 'ér zēng dà； dāng x≥ -b/2a shí， y suí x de zēng dà 'ér jiǎn xiǎo．
　　4． pāo wù xiàn y=ax^2+bx+c de tú xiàng yǔ zuò biāo zhóu de jiāo diǎn：
　　(1) tú xiàng yǔ y zhóu yī dìng xiāng jiāo， jiāo diǎn zuò biāo wéi (0， c)；
　　(2) dāng△ =b^2-4ac>0， tú xiàng yǔ x zhóu jiāo yú liǎng diǎn A(x₁， 0) hé B(x₂， 0)， qí zhōng de x1,x2 shì yī yuán 'èr cì fāng chéng ax^2+bx+c=0
　　(a≠ 0) de liǎng gēn． zhè liǎng diǎn jiān de jù lí AB=|x₂-x₁| lìng wài， pāo wù xiàn shàng rèn hé yī duì duìchèn diǎn de jù lí kě yǐ yóu |2×（ -b/2a）－ A|（ A wéi qí zhōng yī diǎn）
　　 dāng△ =0． tú xiàng yǔ x zhóu zhǐ yòu yī gè jiāo diǎn；
　　 dāng△ <0． tú xiàng yǔ x zhóu méi yòu jiāo diǎn． dāng a>0 shí， tú xiàng luò zài x zhóu de shàng fāng， x wéi rèn hé shí shù shí， dōuyòu y>0； dāng a<0 shí， tú xiàng luò zài x zhóu de xià fāng， x wéi rèn hé shí shù shí， dōuyòu y<0．
　　5． pāo wù xiàn y=ax^2+bx+c de zuì zhí： rú guǒ a>0(a<0)， zé dāng x=-b/2a shí， y zuì xiǎo ( dà ) zhí =(4ac-b^2)/4a．
　　 dǐng diǎn de héng zuò biāo， shì qǔ dé zuì zhí shí de zì biàn liàng zhí， dǐng diǎn de zòng zuò biāo， shì zuì zhí de qǔ zhí．
　　6． yòng dài dìng xì shù fǎ qiú 'èr cì hán shù de jiě xī shì
　　(1) dāng tí gěi tiáo jiàn wéi yǐ zhī tú xiàng jīng guò sān gè yǐ zhī diǎn huò yǐ zhī x、 y de sān duì duì yìng zhí shí， kě shè jiě xī shì wéi yī bān xíng shì：
　　y=ax^2+bx+c(a≠ 0)．
　　(2) dāng tí gěi tiáo jiàn wéi yǐ zhī tú xiàng de dǐng diǎn zuò biāo huò duìchèn zhóu shí， kě shè jiě xī shì wéi dǐng diǎn shì： y=a(x-h)^2+k(a≠ 0)．
　　(3) dāng tí gěi tiáo jiàn wéi yǐ zhī tú xiàng yǔ x zhóu de liǎng gè jiāo diǎn zuò biāo shí， kě shè jiě xī shì wéi liǎng gēn shì： y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠ 0)．
　　7． èr cì hán shù zhī shí hěn róng yì yǔ qí tā zhī shí zōng hé yìng yòng， ér xíng chéng jiào wéi fù zá de zōng hé tí mù。 yīn cǐ， yǐ 'èr cì hán shù zhī shí wéi zhù de zōng hé xìng tí mù shì zhōng kǎo de rè diǎn kǎo tí， wǎng wǎng yǐ dà tí xíng shì chū xiàn．
sān jiǎo hán shù
　　sān jiǎo hán shù shì shù xué zhōng shǔ yú chū děng hán shù zhōng de chāo yuè hán shù de yī lèi hán shù 。 tā men de běn zhì shì rèn yì jiǎo de jí hé yǔ yī gè bǐ zhí de jí hé de biàn liàng zhī jiān de yìng shè。 tōng cháng de sān jiǎo hán shù shì zài píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì zhōng dìng yì de， qí dìng yì yù wéi zhěng gè shí shù yù。 lìng yī zhǒng dìng yì shì zài zhí jiǎo sān jiǎo xíng zhōng， dàn bìng bù wán quán。 xiàn dài shù xué bǎ tā men miáo shù chéng wú qióng shù liè de jí xiàn hé wēi fēn fāng chéng de jiě， jiāng qí dìng yì kuò zhǎn dào fù shù xì。
　　 yóu yú sān jiǎo hán shù de zhōu qī xìng， tā bìng bù jù yòu dān zhí hán shù yì yì shàng de fǎn hán shù 。
　　 sān jiǎo hán shù zài fù shù zhōng yòu jiào wéi zhòng yào de yìng yòng。 zài wù lǐ xué zhōng， sān jiǎo hán shù yě shì cháng yòng de gōng jù。
　　 tā yòu liù zhǒng jī běn hán shù ：
　　 hán shù míng： zhèng xián yú xián zhèng qiē yú qiē zhèng gē yú gē
　　 fú hào sincostancotseccsc
　　 zhèng xián hán shù sin（ A） =a/h
　　 yú xián hán shù cos（ A） =b/h
　　 zhèng qiē hán shù tan（ A） =a/b
　　 yú qiē hán shù cot（ A） =b/a
　　 zài mǒu yī biàn huà guò chéng zhōng， liǎng gè biàn liàng x、 y， duì yú mǒu yī fàn wéi nèi de x de měi yī gè zhí， y dōuyòu què dìng de zhí hé tā duì yìng， y jiù shì x de hán shù 。 zhè zhǒng guān xì yī bān yòng y=f(x) lái biǎo shì。
　　 yī cì hán shù jiě xī shì de qiú fǎ
　　 qiú hán shù jiě xī shì， shì chū zhōng dài shù de yī gè zhòng yào nèi róng， xià miàn jiè shào hán shù zhōng zuì jī běn de hán shù ?? yī cì hán shù jǐ zhǒng cháng jiàn de jiě fǎ。
　　 yī、 dài dìng xì shù fǎ
　　 dài dìng xì shù fǎ shì qiú hán shù jiě xī shì de jī běn fāng fǎ， qí yī bān bù zhòu wéi， shǒu xiān shè chū suǒ qiú hán shù jiě xī shì， zài gēn jù tí shè tiáo jiàn liè chū xiāng yìng de fāng chéng（ zǔ）， zuì hòu jiāng suǒ qiú dài dìng xì shù de zhí dài rù suǒ shè de hán shù jiě xī shì jí kě。
　　 lì 1. yǐ zhī yī cì hán shù de tú xiàng jīng guò diǎn A（ 2， -1） hé B， diǎn B shì lìng yī tiáo zhí xiàn yǔ y zhóu de jiāo diǎn， qiú zhè gè hán shù de jiě xī shì。
　　 jiě： shè yī cì hán shù de jiě xī shì wéi y=kx+b， zé yóu tí yì dé jiāo diǎn B de zuò biāo wéi（ 0， 3），
　　 yòu yī cì hán shù de tú xiàng jīng guò diǎn A（ 2， -1） hé diǎn B（ 0， 3），
　　 jiě dé
　　 suǒ qiú de hán shù jiě xī shì wéi。
　　 lì 2. yǐ zhī（ qí zhōng a,b shì cháng shù） chéng zhèng bǐ lì， qiú zhèng：（ 1） y shì x de yī cì hán shù ；
　　（ 2） rú guǒ shí， shí， bǎ y biǎo shì chéng x de hán shù shì。
