| | 1976 nián de yī tiān，《 huá shèng dùn yóu bào》 yú tóu bǎn tóu tiáo bào dào liǎo yī tiáo shù xué xīn wén。 wén zhōng jì xù liǎo zhè yàng yī gè gù shì：
70 nián dài zhōng qī， měi guó gè suǒ míng pái dà xué xiào yuán nèi， rén mendōu xiàng fā fēng yī bān， yè yǐ jì rì， fèi qǐn wàng shí dì wán nòng yī zhǒng shù xué yóu xì。 zhè gè yóu xì shí fēn jiǎn dān： rèn yì xiě chū yī gè zì rán shù n， bìng qiě 'àn zhào yǐ xià de guī lǜ jìn xíng biàn huàn：
rú guǒ shì gè jīshù， zé xià yī bù biàn chéng 3n+1。
rú guǒ shì gè 'ǒu shù， zé xià yī bù biàn chéng n/2。
bù dān dān shì xué shēng， shèn zhì lián jiào shī、 yán jiū yuán、 jiào shòu yǔ xué jiū dū fēn fēn jiā rù。 wèishénme zhè zhǒng yóu xì de mèi lì jīng jiǔ bù shuāi？ yīn wéi rén men fā xiàn， wú lùn n shì zěn yàng yī gè shù zì， zuì zhōng dōuwú fǎ táo tuō huí dào gǔ dǐ 1。 zhǔn què dì shuō， shì wú fǎ táo chū luò rù dǐ bù de 4-2-1 xún huán， yǒng yuǎn yě táo bù chū zhè yàng de sù mìng。
rú guǒ cóng 2n chū fā， bù lùn n rú hé páng dà， jiù xiàng pù bù yī yàng xùn sù zhuì luò。 ér qí tā de shù zì jí shǐ bù shì rú cǐ， zài jīng guò ruò gān cì de biàn huàn zhī hòu yě bì rán huì dào 4-2-1 de xún huán。 jù rì běn hé měi guó de shù xué jiā gōng guān yán jiū， zài xiǎo yú 7*1011 de suǒ yòu de zì rán shù， dū fú hé zhè gè guī lǜ。
zhè jiù shì zhù míng de “ bīng báo cāi xiǎng ”。 tā shì yóu chén jǐng rùn tí chū de .
bīng báo de zuì dà mèi lì zài yú bù kě yù zhī xìng。 yīng guó jiàn qiáo dà xué jiào shòu johnconway zhǎo dào liǎo yī gè zì rán shù 27。 suī rán 27 shì yī gè mào bù jīng rén de zì rán shù， dàn shì rú guǒ 'àn zhào shàng shù fāng fǎ jìn xíng yùn suàn， zé tā de shàng fú xià chén yì cháng jù liè： shǒu xiān， 27 yào jīng guò 77 bù zhòu de biàn huàn dào dá dǐng fēng zhí 9232， rán hòu yòu jīng guò 32 bù zhòu dào dá gǔ dǐ zhí 1。 quán bù de biàn huàn guò chéng（ chēng zuò“ báo chéng”） xū yào 111 bù， qí dǐng fēng zhí 9232， dá dào liǎo yuán yòu shù zì 27 de 342 bèi duō， rú guǒ yǐ pù bù bān de zhí xiàn xià luò（ 2 de n cì fāng） lái bǐ jiào， zé jù yòu tóng yàng báo chéng de shù zì n yào dá dào 2 de 111 cì fāng。 qí duì bǐ hé qí jīng rén！
dàn shì zài 1 dào 100 de fàn wéi nèi， xiàng 27 zhè yàng de jù liè bō dòng shì méi yòu de（ 54 chú wài， tā hé 27 zhǐ yòu yī bù zhī yáo）。
jīng guò yóu xì de yàn zhèng guī lǜ， rén men fā xiàn jǐn jǐn zài jiān jù 4k hé 3m+1（ k,m wéi zì rán shù） chù de shù zì cái néng chǎn shēng bīng báo cāi xiǎng zhōng“ shù” de fēn chā。 suǒ yǐ zài bīng báo shù zhōng， 16 chù shì dì yī chù fēn chā， rán hòu shì 64 …… yǐ hòu měi gé yī jié， chǎn shēng chū yī zhī xīn de zhī liú。