　　 fēn xī：（ 1） yù zhèng y shì x de yī cì hán shù ， jí bǎ y biǎo shì chéng“” de xíng shì， yóu yǔ chéng zhèng bǐ lì， gù kě shè， jīng biàn xíng kě zhèng。
　　（ 2） bǎ liǎng zǔ zhí dài rù yóu（ 1） dé dào de hán shù biǎo shì shì zhōng， qiú dé cān shù de zhí。
　　 jiě：（ 1） shè
　　， gù y shì x de yī cì hán shù 。
　　（ 2） bǎ fēn bié dài rù zhōng， dé
　　 suǒ qiú de jiě xī shì wéi。
　　 èr、 píng yí biàn huàn fǎ
　　 píng yí biàn huàn fǎ， jiù shì bǎ hán shù de tú xiàng yán x zhóu xiàng yòu（） huò xiàng zuǒ（） píng yí |a| gè dān wèi， zài yán y zhóu xiàng shàng（） huò xiàng xià píng yí |b| gè dān wèi， jí kě dé dào hán shù de tú xiàng。 lì yòng zhè gè píng yí fǎ zé kě zhí jiē xiě chū suǒ qiú hán shù tú xiàng de jiě xī shì。
　　 lì 3. jiāng zhí xiàn xiàng zuǒ píng yí 3 gè dān wèi， zài xiàng shàng píng yí yī gè dān wèi， suǒ dé de zhí xiàn jiě xī shì wéi _______。
　　 jiě： gēn jù tí yì jí píng yí biàn huàn fǎ zé
　　 dé， jí
　　 sān、 shù xíng jié hé fǎ
　　 shù xíng jié hé fǎ， jiù shì gēn jù wèn tí de xū yào， jì kě yǐ bǎ shù liàng guān xì zhuǎn huà wéi tú xíng xìng zhì qù yán jiū yě kě yǐ bǎ tú xíng xìng zhì zhuǎn huà wéi shù liàng guān xì lái tǎo lùn。
　　 lì 4. yǐ zhī liǎng gè yī cì hán shù hé， shì yòng liǎng zhǒng bù tóng de fāng fǎ bǐ jiào tā men tóng yī gè zì biàn liàng duì yìng de hán shù zhí de dà xiǎo。
　　 fēn xī： bǐ jiào liǎng gè yī cì hán shù zhí de dà xiǎo， kě yǐ cóng tú xiàng fǎ， dài rù fǎ liǎng gè jiǎo dù bǐ jiào。
　　 jiě： jiě fǎ yī：（ tú xiàng fǎ） zài tóng yī zuò biāo xì zhōng zuò chū yī cì hán shù de tú xiàng。
　　 rú tú， guān chá kě zhī dāng shí yǔ xiāng jiāo yú（ 1， -1）， jí
　　；
　　 dāng de hán shù tú xiàng zài de hán shù tú xiàng de xià fāng， jí。
　　 dāng shí， de hán shù tú xiàng zài de hán shù tú xiàng de shàng fāng， jí。
　　 jiě fǎ 'èr：（ dài shù fǎ）
　　 yóu cǐ kě jiàn， shàng shù liǎng zhǒng jiě fǎ， fēn bié cóng shù、 xíng liǎng zhǒng jiǎo dù rù shǒu， xiāng dé yì zhāng。
　　 lì 5. rú tú， zhèng fāng xíng ABCD de biān cháng shì 4， jiāng cǐ zhèng fāng xíng zhì yú píng miàn zhí jiǎo zuò biāo xì xOy zhōng， shǐ AB zài x zhóu de zhèng bàn zhóu shàng， A diǎn de zuò biāo shì（ 1， 0）。
　　（ 1） jīng guò diǎn C de zhí xiàn yǔ x zhóu jiāo yú diǎn E， qiú sì biān xíng AECD de miàn jī。
　　（ 2） ruò zhí xiàn l jīng guò diǎn E qiě jiāng zhèng fāng xíng ABCD fēn chéng miàn jī xiāng děng de liǎng bù fēn， qiú zhí xiàn l de fāng chéng bìng zài zuò biāo xì zhōng huà chū zhí xiàn l。
　　 fēn xī：（ 1） yào qiú sì biān xíng ABCD miàn jī， yīn wéi zhèng fāng xíng ABCD zhōng DC//AE。 kě jiàn sì biān xíng AECD wéi tī xíng。
　　 wèicǐ zhǐ yào qiú AE jí kě。
　　（ 2） yào shǐ zhí xiàn l bǎ zhèng fāng xíng miàn jī fēn chéng xiāng děng liǎng bù fēn， zhǐ yào zhí xiàn l guò zhèng fāng xíng de duìchèn zhōng xīn， jí duì jiǎo xiàn jiāo diǎn。
　　 jiě：（ 1） yóu， dé。
　　。
　　 sì biān xíng AECD wéi zhí jiǎo tī xíng，
　　（ píng fāng dān wèi）
　　（ 2） guò zhèng fāng xíng duìchèn zhōng xīn de zhí xiàn， zǒng shì jiāng zhèng fāng xíng fēn chéng miàn jī xiāng děng de liǎng bù fēn。
　　 guò diǎn E jí zhèng fāng xíng duìchèn zhōng xīn de zhí xiàn jí wéi suǒ qiú de zhí xiàn l。
　　 lián jiē AC、 BD jiāo yú G。
　　 zé E（ 2， 0）， G（ 3， 2） dài rù de，
　　 jiě dé
　　 suǒ qiú zhí xiàn l de fāng chéng wéi。
　　 sì、 fēn lèi tǎo lùn fǎ
　　 fēn lèi tǎo lùn fǎ， jiù shì zài tí mù zhōng wèi chū xiàn tú xíng huò jù tǐ tiáo jiàn shí jiāng huì chū xiàn duō zhǒng kě néng xìng， yīn cǐ yào fēn bié jìn xíng tǎo lùn。
　　 lì 6. rú guǒ yī cì hán shù de zì biàn liàng x de qǔ zhí fàn wéi shì， xiāng yìng hán shù zhí de fàn wéi shì， qiú cǐ hán shù de jiě xī shì。
　　 fēn xī： yóu yú yī cì hán shù de tú xiàng shì zhí xiàn， gù dāng shí， tú xiàng shì xiàn duàn， yóu yī cì hán shù de zēng jiǎn xìng， hán shù de zuì zhí yī dìng duì yìng x de zuì zhí jí y de zuì dà zhí 9， yī dìng duì yìng x de zuì dà zhí 6， huò zuì xiǎo zhí， zhè yào shì k de fú hào 'ér dìng。
　　 jiě： duì k de zhí fēn liǎng zhǒng qíng kuàng jìn xíng tǎo lùn：
　　（ 1） dāng shí， zé y de zhí suí x de zēng dà 'ér zēng dà， yīn cǐ， yī dìng shì dāng shí，。
　　 dāng shí，
　　 gù dé jiě zhī dé
　　 suǒ qiú hán shù jiě xī shì wéi。
　　 dāng shí， y suí x de zēng dà 'ér jiǎn xiǎo， yī dìng shì。
　　 yú shì dé jiě dé
　　 suǒ qiú jiě xī shì wéi
　　 zōng hé shàng shù liǎng zhǒng qíng kuàng。 fú hé tiáo jiàn de jiě xī shì wéi
　　 shù xué wèn tí shì qiān biàn wàn huà de， dàn wǒ men zǒng néng zhǎo zhe cháng guī， xué xí yòng yùn dòng biàn huà de guān diǎn kàn dài shù xué wèn tí， zhè duì wǒ men de xué xí shì dà yòu bì yì de。
hán shù gài niàn de fā zhǎn lì shǐ
　　1. zǎo qī hán shù gài niàn héng héng jǐ hé guān niàn xià de hán shù
　　 shí qī shì jì gā lì lüè (G． Galileo， yì， 1564－ 1642) zài《 liǎng mén xīn kē xué》 yī shū zhōng， jīhū quán bù bāo hán hán shù huò chēng wéi biàn liàng guān xì de zhè yī gài niàn， yòng wén zì hé bǐ lì de yǔ yán biǎo dá hán shù de guān xì。 1673 nián qián hòu dí kǎ 'ěr (Descartes， fǎ， 1596－ 1650) zài tā de jiě xī jǐ hé zhōng， yǐ zhù yì dào yī gè biàn liàng duì lìng yī gè biàn liàng de yǐ lài guān xì， dàn yīn dāng shí shàng wèi yì shí dào yào tí liàn hán shù gài niàn， yīn cǐ zhí dào 17 shì jì hòu qī niú dùn、 lāi bù ní cí jiàn lì wēi jī fēn shí hái méi yòu rén míng què hán shù de yī bān yì yì， dà bù fēn hán shù shì bèi dāng zuò qū xiàn lái yán jiū de。
　　1673 nián， lāi bù ní cí shǒu cì shǐ yòng“ function”（ hán shù ） biǎo shì“ mì”， hòu lái tā yòng gāi cí biǎo shì qū xiàn shàng diǎn de héng zuò biāo、 zòng zuò biāo、 qiē xiàn cháng děng qū xiàn shàng diǎn de yòu guān jǐ hé liàng。 yǔ cǐ tóng shí， niú dùn zài wēi jī fēn de tǎo lùn zhōng， shǐ yòng“ liú liàng” lái biǎo shì biàn liàng jiān de guān xì。
　　2. shí bā shì jì hán shù gài niàn── dài shù guān niàn xià de hán shù
　　1718 nián yuē hàn • bèi nǔ lì (BernoulliJohann， ruì， 1667－ 1748) zài lāi bù ní cí hán shù gài niàn de jī chǔ shàng duì hán shù gài niàn jìn xíng liǎo dìng yì：“ yóu rèn yī biàn liàng hé cháng shù de rèn yī xíng shì suǒ gòu chéng de liàng。” tā de yì sī shì fán biàn liàng x hé cháng liàng gòu chéng de shì zǐ dū jiào zuò x de hán shù ， bìng qiáng diào hán shù yào yòng gōng shì lái biǎo shì。
　　1755， ōu lā (L． Euler， ruì shì， 1707－ 1783) bǎ hán shù dìng yì wéi“ rú guǒ mǒu xiē biàn liàng， yǐ mǒu yī zhǒng fāng shì yǐ lài yú lìng yī xiē biàn liàng， jí dāng hòu miàn zhè xiē biàn liàng biàn huà shí， qián miàn zhè xiē biàn liàng yě suí zhe biàn huà， wǒ men bǎ qián miàn de biàn liàng chēng wéi hòu miàn biàn liàng de hán shù 。”
　　18 shì jì zhōng yè 'ōu lā (L． Euler， ruì， 1707－ 1783) gěi chū liǎo dìng yì：“ yī gè biàn liàng de hán shù shì yóu zhè gè biàn liàng hé yī xiē shù jí cháng shù yǐ rèn hé fāng shì zǔ chéng de jiě xī biǎo dá shì。” tā bǎ yuē hàn • bèi nǔ lì gěi chū de hán shù dìng yì chēng wéi jiě xī hán shù ， bìng jìn yī bù bǎ tā qū fēn wéi dài shù hán shù hé chāo yuè hán shù ， hái kǎo lǜ liǎo“ suí yì hán shù ”。 bù nán kàn chū， ōu lā gěi chū de hán shù dìng yì bǐ yuē hàn • bèi nǔ lì de dìng yì gèng pǔ biàn、 gèng jù yòu guǎng fàn yì yì。
　　3. shí jiǔ shì jì hán shù gài niàn── duì yìng guān xì xià de hán shù
　　1821 nián， kē xī (Cauchy， fǎ， 1789－ 1857) cóng dìng yì biàn liàng qǐ gěi chū liǎo dìng yì：“ zài mǒu xiē biàn shù jiān cún zài zhe yī dìng de guān xì， dāng yī jīng gěi dìng qí zhōng mǒu yī biàn shù de zhí， qí tā biàn shù de zhí kě suí zhe 'ér què dìng shí， zé jiāng zuì chū de biàn shù jiào zì biàn liàng， qí tā gè biàn shù jiào zuò hán shù 。” zài kē xī de dìng yì zhōng， shǒu xiān chū xiàn liǎo zì biàn liàng yī cí， tóng shí zhǐ chū duì hán shù lái shuō bù yī dìng yào yòu jiě xī biǎo dá shì。 bù guò tā réng rán rèn wéi hán shù guān xì kě yǐ yòng duō gè jiě xī shì lái biǎo shì， zhè shì yī gè hěn dà de jú xiàn。
　　1822 nián fù lǐ yè（ Fourier， fǎ guó， 1768 héng héng 1830） fā xiàn mǒu xiē hán shù yě yǐ yòng qū xiàn biǎo shì， yě kě yǐ yòng yī gè shì zǐ biǎo shì， huò yòng duō gè shì zǐ biǎo shì， cóng 'ér jié shù liǎo hán shù gài niàn shì fǒu yǐ wéi yī yī gè shì zǐ biǎo shì de zhēng lùn， bǎ duì hán shù de rèn shí yòu tuī jìn liǎo yī gè xīn céng cì。
　　1837 nián dí lì kè léi (Dirichlet， dé， 1805－ 1859) tū pò liǎo zhè yī jú xiàn， rèn wéi zěn yàng qù jiàn lì x yǔ y zhī jiān de guān xì wú guān jǐn yào， tā tuò guǎng liǎo hán shù gài niàn， zhǐ chū：“ duì yú zài mǒu qū jiān shàng de měi yī gè què dìng de x zhí， y dōuyòu yī gè huò duō gè què dìng de zhí， nà me y jiào zuò x de hán shù 。” zhè gè dìng yì bì miǎn liǎo hán shù dìng yì zhōng duì yǐ lài guān xì de miáo shù， yǐ qīng xī de fāng shì bèi suǒ yòu shù xué jiā jiē shòu。 zhè jiù shì rén men cháng shuō de jīng diǎn hán shù dìng yì。
　　 děng dào kāng tuō (Cantor， dé， 1845－ 1918) chuàng lì de jí hé lùn zài shù xué zhōng zhàn yòu zhòng yào dì wèi zhī hòu， wéi bù lún (Veblen， měi， 1880－ 1960) yòng“ jí hé” hé“ duì yìng” de gài niàn gěi chū liǎo jìn dài hán shù dìng yì， tōng guò jí hé gài niàn bǎ hán shù de duì yìng guān xì、 dìng yì yù jí zhí yù jìn yī bù jù tǐ huà liǎo， qiě dǎ pò liǎo“ biàn liàng shì shù” de jí xiàn， biàn liàng kě yǐ shì shù， yě kě yǐ shì qí tā duì xiàng。
　　4. xiàn dài hán shù gài niàn── jí hé lùn xià de hán shù