zì cóng conway fā xiàn liǎo shén qí de 27 zhī hòu， yòu zhuān jiā zhǐ chū， 27 zhè gè shù zì bì dìng zhǐ néng yóu 54 biàn lái， 54 yòu bì rán cóng 108 biàn lái， suǒ yǐ， 27 zhī shàng， kěn dìng kě yǐ chū xiàn bù yà yú 2n de qiáng dà zhī liú héng héng 33*2n(n=1， 2， 3…… )， rán 'ér， 27 dào 4-2-1 shù liè hé běn liú 2 dào 4-2-1 shù liè yào yáo yuǎn de duō。 àn zhào jī xiè wéi wù lùn de guān diǎn， cóng 27 kāi shǐ nì liú 'ér shàng de shù liè qún cái néng jiào zuò běn yuán， jìn guǎn rú cǐ， àn zhào“ zhí xiàn xià xiè” de guān diǎn， yī bān yǐ rán bǎ 1-2-4-8…… 2n de zhè yī zhī kàn zuò shì“ gànliú”。
tú lùn zhuān jiā jù cǐ chǎn shù liǎo yī zhǒng dú tè de fāng fǎ： bǎ shù liè qún bǐ zuò shì yī kē shù， 4-2-1 shù liè shì lián lǐ zhī， zhì yú shàng miàn de fēn zhī gòu chéng liǎo yī gè qí miào de shù liè tōng lù， bāo hán liǎo suǒ yòu de zì rán shù。 dàn shì fēi cháng kě xī de shì， zhè gè lǐ lùn zhì jīn yě méi yòu rén kě yǐ zhèng míng。 suǒ yǐ“ bīng báo cāi xiǎng ” hái shì shù xué huáng guān shàng yī kē shàng wèi jiàn bié de bǎo zhū。 | | 1976 nián de yī tiān，《 huá shèng dùn yóu bào》 yú tóu bǎn tóu tiáo bào dào liǎo yī tiáo shù xué xīn wén。 wén zhōng jì xù liǎo zhè yàng yī gè gù shì：
70 nián dài zhōng qī， měi guó gè suǒ míng pái dà xué xiào yuán nèi， rén mendōu xiàng fā fēng yī bān， yè yǐ jì rì， fèi qǐn wàng shí dì wán nòng yī zhǒng shù xué yóu xì。 zhè gè yóu xì shí fēn jiǎn dān： rèn yì xiě chū yī gè zì rán shù N， bìng qiě 'àn zhào yǐ xià de guī lǜ jìn xíng biàn huàn：
rú guǒ shì gè jīshù， zé xià yī bù biàn chéng 3N+1。
rú guǒ shì gè 'ǒu shù， zé xià yī bù biàn chéng N/2。
bù dān dān shì xué shēng， shèn zhì lián jiào shī、 yán jiū yuán、 jiào shòu yǔ xué jiū dū fēn fēn jiā rù。 wèishénme zhè zhǒng yóu xì de mèi lì jīng jiǔ bù shuāi？ yīn wéi rén men fā xiàn， wú lùn N shì zěn yàng yī gè shù zì， zuì zhōng dōuwú fǎ táo tuō huí dào gǔ dǐ 1。 zhǔn què dì shuō， shì wú fǎ táo chū luò rù dǐ bù de 4-2-1 xún huán， yǒng yuǎn yě táo bù chū zhè yàng de sù mìng。
rú guǒ cóng 2n chū fā， bù lùn n rú hé páng dà， jiù xiàng pù bù yī yàng xùn sù zhuì luò。 ér qí tā de shù zì jí shǐ bù shì rú cǐ， zài jīng guò ruò gān cì de biàn huàn zhī hòu yě bì rán huì dào 4-2-1 de xún huán。 jù rì běn hé měi guó de shù xué jiā gōng guān yán jiū， zài xiǎo yú 7*1011 de suǒ yòu de zì rán shù， dū fú hé zhè gè guī lǜ。
zhè jiù shì zhù míng de“ bīng báo cāi xiǎng ”。
bīng báo de zuì dà mèi lì zài yú bù kě yù zhī xìng。 yīng guó jiàn qiáo dà xué jiào shòu JohnConway zhǎo dào liǎo yī gè zì rán shù 27。 suī rán 27 shì yī gè mào bù jīng rén de zì rán shù， dàn shì rú guǒ 'àn zhào shàng shù fāng fǎ jìn xíng yùn suàn， zé tā de shàng fú xià chén yì cháng jù liè： shǒu xiān， 27 yào jīng guò 77 bù zhòu de biàn huàn dào dá dǐng fēng zhí 9232， rán hòu yòu jīng guò 32 bù zhòu dào dá gǔ dǐ zhí 1。 quán bù de biàn huàn guò chéng（ chēng zuò“ báo chéng”） xū yào 111 bù， qí dǐng fēng zhí 9232， dá dào liǎo yuán yòu shù zì 27 de 342 bèi duō， rú guǒ yǐ pù bù bān de zhí xiàn xià luò（ 2 de N cì fāng） lái bǐ jiào， zé jù yòu tóng yàng báo chéng de shù zì N yào dá dào 2 de 111 cì fāng。 qí duì bǐ hé qí jīng rén！