　　1914 nián háo sī dào fū (F． Hausdorff) zài《 jí hé lùn gāng yào》 zhōng yòng bù míng què de gài niàn“ xù 'ǒu” lái dìng yì hán shù ， qí bì kāi liǎo yì yì bù míng què de“ biàn liàng”、“ duì yìng” gài niàn。 kù lā tuō fū sī jī (Kuratowski) yú 1921 nián yòng jí hé gài niàn lái dìng yì“ xù 'ǒu” shǐ háo sī dào fū de dìng yì hěn yán jǐn liǎo。
　　1930 nián xīn de xiàn dài hán shù dìng yì wéi“ ruò duì jí hé M de rèn yì yuán sù x， zǒng yòu jí héＮ què dìng de yuán sù y yǔ zhī duì yìng， zé chēng zài jí hé M shàng dìng yì yī gè hán shù ， jì wéi y=f(x)。 yuán sù x chēng wéi zì biàn yuán， yuán sù y chēng wéi yīn biàn yuán。”
　　 shù yǔ hán shù ， yìng shè， duì yìng， biàn huàn tōng cháng dōuyòu tóng yī gè yì sī。
　　 dàn hán shù zhǐ biǎo shì shù yǔ shǔzhī jiān de duì yìng guān xì， yìng shè hái kě biǎo shì diǎn yǔ diǎn zhī jiān， tú xíng zhī jiān děng de duì yìng guān xì。 kě yǐ shuō hán shù bāo hán yú yìng shè。 dāng rán， yìng shè yě zhǐ shì yī bù fēn。
gāo sī hán shù
　　shè x∈ R， yòng [x] huò int(x) biǎo shì bù chāo guò x de zuì dà zhěng shù， bìng yòng biǎo shì x de fēi fù chún xiǎo shù , zé y=[x] chēng wéi gāo sī（ Guass） hán shù ， yě jiào qǔ zhěng hán shù 。
　　 rèn yì yī gè shí shù dōunéng xiě chéng zhěng shù yǔ fēi fù chún xiǎo shù zhī hé， jí： x=[x]+（ 0≤ <1）
fù biàn hán shù
　　fù biàn hán shù shì dìng yì yù wéi fù shù jí hé de hán shù 。
　　 fù shù de gài niàn qǐ yuán yú qiú fāng chéng de gēn， zài 'èr cì、 sān cì dài shù fāng chéng de qiú gēn zhōng jiù chū xiàn liǎo fù shù kāi píng fāng de qíng kuàng。 zài hěn cháng shí jiān lǐ， rén men duì zhè lèi shǔbù néng lǐ jiě。 dàn suí zhe shù xué de fā zhǎn， zhè lèi shù de zhòng yào xìng jiù rì yì xiǎn xiàn chū lái。 fù shù de yī bān xíng shì shì： a+bi， qí zhōng i shì xū shù dān wèi。
　　 yǐ fù shù zuò wéi zì biàn liàng de hán shù jiù jiào zuò fù biàn hán shù ， ér yǔ zhī xiāng guān de lǐ lùn jiù shì fù biàn hán shù lùn。 jiě xī hán shù shì fù biàn hán shù zhōng yī lèi jù yòu jiě xī xìng zhì de hán shù ， fù biàn hán shù lùn zhù yào jiù yán jiū fù shù yù shàng de jiě xī hán shù ， yīn cǐ tōng cháng yě chēng fù biàn hán shù lùn wéi jiě xī hán shù lùn。
　　 fù biàn hán shù lùn de fā zhǎn jiǎn kuàng
　　 fù biàn hán shù lùn chǎn shēng yú shí bā shì jì。 1774 nián， ōu lā zài tā de yī piān lùn wén zhōng kǎo lǜ liǎo yóu fù biàn hán shù de jī fēn dǎo chū de liǎng gè fāng chéng。 ér bǐ tā gèng zǎo shí， fǎ guó shù xué jiā dá lǎng bèi 'ěr zài tā de guān yú liú tǐ lì xué de lùn wén zhōng， jiù yǐ jīng dé dào liǎo tā men。 yīn cǐ， hòu lái rén men tí dào zhè liǎng gè fāng chéng， bǎ tā men jiào zuò“ dá lǎng bèi 'ěr - ōu lā fāng chéng”。 dào liǎo shí jiǔ shì jì， shàng shù liǎng gè fāng chéng zài kē xī hé lí màn yán jiū liú tǐ lì xué shí， zuò liǎo gèng xiáng xì de yán jiū， suǒ yǐ zhè liǎng gè fāng chéng yě bèi jiào zuò“ kē xī - lí màn tiáo jiàn”。
　　 fù biàn hán shù lùn de quán miàn fā zhǎn shì zài shí jiǔ shì jì， jiù xiàng wēi jī fēn de zhí jiē kuò zhǎn tǒng zhì liǎo shí bā shì jì de shù xué nà yàng， fù biàn hán shù zhè gè xīn de fēn zhī tǒng zhì liǎo shí jiǔ shì jì de shù xué。 dāng shí de shù xué jiā gōng rèn fù biàn hán shù lùn shì zuì fēng ráo de shù xué fēn zhī， bìng qiě chēng wéi zhè gè shì jì de shù xué xiǎng shòu， yě yòu rén chēng zàn tā shì chōu xiàng kē xué zhōng zuì hé xié de lǐ lùn zhī yī。
　　 wéi fù biàn hán shù lùn de chuàng jiàn zuò liǎo zuì zǎo qī gōng zuò de shì 'ōu lā、 dá lǎng bèi 'ěr， fǎ guó de lā pǔ lā sī yě suí hòu yán jiū guò fù biàn hán shù de jī fēn， tā mendōu shì chuàng jiàn zhè mén xué kē de xiān qū。
　　 hòu lái wéi zhè mén xué kē de fā zhǎn zuò liǎo dà liàng diàn jī gōng zuò de yào suàn shì kē xī、 lí màn hé dé guó shù xué jiā wéi 'ěr sī tè lā sī。 èr shí shì jì chū， fù biàn hán shù lùn yòu yòu liǎo hěn dà de jìn zhǎn， wéi 'ěr sī tè lā sī de xué shēng， ruì diǎn shù xué jiā liè fū lè、 fǎ guó shù xué jiā péng jiā lè、 ā dá mǎ děngdōu zuò liǎo dà liàng de yán jiū gōng zuò， kāi tuò liǎo fù biàn hán shù lùn gèng guǎng kuò de yán jiū lǐng yù， wéi zhè mén xué kē de fā zhǎn zuò chū liǎo gòng xiàn。
　　 fù biàn hán shù lùn zài yìng yòng fāng miàn， shè jí de miàn hěn guǎng， yòu hěn duō fù zá de jì suàn dōushì yòng tā lái jiě jué de。 bǐ rú wù lǐ xué shàng yòu hěn duō bù tóng de wěn dìng píng miàn chǎng， suǒ wèi chǎng jiù shì měi diǎn duì yīngyǒu wù lǐ liàng de yī gè qū yù， duì tā men de jì suàn jiù shì tōng guò fù biàn hán shù lái jiě jué de。
　　 bǐ rú 'é guó de rú kē fū sī jī zài shè jì fēi jī de shí hòu， jiù yòng fù biàn hán shù lùn jiě jué liǎo fēi jī jī yì de jié gòu wèn tí， tā zài yùn yòng fù biàn hán shù lùn jiě jué liú tǐ lì xué hé háng kōng lì xué fāng miàn de wèn tí shàng yě zuò chū liǎo gòng xiàn。
　　 fù biàn hán shù lùn bù dàn zài qí tā xué kē dé dào liǎo guǎng fàn de yìng yòng， ér qiě zài shù xué lǐng yù de xǔ duō fēn zhī yědōu yìng yòng liǎo tā de lǐ lùn。 tā yǐ jīng shēn rù dào wēi fēn fāng chéng、 jī fēn fāng chéng、 gàilǜ lùn hé shù lùn děng xué kē， duì tā men de fā zhǎn hěn yòu yǐng xiǎng。
　　 fù biàn hán shù lùn de nèi róng
　　 fù biàn hán shù lùn zhù yào bāo kuò dān zhí jiě xī hán shù lǐ lùn、 lí màn qū miàn lǐ lùn、 jǐ hé hán shù lùn、 liú shù lǐ lùn、 guǎng yì jiě xī hán shù děng fāng miàn de nèi róng。
　　 rú guǒ dāng hán shù de biàn liàng qǔ mǒu yī dìng zhí de shí hòu， hán shù jiù yòu yī gè wéi yī què dìng de zhí， nà me zhè gè hán shù jiě jiù jiào zuò dān zhí jiě xī hán shù ， duō xiàng shì jiù shì zhè yàng de hán shù 。
　　 fù biàn hán shù yě yán jiū duō zhí hán shù ， lí màn qū miàn lǐ lùn shì yán jiū duō zhí hán shù de zhù yào gōng jù。 yóu xǔ duō céng miàn 'ān fàng zài yī qǐ 'ér gòu chéng de yī zhǒng qū miàn jiào zuò lí màn qū miàn。 lì yòng zhè zhǒng qū miàn， kě yǐ shǐ duō zhí hán shù de dān zhí zhī hé zhī diǎn gài niàn zài jǐ hé shàng yòu fēi cháng zhí guān de biǎo shì hé shuō míng。 duì yú mǒu yī gè duō zhí hán shù ， rú guǒ néng zuò chū tā de lí màn qū miàn， nà me， hán shù zài lí màn qū miàn shàng jiù biàn chéng dān zhí hán shù 。
　　 lí màn qū miàn lǐ lùn shì fù biàn hán shù yù hé jǐ hé jiān de yī zuò qiáo liáng， néng gòu shǐ wǒ men bǎ bǐ jiào shēn 'ào de hán shù de jiě xī xìng zhì hé jǐ hé lián xì qǐ lái。 jìn lái， guān yú lí màn qū miàn de yán jiū hái duì lìng yī mén shù xué fēn zhī tuò pū xué yòu bǐ jiào dà de yǐng xiǎng， zhú jiàn dì qū xiàng yú tǎo lùn tā de tuò pū xìng zhì。
　　 fù biàn hán shù lùn zhōng yòng jǐ hé fāng fǎ lái shuō míng、 jiě jué wèn tí de nèi róng， yī bān jiào zuò jǐ hé hán shù lùn， fù biàn hán shù kě yǐ tōng guò gòng xíng yìng xiàng lǐ lùn wéi tā de xìng zhì tí gōng jǐ hé shuō míng。 dǎo shù chù chù bù shì líng de jiě xī hán shù suǒ shí xiàn de yìng xiàng jiù dōushì gòng xíng yìng xiàng， gòng xíng yìng xiàng yě jiào zuò bǎo jiǎo biàn huàn。 gòng xíng yìng xiàng zài liú tǐ lì xué、 kōng qì dòng lì xué、 tánxìng lǐ lùn、 jìng diàn chǎng lǐ lùn děng fāng miàn dū dé dào liǎo guǎng fàn de yìng yòng。
　　 liú shù lǐ lùn shì fù biàn hán shù lùn zhōng yī gè zhòng yào de lǐ lùn。 liú shù yě jiào zuò cán shù， tā de dìng yì bǐ jiào fù zá。 yìng yòng liú shù lǐ lùn duì yú fù biàn hán shù jī fēn de jì suàn bǐ qǐ xiàn jī fēn jì suàn fāng biàn。 jì suàn shí biàn hán shù dìng jī fēn， kě yǐ huà wéi fù biàn hán shù yán bì huí lù qū xiàn de jī fēn hòu， zài yòng liú shù jī běn dìng lǐ huà wéi bèi jī fēn hán shù zài bì hé huí lù qū xiàn nèi bù gū lì qí diǎn shàng qiú liú shù de jì suàn， dāng qí diǎn shì jí diǎn de shí hòu， jì suàn gèng jiā jiǎn jié。
　　 bǎ dān zhí jiě xī hán shù de yī xiē tiáo jiàn shìdàng dì gǎi biàn hé bǔ chōng， yǐ mǎn zú shí jì yán jiū gōng zuò de xū yào， zhè zhǒng jīng guò gǎi biàn de jiě xī hán shù jiào zuò guǎng yì jiě xī hán shù 。 guǎng yì jiě xī hán shù suǒ dài biǎo de jǐ hé tú xíng de biàn huà jiào zuò nǐ bǎo jiǎo biàn huàn。 jiě xī hán shù de yī xiē jī běn xìng zhì， zhǐ yào shāo jiā gǎi biàn hòu， tóng yàng shì yòng yú guǎng yì jiě xī hán shù 。
　　 guǎng yì jiě xī hán shù de yìng yòng fàn wéi hěn guǎng fàn， bù dàn yìng yòng zài liú tǐ lì xué de yán jiū fāng miàn， ér qiě xiàng bó ké lǐ lùn zhè yàng de gù tǐ lì xué bù mén yě zài yìng yòng。 yīn cǐ， jìn nián lái zhè fāng miàn de lǐ lùn fā zhǎn shí fēn xùn sù。
　　 cóng kē xī suàn qǐ， fù biàn hán shù lùn yǐ yòu 170 duō nián de lì shǐ liǎo。 tā yǐ qí wán měi de lǐ lùn yǔ jīng zhàn de jì qiǎo chéng wéi shù xué de yī gè zhòng yào zǔ chéng bù fēn。 tā céng jīng tuī dòng guò yī xiē xué kē de fā zhǎn， bìng qiě cháng cháng zuò wéi yī gè yòu lì de gōng jù bèi yìng yòng zài shí jì wèn tí zhōng， tā de jī chǔ nèi róng yǐ chéng wéi lǐ gōng kē hěn duō zhuān yè de bì xiū kè chéng。 xiàn zài， fù biàn hán shù lùn zhōng réng rán yòu bù shǎo shàng dài yán jiū de kè tí， suǒ yǐ tā jiāng jì xù xiàng qián fā zhǎn， bìng jiāng qǔ dé gèng duō yìng yòng。
　　upcase zì fú xíng shǐ xiǎo xiě yīng wén zì mǔ biàn wéi dà xiě zì fú xíng
　　downcase zì fú xíng shǐ dà xiě yīng wén zì mǔ biàn wéi xiǎo xiě zì fú xíng
jiē tī hán shù
　　xíng rú jiē tī de jù yòu wú qióng duō gè tiào yuè jiànduàn diǎn de hán shù .