dàn shì zài 1 dào 100 de fàn wéi nèi， xiàng 27 zhè yàng de jù liè bō dòng shì méi yòu de（ 54 chú wài， tā hé 27 zhǐ yòu yī bù zhī yáo）。
jīng guò yóu xì de yàn zhèng guī lǜ， rén men fā xiàn jǐn jǐn zài jiān jù 4k hé 3m+1（ k,m wéi zì rán shù） chù de shù zì cái néng chǎn shēng bīng báo cāi xiǎng zhōng“ shù” de fēn chā。 suǒ yǐ zài bīng báo shù zhōng， 16 chù shì dì yī chù fēn chā， rán hòu shì 64…… yǐ hòu měi gé yī jié， chǎn shēng chū yī zhī xīn de zhī liú。
zì cóng Conway fā xiàn liǎo shén qí de 27 zhī hòu， yòu zhuān jiā zhǐ chū， 27 zhè gè shù zì bì dìng zhǐ néng yóu 54 biàn lái， 54 yòu bì rán cóng 108 biàn lái， suǒ yǐ， 27 zhī shàng， kěn dìng kě yǐ chū xiàn bù yà yú 2n de qiáng dà zhī liú héng héng 33*2n(n=1， 2， 3…… )， rán 'ér， 27 dào 4-2-1 shù liè hé běn liú 2 dào 4-2-1 shù liè yào yáo yuǎn de duō。 àn zhào jī xiè wéi wù lùn de guān diǎn， cóng 27 kāi shǐ nì liú 'ér shàng de shù liè qún cái néng jiào zuò běn yuán， jìn guǎn rú cǐ， àn zhào“ zhí xiàn xià xiè” de guān diǎn， yī bān yǐ rán bǎ 1-2-4-8…… 2n de zhè yī zhī kàn zuò shì“ gànliú”。
tú lùn zhuān jiā jù cǐ chǎn shù liǎo yī zhǒng dú tè de fāng fǎ： bǎ shù liè qún bǐ zuò shì yī kē shù， 4-2-1 shù liè shì lián lǐ zhī， zhì yú shàng miàn de fēn zhī gòu chéng liǎo yī gè qí miào de shù liè tōng lù， bāo hán liǎo suǒ yòu de zì rán shù。 dàn shì fēi cháng kě xī de shì， zhè gè lǐ lùn zhì jīn yě méi yòu rén kě yǐ zhèng míng。 suǒ yǐ“ bīng báo cāi xiǎng ” hái shì shù xué huáng guān shàng yī kē shàng wèi jiàn bié de bǎo zhū。
yòu chēng wéi jiǎo gǔ cāi xiǎng， yīn wéi shì yī gè míng jiào jiǎo gǔ de rì běn rén bǎ tā chuán dào zhōng guó
shù xué de cāi xiǎng .
duì yú rèn hé yī gè zì rán shù A,
(1)a. rú guǒ A wéi 'ǒu shù , jiù chú yǐ 2
b. rú guǒ A wéi jīshù , jiù chéng yǐ 3 jiā shàng 1
dé shù jì wéi B
(2) jiāng B dài rù A chóngxīn jìn xíng (1) de yùn suàn
ruò gān bù hòu , dé shù wéi 1.
zhè gè cāi xiǎng , mù qián méi yòu fǎn lì , yě méi yòu zhèng míng .
dàn yě yòu xǔ duō rén céng jīng cháng shì qù qiú zhèng zhè gè wèn tí：
zuì jiǎn dān de zhèng míng jiǎo gǔ（ 3n+1） cāi xiǎng de fāng fǎ
yīn wéi rèn hé 'ǒu shù dōunéng biàn chéng 2^a huò yī gè jīshù chéng 2^b。 qián zhě zài bù tíng de chú yǐ 2 zhī hòu bì dìng wéi 1， yīn wéi tā men zhǐ yòu zhì yīn shù 2。 ér hòu zhě zé zhǐ néng shèng xià yī gè jīshù， wǒ men kě yǐ bǎ 'ǒu shù fàng zài yī biān bù tán。
xiàn zài zhǐ shèng xià jīshù liǎo。
wǒ men jiǎ shè yī gè jīshù m， dāng tā jìn xíng yùn suàn shí， biàn chéng 3m+1。 rú guǒ zhè gè cāi xiǎng shì cuò wù de huà， nà me jiù yòu（ 3m+1） /2^c ＝ m， qiě m bù děng yú 1。 wǒ men cháng shì yī xià：
dāng c＝ 1 shí， 3m+1＝ 2m，，， m＝ -1， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 2 shí， 3m+1＝ 4m，，， m＝ 1， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 3 shí， 3m+1＝ 8m，，， m＝ 0.2， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 4 shí， 3m+1＝ 16m，，， m＝ 1/13， bù fú hé， shè qù；
……………………
kě jiàn， néng tuī fān jiǎo gǔ cāi xiǎng de shù zhǐ zài 1 huò yǐ xià de fàn wéi， suǒ yǐ méi yòu shù néng tuī fān zhè gè cāi xiǎng， suǒ yǐ zhè gè cāi xiǎng shì zhèng què de。
hái yòu yī zhǒng
běn wén yìng yòng 'èr xiàng shì dìng lǐ， zhèng míng liǎo jiǎo gǔ cāi xiǎng（ 3n+1） shì chéng lì de。
jiè shào
cóng rèn hé yī gè zhèng zhěng shù kāi shǐ， lián xù jìn xíng rú xià yùn suàn：
ruò shì jīshù， jiù bǎ zhè gè shù chéng yǐ 3 zài jiā 1； ruò shì 'ǒu shù， jiù bǎ zhè gè shù chú yǐ 2。 yī zhí 'àn zhè gè guī zé suàn xià qù， dào zuì hòu yī dìng huì chū xiàn 4、 2、 1 de xún huán。
bǐ rú， yào shì cóng 1 kāi shǐ， jiù kě yǐ dé dào 1 → 4→ 2→ 1； yào shì cóng 17 kāi shǐ， zé kě yǐ dé dào 17→ 52→ 26→ 13→ 40→ 20→ 10→ 5→ 16→ 8→ 4→ 2→ 1。 zì rán dì， yòu rén kě néng huì wèn： shì bù shì měi yī gè zhèng zhěng shù 'àn zhè yàng de guī zé yǎn suàn xià qù dōunéng dé dào 1 ní？ zhè gè wèn tí jiù shì xù lā gǔ cāi xiǎng， yě jiào kē lā cí cāi xiǎng huò jiǎo gǔ cāi xiǎng。
zhèng míng
yīn wéi rèn yī 'ǒu shù 2m chú yǐ 2， dào zuì hòu yī dìng huì shì yī gè jīshù (2m+1)， yīn cǐ zhèng míng zhǐ xū zhèng míng duì yú měi yī gè jīshù 'àn zhè yàng de guī zé yǎn suàn xià qù dōunéng dé dào 1， jiǎo gǔ cāi xiǎng jiù chéng lì。
gēn jù 'èr xiàng shì dìng lǐ：
kě dé dào：
dāng shì n jīshù， n=2m+1 shí，
gēn jù dài shù héng děng shì：
kě dé dào：
ér yīn cǐ lìng dé dào :
jí rèn hé yī gè jīshù (2m+1) tōng guò chéng yǐ 3 zài jiā 1{} hé chú yǐ 2{} liǎng zhǒng yùn suàn dōunéng dé dào yī gè xíng rú de 'ǒu shù， ér xíng rú de 'ǒu shù tōng guò chú yǐ 2 zuì hòu dōunéng dé dào 1。
jié lùn
jiǎo gǔ cāi xiǎng（ 3n+1） shì chéng lì de， shì shí shàng， jí shǐ shì 'ǒu shù tōng guò chéng yǐ 3 zài jiā 1 hé chú yǐ 2 liǎng zhǒng yùn suàn zuì hòu dōunéng dé dào 1。
lì rú， cóng 4 kāi shǐ， bǎ 4 chéng yǐ 3 zài jiā 1， kě yǐ dé dào
4→ 13→ 40→ 20→ 10→ 5→ 16→ 8→ 4→ 2→ 1，
cóng 6 kāi shǐ， bǎ 6 chéng yǐ 3 zài jiā 1， kě yǐ dé dào
6→ 19→ 58→ 29→ 88→ 44→ 22→ 11→ 34→ 17→ 52→ 26→ 13→ 40→ 20→ 10→ 5→ 16→ 8→ 4→ 2→ 1
wǒ bù gǎn gǒu tóng yǐ xià zhè zhǒng suǒ wèi de zhèng míng：
“ wǒ men jiǎ shè yī gè jīshù m， dāng tā jìn xíng yùn suàn shí， biàn chéng 3m+1。 rú guǒ zhè gè cāi xiǎng shì cuò wù de huà， nà me jiù yòu（ 3m+1） /2^c＝ m， qiě m bù děng yú 1。 wǒ men cháng shì yī xià：
dāng c＝ 1 shí， 3m+1＝ 2m，，， m＝ -1， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 2 shí， 3m+1＝ 4m，，， m＝ 1， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 3 shí， 3m+1＝ 8m，，， m＝ 0.2， bù fú hé， shè qù；
dāng c＝ 4 shí， 3m+1＝ 16m，，， m＝ 1/13， bù fú hé， shè qù；
。。。。。。
kě jiàn， néng tuī fān jiǎo gǔ cāi xiǎng de shù zhǐ zài 1 huò yǐ xià de fàn wéi， suǒ yǐ méi yòu shù néng tuī fān zhè gè cāi xiǎng， suǒ yǐ zhè gè cāi xiǎng shì zhèng què de。”