　　 qí shí yě jiù shì fēn duàn hán shù
fǎn bǐ lì hán shù
　　biǎo dá shì wéi y＝ k／ x(k wéi cháng shù qiě k≠ 0,x≠ 0) de hán shù ， jiào zuò fǎn bǐ lì hán shù 。
　　 fǎn bǐ lì hán shù de qí tā xíng shì： y=k/x=k·1/x=kx-1
　　 fǎn bǐ lì hán shù de tè diǎn： y=k/x→ xy=k
　　 zì biàn liàng x de qǔ zhí fàn wéi shì bù děng yú 0 de yī qiē shí shù。
　　 fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng xìng zhì：
　　 fǎn bǐ lì hán shù de tú xiàng wéi shuāng qū xiàn。
　　 fǎn bǐ lì hán shù guān yú yuán diǎn zhōng xīn duìchèn， guān yú zuò biāo zhóu jiǎo píng fēn xiàn zhóu duìchèn， lìng wài， cóng fǎn bǐ lì hán shù de jiě xī shì kě yǐ dé chū， zài fǎn bǐ lì hán shù de tú xiàng shàng rèn qǔ yī diǎn， xiàng liǎng gè zuò biāo zhóu zuò chuí xiàn， zhè diǎn、 liǎng gè chuí zú jí yuán diǎn suǒ wéi chéng de jǔ xíng miàn jī shì dìng zhí， wéi ∣ k∣ , jí k de jué duì zhí。
　　 rú tú， shàng miàn gěi chū liǎo k fēn bié wéi zhèng hé fù（ 2 hé -2） shí de hán shù tú xiàng。
　　 dāng k> ０ shí， fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng de liǎng gè fēn zhī fēn bié zài yī， sān xiàng xiàn， yīn wéi zài tóng yī zhī fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng shàng， y suí x de zēng dà 'ér jiǎn xiǎo suǒ yǐ yòu chēng wéi jiǎn hán shù
　　 dāng k<０ shí， fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng tú xiàng de liǎng gè fēn zhī fēn bié zài 'èr， sì xiàng xiàn， yīn wéi zài tóng yī zhī fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng shàng， y suí x de zēng dà 'ér zēng dà suǒ yǐ yòu chēng wéi zēng hán shù
　　 cháng ruò bù zài tóng yī xiàng xiàn， zé gāng hǎo xiāng fǎn。
　　 yóu yú fǎn bǐ lì hán shù de zì biàn liàng hé yīn biàn liàng dōubù néng wéi 0， suǒ yǐ tú xiàng zhǐ néng wú xiàn xiàng zuò biāo zhóu kào jìn， wú fǎ hé zuò biāo zhóu xiāng jiāo。
　　 zhī shí diǎn：
　　1. guò fǎn bǐ lì hán shù tú xiàng shàng rèn yì yī diǎn zuò liǎng zuò biāo zhóu de chuí xiàn duàn， zhè liǎng tiáo chuí xiàn duàn yǔ zuò biāo zhóu wéi chéng de jǔ xíng de miàn jī wéi |k|。
　　2. duì yú shuāng qū xiàn y＝ k/x， ruò zài fēn mǔ shàng jiā jiǎn rèn yì yī gè shí shù m( jí y＝ k／ x（ x±m） m wéi cháng shù )， jiù xiāng dāng yú jiāng shuāng qū xiàn tú xiàng xiàng zuǒ huò yòu píng yí m gè dān wèi。（ jiā yī gè shù shí xiàng zuǒ píng yí， jiǎn yī gè shù shí xiàng yòu píng yí）
chéng xù shè jì zhōng de hán shù
　　xǔ duō chéng xù shè jì yǔ yán zhōng， kě yǐ jiāng yī duàn jīng cháng xū yào shǐ yòng de dài mǎ fēng zhuāng qǐ lái， zài xū yào shǐ yòng shí kě yǐ zhí jiē diào yòng， zhè jiù shì chéng xù zhōng de hán shù 。 bǐ rú zài C yǔ yán zhōng :
　　intmax(intx,inty)
　　{
　　return(x>y?x:y;);
　　}
　　 jiù shì yī duàn bǐ jiào liǎng shù dà xiǎo de hán shù ， hán shù yòu cān shù yǔ fǎn huí zhí。 C++ chéng xù shè jì zhōng de hán shù kě yǐ fēn wéi liǎng lèi： dài cān shù de hán shù hé bù dài cān shù de hán shù 。 zhè liǎng zhǒng cān shù de shēng míng、 dìng yì yě bù yī yàng。
　　 dài yòu（ yī gè） cān shù de hán shù de shēng míng：
　　 lèi xíng míng biāo shì fú + hán shù míng +（ lèi xíng biāo shì fú + cān shù）
　　{
　　}
　　 bù dài cān shù de hán shù de shēng míng：
　　void+ hán shù míng（）
　　{
　　}
　　 huā kuò hào nèi wéi hán shù tǐ。
　　 dài cān shù de hán shù yòu fǎn huí zhí， bù dài cān shù de méi yòu fǎn huí zhí。
　　C++ zhōng hán shù de diào yòng： hán shù bì xū shēng míng hòu cái kě yǐ bèi diào yòng。 diào yòng gé shì wéi： hán shù míng（ shí cān）
　　 diào yòng shí hán shù míng hòu de xiǎo kuò hào zhōng de shí cān bì xū hé shēng míng hán shù shí de hán shù kuò hào zhōng de xíng cān gè shù xiāng tóng。
　　 yòu fǎn huí zhí de hán shù kě yǐ jìn hángjì suàn， yě kě yǐ zuò wéi yòu zhí jìn xíng fù zhí。
　　#include<iostream>
　　usingnamespacestd;
　　intf1(intx,inty)
　　{intz;
　　returnx+y;
　　}
　　voidmain()
　　{cout<<f1(50,660)<<endl
　　}
　　C yǔ yán zhōng de bù fēn hán shù
　　main（ zhù hán shù ）
　　max（ qiú zuì dà shù de hán shù ）
　　scanf（ shū rù hán shù ）