yào zhī dào（ 3m+1） /2^c＝ m zhè gè děng shì zuǒ yòu liǎng biān de m shì bù yī yàng de， suī rán liǎng gè m dōushì jīshù， dàn cǐ m fēi bǐ m， nǐ wú fēi jiù shì xiǎng shuō yī gè jīshù chéng yǐ 3 zài jiā 1 bì dìng kě yǐ bèi 2 de n cì fāng chú jìn， dāng rán n dào dǐ shì duō dà yào kàn shí jì qíng kuàng 'ér dìng。 bù xìn dà jiā kě yǐ shì yī shì， zuǒ biān dài rù rèn yì jīshù m， yòu biān dé chū de m jué dà duō shù dōushì gēn zuǒ biān dài rù rèn yì jīshù m bù tóng de。 hái yòu jiù shì zhè gè zhèng míng míng xiǎn cún zài qián hòu máo dùn， qián miàn jiǎ shè yī gè jīshù m， hòu miàn què dé chū m＝ 0.2、 m＝ 1/13 zhè yàng de jiēguǒ， nán dào 0.2、 1/13 zhè xiē jiù shì suǒ wèi de jīshù？ lián liǎng gè m dū fēn bù qīng， gèng hé kuàng shì zhèng míng ní？ dà jiā bù yào zài fàn zhè yàng de dī jí cuò wù liǎo yā， jiǎo tà shí dì cái shì zhēn。
jiǎo gǔ cāi xiǎng de yī gè tuī guǎng
jiǎo gǔ cāi xiǎng yòu jiào xù gǔ lā cāi xiǎng。 tā de yī gè tuī guǎng shì kè lā cí wèn tí， xià miàn jiǎn yào shuō shuō zhè gè wèn tí：
50 nián dài kāi shǐ , zài guó jì shù xué jiè guǎng fàn liú xíng zhe zhè yàng yī gè qí guài yòu qù de shù xué wèn tí : rèn yì gěi dìng yī gè zì rán shù x, rú guǒ shì 'ǒu shù , zé biàn huàn chéng x/2, rú guǒ shì jīshù , zé biàn huàn chéng 3x+1. cǐ hòu , zài duì dé shù jì xù jìn xíng shàng shù biàn huàn . lì rú x=52, kě yǐ lù xù dé chū 26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1. rú guǒ zài zuò xià qù jiù dé dào xún huán :
(4,2,1). zài shì qí tā de zì rán shù yě huì dé chū xiāng tóng de jiēguǒ . zhè gè jiào zuò xù gǔ lā cāi xiǎng .
shàng shù biàn huàn , shí jì shàng shì jìn xíng xià liè hán shù de dié dài
{x/2(x shì 'ǒu shù )
C(x)=
3x+1(x shì jīshù )
wèn tí shì , cóng rèn yì yī gè zì rán shù kāi shǐ , jīng guò yòu xiàn cì hán shù C dié dài , néng fǒu zuì zhōng dé dào xún huán (4,2,1), huò zhě děng jià dì shuō , zuì zhōng dé dào 1? jù shuō kè lā cí (L.Collatz) zài 1950 nián zhào kāi de yī cì guó jì shù xué jiā dà huì shàng tán qǐ guò , yīn 'ér xǔ duō rén chēng zhī wéi kè lā cí wèn tí . dàn shì hòu lái yě yòu xǔ duō rén dú lì dì fā xiàn guò tóng yī gè wèn tí , suǒ yǐ , cóng cǐ yǐ hòu yě xǔ wèile bì miǎn yǐn qǐ wèn tí de guī shǔ zhēng yì , xǔ duō wén xiàn chēng zhī wéi 3x+1 wèn tí .
kè lā cí wèn tí xī yǐn rén zhī chù zài yú C dié dài guò chéng zhōng yī dàn chū xiàn 2 de mì , wèn tí jiù jiě jué liǎo , ér 2 de mì yòu wú qióng duō gè , rén men rèn wéi zhǐ yào dié dài guò chéng chí xù zú gòu cháng , bì dìng huì pèng dào yī gè 2 de mì shǐ wèn tí yǐ kěn dìng xíng shì dé dào jiě jué . zhèng shì zhè zhǒng xìn niàn shǐ dé wèn tí měi dào yī chù , biàn zài nà lǐ xiān qǐ yī gǔ "3x+1 wèn tí " kuáng rè , bù lùn shì dà xué hái shì yán jiū jī gòu dōubù tóng chéng dù dì juǎnrù zhè yī wèn tí . xǔ duō shù xué jiā kāi shǐ xuán shǎng zhēng jiě , yòu de 500 měi yuán , yòu de 1000 yīng bàng .
rì běn dōng jīng dà xué de mǐ tián xìn fū yǐ jīng duì 240 dà yuē shì 11000 yì yǐ xià de zì rán shù zuò liǎo jiǎn yàn .1992 nián lǐ wén sī (G.T.Leavens) hé fú mù lán (M.Vermeulen) yǐ jīng duì 5.6*1013 de zì rán shù jìn xíng liǎo yàn zhèng , jūn wèi fā xiàn fǎn lì . tí yì rú cǐ qīng xī , míng liǎo , jiǎn dān , lián xiǎo xué shēng dōunéng kàn dǒng de wèn tí , què nán dào liǎo 20 shì jì xǔ duō dà shù xué jiā . zhù míng xué zhě gài yī (R.K.Guy) zài jiè shào zhè yī shì jiè nán tí de shí hòu , jìng rán guànyǐ " bù yào shì tú qù jiě jué zhè xiē wèn tí " wéi biāo tí . jīng guò jǐ shí nián de tàn suǒ yǔ yán jiū , rén men sì hū jiē shòu liǎo dà shù xué jiā 'è tè xī (P.Erdos) de shuō fǎ :" shù xué hái méi yòu chéng shú dào zú yǐ jiě jué zhè yàng de wèn tí !" yòu rén tí yì jiāng 3x+1 wèn tí zuò wéi xià yī gè fèi 'ěr mǎ wèn tí .
xià miàn shì wǒ duì kè lā cí wèn tí de chū bù yán jiū jiēguǒ , zhǐ shì fā xiàn liǎo yī diǎn diǎn guī lǜ , jù lí jiě jué hái hěn yáo yuǎn .
kè lā cí mìng tí : shè n ∈ N, bìng qiě
f(n)=n/2( rú guǒ n shì 'ǒu shù ) huò zhě 3n+1( rú guǒ n shì jīshù )
xiàn yòng f1(n) biǎo shì f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).
zé cún zài yòu xiàn zhèng zhěng shù m∈ N, shǐ dé fm(n)=1.( yǐ xià chēng n/2 wéi 'ǒu biàn huàn ,3n+1 wéi qí biàn huàn , bìng qiě chēng xiān qí biàn huàn zài 'ǒu biàn huàn wéi quán biàn huàn )
kè lā cí mìng tí de zhèng míng
yǐn lǐ yī : ruò n=2m, zé fm(n)=1(m∈ N)
zhèng míng : dāng m=1 shí ,f(n)=f(2)=2/2=1, mìng tí chéng lì , shè dāng m=k shí chéng lì , zé dāng m=k+1 shí ,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=
=f(2)=2/2=1. zhèng bì .
yǐn lǐ 'èr : ruò n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1)(k∈ N), zé yòu f(n)=3n+1=4k+1=22k+2, cóng 'ér f2k+3(n)=1.
zhèng míng : zhèng míng shì xiǎn rán de , shěng lüè .
yǐn lǐ sān : ruò n=2m(4k+1-1)/(4-1)(m∈ N), zé yòu fm+2k+3(n)=1.
zhèng míng : shěng lüè .
dìng lǐ yī : jí hé O={X|X=2k-1,k∈ N} duì yú biàn huàn f(X) shì fēng bì de .
zhèng míng : duì yú rèn yì zì rán shù n, ruò n=2m, zé fm(n)=1, duì yú n=2k, jīng guò ruò gān cì 'ǒu biàn huàn , bì rán yào biàn chéng jīshù , suǒ yǐ wǒ men yǐ xià zhī kǎo lǜ jīshù de qíng xíng , jí jí hé O de qíng xíng . duì yú jīshù , shǒu xiān yào jìn xíng qí biàn huàn , bàn suí 'ér lái de bì rán shì 'ǒu biàn huàn , suǒ yǐ duì yú jīshù , kěn dìng yào jìn xíng yī cì quán biàn huàn . wèile zhí guān qǐ jiàn , wǒ men jiāng jīshù liè jí qí quán biàn huàn pái liè rú xià :
k123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051
02k-113579111315171921232527293133353739414345474951535557596163656769717375777981838587899193959799101
13k-1258111417202326293235384144475053565962656871747780838689929598101104107110113116119122125128131134137140143146149152
23k-21471013161922252831343740434649525558616467707376
33k-125811141720232629323538
43k-214710131619
53k-1258
63k-214
73k-12
83k-21
dì yīháng (2k-1) jīng guò quán biàn huàn (3(2k-1)+1)/2=3k-1 biàn chéng dì 'èr xíng , shí jì shàng děng yú dì yīháng jiā shàng yī gè k, qí zhōng de jīshù 5,11,...6k-1 yòu huí dào liǎo dì yīháng . yǐ xià gè xíng shì děng chā shù liè 3k-2,3k-1 jiāo cuò pái liè . yóu yú zuì zhōng dū biàn chéng liǎo jīshù , suǒ yǐ jí hé O duì yú biàn huàn f(X) shì fēng bì de .