　　printf（ shū chū hán shù ）
fù hé hán shù
　　dìng yì　 shè y=f(μ),μ=φ(x), dāng x zài μ=φ(x) de dìng yì yù Dφ zhōng biàn huà shí， μ=φ(x) de zhí zài y=f(μ) de dìng yì yù Df nèi biàn huà， yīn cǐ biàn liàng x yǔ y zhī jiān tōng guò biàn liàng μ xíng chéng de yī zhǒng hán shù guān xì， jì wéi
　　y=f(μ)=f[φ(x)] chēng wéi fù hé hán shù ， qí zhōng x chēng wéi zì biàn liàng， μ wéi zhōng jiān biàn liàng， y wéi yīn biàn liàng ( jí hán shù )
No. 28
　　shēng chéng tiáo jiàn bù shì rèn hé liǎng gè hán shù dōukě yǐ fù hé chéng yī gè fù hé hán shù ， zhǐ yòu dāng μ=φ(x) de zhí yù Zφ hé y=f(μ) de dìng yì yù Df de jiāo jí bùwèi kōng jí shí， èr zhě cái kě yǐ fù hé chéng yī gè fù hé hán shù 。
　　 dìng yì yù ruò hán shù y=f(u) de dìng yì yù shì B ﹐ hán shù u=g(x) de dìng yì yù shì A﹐ zé fù hé hán shù y=f[g(x)] de dìng yì yù shì
　　D={x|x∈ A, qiě g(x)∈ B}
　　 zhōu qī xìng shè y=f(x), de zuì xiǎo zhèng zhōu qī wéi T1， μ=φ(x） de zuì xiǎo zhèng zhōu qī wéi T2， zé y=f(μ) de zuì xiǎo zhèng zhōu qī wéi T1*T2， rèn yī zhōu qī kě biǎo shì wéi k*T1*T2（ k shǔ yú R+）
　　 zēng jiǎn xìng yǐ y=f(x),μ=φ(x) de zēng jiǎn xìng jué dìng。 jí“ zēng zēng dé zēng， jiǎn jiǎn dé zēng， zēng jiǎn dé jiǎn”， kě yǐ jiǎn huà wéi“ tóng zēng yì jiǎn”
　　 pàn duàn fù hé hán shù de dān diào xìng de bù zhòu rú xià： (1) qiú fù hé hán shù dìng yì yù； (2) jiāng fù hé hán shù fēn jiě wéi ruò gān
　　 gè cháng jiàn hán shù ( yī cì、 èr cì、 mì、 zhǐ、 duì hán shù )； (3) pàn duàn měi gè cháng jiàn hán shù de dān diào xìng； (4) jiāng zhōng jiān
　　 biàn liàng de qǔ zhí fàn wéi zhuǎn huà wéi zì biàn liàng de qǔ zhí fàn wéi； (5) qiú chū fù hé hán shù de dān diào xìng。
　　 lì rú： tǎo lùn hán shù y=0.8^(x2-4x+3) de dān diào xìng。
　　 jiě： hán shù dìng yì yù wéi R。
　　 lìng u=x2-4x+3， y=0.8^u。
　　 zhǐ shù hán shù y=0.8^u zài (-∞， +∞ ) shàng shì jiǎn hán shù ，
　　u=x2-4x+3 zài (-∞， 2] shàng shì jiǎn hán shù ， zài [2， +∞ ) shàng shì zēng hán shù ，
　　∴ hán shù y=0.8^(x2-4x+3) zài (-∞， 2] shàng shì zēng hán shù ， zài [2， +∞ ) shàng shì jiǎn hán shù 。
　　 lì yòng fù hé hán shù qiú cān shù qǔ zhí fàn wéi
　　 qiú cān shù de qǔ zhí fàn wéi shì yī lèi zhòng yào wèn tí， jiě tí guān jiàn shì jiàn lì guān yú zhè gè cān shù de bù děng shì zǔ， bì xū
　　 jiāng yǐ zhī de suǒ yòu tiáo jiàn jiā yǐ zhuǎn huà。
bǎi kē cí diǎn
　　hanshu
　　 hán shù
　　function
　　　　 shù xué de jī chǔ gài niàn zhī yī。 zài wù zhì shì jiè lǐ cháng cháng shì yī xiē liàng yǐ lài yú lìng yī xiē liàng， jí yī xiē liàng de zhí suí lìng yī xiē liàng de zhí què dìng 'ér què dìng。 hán shù jiù shì zhè lèi yǐ lài guān xì de yī zhǒng shù xué gài kuò。
　　　　 shè □ shì yī fēi kōng de shí shù jí ,□ shì mǒu yī guī zé。 rú guǒ duì měi yī gè shù□□□□□，□ wéi yī dì què dìng chū yī gè xiāng duì yìng de shí shù□ (□ )， zé chēng□ wéi dìng yì yú□ shàng de yī gè hán shù ， jí□ chēng wéi hán shù de dìng yì yù。 shù□ (□ ) chēng wéi hán shù zài□ de hán shù zhí， quán tǐ hán shù zhí de jí М={□ (□ )|□□□□□ }=□ (□ ) chēng wéi hán shù de zhí yù。 yī bān， yóu guī zé□ zài□ shàng dìng yì de hán shù yòng jì hào
　　　　□ :□→ М biǎo shì , yě cháng cháng jiǎn dān dì jì zuò□。 hán shù □ :□→ М shì cóng jí□ dào jí М shàng de yìng shè。
　　　　 hán shù dìng yì yù□ de yī xiē zuì jiǎn dān qíng xíng kě yǐ shì zhěng gè shù zhóu , jí quán tǐ shí shù de jí□； yě kě yǐ shì shù zhóu shàng de mǒu gè bì qū jiān [□，□ ]={□ |□≤□≤□ } huò kāi qū jiān (□ ,□ )={□ |□　　 hán shù jì hào□ :□→ М zhǔn què dì biǎo xiàn liǎo hán shù gài niàn de nèi hán。 dàn shì rén men xū yào néng jiǎn biàn biǎo shì hán shù de qí tā fāng fǎ。 mù qián kē xué zhù zuò zhōng bǐ jiào liú xíng de zuò fǎ shì yǔn xǔ bǎ hán shù □ :□→ М jì zuò□ (□ )(□□□ ) huò zhě gèng jiǎn dān dì jì zuò□ (□ )（ rú guǒ dìng yì yù D shì bù xiě zì míng de）。 lì rú： duì yī qiē shí shù□， guī zé□ (□ )=2□ 3-1 jiāng dìng yì chū yī gè hán shù □ :□→□ , tōng cháng rén men jiù bǎ tā jì zuò 2□ 3-1(□□□□□ ) huò zhě 2□ 3-1。 yán gé shuō lái , zhè yàng zuò shì yòu quē xiàn de， yīn wéi tā duō shǎo hùn xiáo liǎo hán shù □ yǔ shù（ hán shù zhí）□ (□ )。 bù guò tā réng rán bèi guǎng fàn cǎi yòng。