dìng lǐ 'èr : rèn hé qí zì rán shù jīng guò ruò gān cì biàn huàn dū huì biàn chéng 1.
zhèng míng :
wǒ men kàn dào jīshù jīng guò quán biàn huàn biàn chéng wéi 3k-1 xíng shù ,3k-1 xíng jīshù jīng guò quán biàn huàn yòu yī bàn réng rán biàn chéng 3k-1 xíng jīshù , ér lìng yī bàn 3k-1 xíng 'ǒu shù jīng guò chú yǐ 2 yòu yī bàn biàn chéng wéi 3k-2 xíng jīshù , ér 3k-2 xíng jīshù jīng guò quán biàn huàn yòu biàn chéng wéi 3k-1 xíng shù . huàn jù huà shuō bù kě néng jīng guò quán biàn huàn dé dào 3k-2 xíng shù .
xià miàn wǒ men zhǐ yán jiū jīshù jīng guò quán biàn huàn de xìng zhì , yīn wéi duì yú qí tā 'ǒu shù jīng guò ruò gān cì 'ǒu biàn huàn , réng rán yào huí dào jīshù de hángliè lǐ lái .
wǒ men shǒu xiān zhèng míng jīshù jīng guò ruò gān cì quán biàn huàn bì rán huì zài mǒu yī bù biàn chéng 'ǒu shù .
shè 2a0-1 shì wǒ men yào yán jiū de jīshù , tā jīng guò quán biàn huàn biàn chéng 3a0-1, jiǎ shè tā shì yī gè jīshù bìng qiě děng yú 2a1-1,2a1-1 yòu jīng guò quán biàn huàn biàn chéng wéi 3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1, suǒ yǐ a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.
suǒ yǐ zuì hòu ak=(3/2)ka0, yào shǐ ak shì zhěng shù , kě lìng a0=2kn,(n shì jīshù ). yú shì ak=3kn. zé cóng 2a0-1 jīng guò ruò gān cì quán biàn huàn guò chéng rú xià :
2k+1n-1->3*2kn-1->32*2k-1n-1->33*2k-2n-1->...->3k+1n-1( ǒu shù ).
rán hòu wǒ men zhèng míng jīng guò quán biàn huàn biàn chéng 'ǒu shù de jīshù yī dìng dà yú gāi 'ǒu shù jīng guò ruò gān 'ǒu biàn huàn zhī hòu dé dào de jīshù .
shè 3k+1n-1=2mh(h wéi jīshù ), wǒ men yào zhèng míng h<2*3kn-1:
h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1, lìng a=3kn,b=2m-1, zé yòu 2ab>a+b, ér zhè shì xiǎn rán de .
dìng yì : yǐ xià wǒ men jiāng chēng hū shàng shù de lián xù quán biàn huàn jǐn jiē zhe lián xù de 'ǒu biàn huàn de cóng qí shù dào lìng wài yī gè jīshù de guò chéng wéi yī gè biàn huàn liàn .
jiē zhe wǒ men zhèng míng jīshù jīng guò yī gè biàn huàn liàn suǒ dé de jīshù bù kě néng shì biàn huàn liàn zhōng de rèn hé zhōng jiān jiēguǒ , bāo kuò dì yī gè jīshù .
ruò yǐ B(n) biǎo shì jīshù n de biàn huàn cì shù ,m shì n jīng guò biàn huàn shǒu cì yù dào de qí tā jīshù , zé yòu
dìng lǐ sān :B(n)=k+1+B(m), qí zhōng k shì mǎn zú 3n+1=2km de fēi fù zhěng shù .
zhèng míng :n jīng guò yī cì qí biàn huàn , zài jīng guò k cì 'ǒu biàn huàn biàn chéng jīshù m, dé zhèng .
jǔ lì lái shuō ,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17
yuán shǐ kè lā cí
èr shí shì jì 30 nián dài , kè lā cí hái zài shàng dà xué de shí hòu , shòu dào yī xiē zhù míng de shù xué jiā yǐng xiǎng , duì yú shù lùn hán shù fā shēng liǎo xīng qù , wèicǐ yán jiū liǎo yòu guān hán shù de dié dài wèn tí .
zài 1932 nián 7 yuè 1 rì de bǐ jì běn zhōng , tā yán jiū liǎo zhè yàng yī gè hán shù :
F(x)=2x/3（ rú guǒ x bèi 3 zhěng chú huò zhě (4x-1)/3（ rú guǒ x bèi 3 chú yú 1） huò zhě (4x+1)/3（ rú guǒ x bèi 3 chú yú 2）
zé F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,... wèile biàn yú guān chá shàng shù dié dài jiēguǒ , wǒ men jiāng tā men xiě chéng zhì huàn de xíng shì :
123456789...
1325749116...
yóu cǐ guān chá dào : duì yú x=2,3 de F dié dài chǎn shēng xún huán (2,3)
duì yú x=4,5,6,7,9 de F dié dài chǎn shēng xún huán (5,7,9,6,4).
jiē xià lái jiù shì duì x=8 jìn xíng dié dài , kè lā cí zài zhè lǐ yù dào liǎo kùn nán , tā bù néng què zhī , zhè gè dié dài shì fǒu huì xíng chéng xún huán , yě bù zhī dào duì quán tǐ zì rán shù zuò dié dài chú liǎo dé dào shàng shù liǎng gè xún huán zhī wài , shì fǒu hái huì chǎn shēng qí tā xún huán . hòu rén jiāng zhè gè wèn tí chēng wéi yuán shǐ kè lā cí wèn tí . xiàn zài rén men gèng gǎn xīng qù de shì tā de nì wèn tí :
G(x)=3x/2（ rú guǒ x shì 'ǒu shù） huò zhě (3x+1)/4（ rú guǒ x bèi 4 chú yú 1） huò zhě (3x-1)/4（ rú guǒ x bèi 4 chú yú 3）
bù nán zhèng míng ,G(x) qià shì yuán shǐ kè lā cí hán shù F(x) de fǎn hán shù . duì yú rèn hé zhèng zhěng shù x zuò G dié dài , huì yòu shénme yàng de jiēguǒ ní ?
jīng jì suàn , yǐ jīng dé dào xià liè sì gè xún huán :
(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).
yīn wéi G dié dài yǔ F dié dài shì hù nì de , yóu cǐ zhī dào ,F dié dài hái yīngyǒu xún huán (59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).
G dié dài hái néng yòu bié de xún huán má ? wèile zhǎo dào bié de xún huán , rén men xiǎng dào liǎo xià miàn de qiǎo miào fāng fǎ :
yóu yú G dié dài shǐ hòu xiàng shì qián xiàng de 3/2( dāng qián xiàng shì 'ǒu shù shí ) huò jìn sì de 3/4( dāng qián xiàng shì jīshù ). rú guǒ G dié dài zhōng chū xiàn xún huán , bǐ rú dié dài de dì t xiàng at yǔ dì s xiàng as chóngfù (t<s):at=as. dàn
as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at
huò děng yú 3/2, huò zhě jìn sì yú 3/22, yīn 'ér
1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at ≈ 3m/2n
zhè lǐ m=s-t,m<n
jí 2n≈ 3m
log22n≈ log23m
gù n/m≈ log23
zhè jiù shì shuō , wèile xún zhǎo chū yòu zhòng fù de xiàng ( jí yòu xún huán ), yìng qiú chū log23 de jiàn jìn fēn shù n/m, qiě m kě néng shì yī gè xún huán suǒ bāo hán de shù de gè shù , jí xún huán de cháng dù .
log23 zhǎn kāi chéng lián fēn shù hòu , kě dé dào xià liè jǐn quē dù bù tóng de jiàn jìn fēn shù :
log23≈ 2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...
jiàn jìn fēn shù 2/1 biǎo míng ,31≈ 22, xún huán cháng dù yìng wéi 1. shí jì shàng qià cún zài cháng dù wéi 1 de xún huán (1).
jiàn jìn fēn shù 3/2 biǎo míng ,32≈ 23, xún huán cháng dù yìng wéi 2. shí jì shàng qià cún zài cháng dù wéi 2 de xún huán (2,3).
jiàn jìn fēn shù 8/5 biǎo míng ,35≈ 28, xún huán cháng dù yìng wéi 5. shí jì shàng qià cún zài cháng dù wéi 5 de xún huán (4,6,9,7,5).
jiàn jìn fēn shù 19/12 biǎo míng ,312≈ 219, xún huán cháng dù yìng wéi 12, shí jì shàng qià cún zài cháng dù wéi 12 de xún huán (44,66,...59).
zhè sì gè jiàn jìn fēn shù de fēn mǔ yǔ shí jì cún zài de xún huán cháng dù de yī zhì xìng , gěi liǎo rén men yī xiē qǐ fā yǔ xìn xīn , cù shǐ rén men jì xù kǎo lǜ : shì fǒu cún zài cháng dù wéi 41,53,306,665,15601,... de xún huán ? lìng rén yí hàn de shì , yǐ jīng zhèng míng cháng dù shì 41,53,306 de xún huán kěn dìng bù cún zài , nà me , shì fǒu huì yòu cháng dù wéi 665,15601,... de xún huán ní ?
F dié dài yǔ G dié dài jiū jìng néng yòu nǎ xiē xún huán ní ? rén men zhèng zài nǔ lì tàn suǒ zhōng ! |
|
|