　　　　 shè gěi dìng rèn yī hán shù □ :□→ М。 rú guǒ lìng□ shì yī gè yǐ□ wéi biàn yù de biàn liàng（ bù zài xiàng qián miàn nà yàng biǎo shì□ zhōng de mǒu yī gè shù）， lìng□ shì yī gè yǐ М wéi biàn yù de biàn liàng， nà me , hán shù □ xiǎn shì de shì： duì yú biàn liàng□ zài□ nèi suǒ qǔ de měi yī gè zhí， tōng guò□ néng gěi biàn liàng□ zài М nèi wéi yī dì què dìng chū yī gè duì yìng zhí。 yóu cǐ kě jiàn， biàn liàng□ tōng guò□ biǎo xiàn chū duì biàn liàng□ de yī zhǒng yǐ lài guān xì， ér hán shù □ zé shì zhè zhǒng yǐ lài guān xì de shù xué biǎo dá。
　　　　 zài gěi hán shù gài niàn tiān jiā shàng biàn liàng zhè yī céng hán yì de shí hòu， zǒng bǎ yǐ hán shù dìng yì yù□ wéi biàn yù de biàn liàng jiào zuò hán shù de zì biàn liàng , bǎ yǐ hán shù zhí yù М wéi biàn yù de biàn liàng jiào zuò hán shù de yīn biàn liàng。 yú shì zài shàng miàn de zuò fǎ zhōng，□ shì zì biàn liàng，□ shì yīn biàn liàng。“ biàn liàng□ tōng guò hán shù □ yǐ lài yú□” zhè gè shì shí yě cháng cháng bèi jiǎn dān dì shuō chéng“ biàn liàng□ shì biàn liàng□ de□ hán shù ”， bìng qiě yòng□ =□ (□ ) zhè zhǒng děng shì xíng shì de jì hào lái jiā yǐ biǎo shì。
　　　　 bǎ hán shù lǐ jiě chéng biàn liàng jiān de yǐ lài guān xì， fēng fù liǎo rén men duì zhè gè chōu xiàng shù xué gài niàn de zhí jué lián xiǎng。 dàn zhè bìng bù sī háo gǎi biàn hán shù de běn zhì nèi róng。 tè bié shuō lái， yòng shénme míng chēng lái chēng hū yī gè hán shù de biàn liàng shì wú guān jǐn yào de。 jì hào□ =□ (□ )(□□□□□ ) hé□ =□ (□ )(□□□□□ ) zài shù xué shàng biǎo shì de shì tóng yī gè hán shù □ :□→ М。
　　　　 hán shù de tú xiàng　 duì rèn yì yī gè hán shù □ =□ (□ )(□□□□□ )， rú guǒ bǎ□ zhōng de rèn yì yī gè shù□ yǔ tā de duì yìng shù□ (=□ (□ )) zǔ chéng yī gè yòu xù shù duì (□ ,□ )， xiāng yìng dì biàn zài zuò biāo píng miàn□□□ shàng dé dào yī diǎn□ (□ ,□ )。 píng miàn shàng suǒ yòu zhè zhǒng diǎn（ shù duì） de jí
　　　　□ ={(□ ,□ )|□□□□□ ,□ =□ (□ )} chēng wéi hán shù □ de tú xiàng（ tú 1 hán shù de tú xiàng shì lì）。 yóu hán shù dìng yì , jí□ jù yòu xià shù xìng zhì： ruò (□ ,□ ),(□ ,□ ) dū shǔ yú□， zé□ =□， jiù shì shuō ,□ bù hán yòu dì yī gè zuò biāo（ dì yī gè shù） xiāng tóng dàn xiāng yì de diǎn（ shù duì）。 cóng zhè yī xìng zhì chū fā , rú guǒ gěi dìng liǎo jí□， nà me hán shù běn shēn（ dìng yì yù hé duì yìng guī zé） yě jiù suí zhī wán quán què dìng。 suǒ yǐ， měi yī gè hán shù dōukě yǐ dìng yì wéi mǒu yī gè jù yòu shàng shù xìng zhì de diǎn（ yòu xù shù duì） zhī jí。
　　　　 yī qiē suǒ wèi de jī běn chū děng hán shù , bāo kuò cháng zhí hán shù □ =□ ( cháng shù )， mì hán shù □ =□□， zhǐ shù hán shù □ =□□， duì shù hán shù □ =log□□， sān jiǎo hán shù □ =sin□，…， fǎn sān jiǎo hán shù □ =arcsin□，… děng děng de tú xiàng， dōukě yǐ yòng tōng cháng de huì tú gōng jù bǐ jiào mǎn yì dì huà chū， tā men gè xíng chéng píng miàn shàng de yī tiáo huò zhě duō tiáo qū xiàn（ tú 2 hán shù □ =□□ de tú xiàng、 tú 3 hán shù □ =□□ (□ >1)、□ =log□□ de tú xiàng、 tú 4 hán shù □ =sin□、□ =arcsin□ de tú xiàng、 tú
yīngwénjièshì
  1. :  Han Shu
  2. n.:  function,  functions,  zeta-function of algebra,  quantity whose value depends on the varying values of others
fǎwénjièshì
  1. n.  fonction (mathématique)
xiàngguāncí
dosc yǔ yán wǎng luò wǎng luò xié yì bù děng shì shù xué zhèng míng gāo děng shù xué
bǎi kē dà quán yǔ zhòu xué wù lǐ liàng zǐ lì xué bǎi kē cí diǎn wù lǐ bǎi kē jì suàn jī biān chéng
PB dēng mí jiě xī shì dài shù zhōng xué shù xué fēn xī xué xiàn dài shù xué tuò pū xiàn xìng kōng jiān
jī běn chū děng hán shù shuāng qū hán shù wēi jī fēn jí hé lùn dài shù xué jìn shì dài shù gèng duō jiēguǒ ...
bāo hán cí
hán shù fL hán shùB hán shùc hán shùO hán shù
quán hán shùlèi hán shùxiǎn hán shùjīhánshùzhěng hán shù