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| 關於一元n次代數方程的根與係數關係的定理。一元二次方程ax2+bx+c=0的韋達定理是：若方程的兩個根為x1、x2，則x1+x2=-ba，x1·x2=ca。一元n次方程的根與係數也有相應的關係式。此定理當n=2、3時的結論由法國數學家韋達首先得出，故得名。 |
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| 韋達（vieta's ，francois，seigneurdela bigotiere）1540年出生於法國普瓦捷,1603年12月13日卒於巴黎。早年在普法捷學習法律，後任律師，1567年成為議會的議員。在對西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍的密碼，贏得很高聲譽。法國十六世紀最有影響的數學家之一。第一個引進係統的代數符號，並對方程論做了改進。 |
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一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
設兩個根為x1和x2
則x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a |
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韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個n次方程∑aix^i=0
它的根記作x1,x2…,xn
我們有
∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…
Πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，Π是求積。
如果一元二次方程
在復數集中的根是，那麽
法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年纔由高斯作出第一個實質性的論性。
由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在復數集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數範圍內分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
韋達定理在方程論中有着廣泛的應用。 |
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設x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解。
根據求根公式，有
x_1=[-b + -sqrt (b^2-4ac)]/2a,
所以
x_1+x_2=[-b +(-) sqrt (b^2-4ac)]/2a+[-b - sqrt (b^2-4ac)]/2a=-b/a |
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韋達（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法國十六世紀最有影響的數學家之一。第一個引進係統的代數符號，並對方程論做了改進。
他1540年生於法國的普瓦圖。1603年12月13日猝於巴黎。年青時學習法律當過律師，後從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力於數學研究，第一個有意識地和係統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘幂，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與係數之間的關係（所以人們把敘述一元二次方程根與係數關係的結論稱為“韋達定理”）。
韋達在歐洲被尊稱為“現代數學之父”。韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早係統地引入代數符號，推進了方程論的發展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數的內容和方法。他創設了大量的代數符號，用字母代替未知數，係統闡述並改良了三、四次方程的解法，指出了根與係數之間的關係。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有《分析方法入門》、《論方程的識別與訂正》等多部著作。
韋達從事數學研究衹是出於愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的巨著。他的《應用於三角形的數學定律》（1579年）是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數解平面和球面三角形方法的係統著作。他被稱為現代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式了。
他的《解析方法入門》一書（1591年），集中了他以前在代數方面的大成，使代數學真正成為數學中的一個優秀分支。他對方程論的貢獻是在《論方程的整理和修正》一書中提出了二次、三次和四次方程的解法。
《分析方法入門》是韋達最重要的代數著作，也是最早的符號代數專著，書中第1章應用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數學文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，並自信希臘數學家已經應用了這種分析術，他衹不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足於丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創立一般的符號代數。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（後來用過N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，並將這種代數稱為本“類的運算”以此區別於用來確定數目的“數的運算”。當韋達提出類的運算與數的運算的區別時，就已規定了代數與算術的分界。這樣，代數就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數學史上的重要進步，它為代數學的發展開闢了道路，因此韋達被西方稱為"代數學之父"。1593年，韋達又出版了另一部代數學專著—《分析五篇》（5捲，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世後由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在 1591年業已完成。其中得到一係列有關方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉裏四次方程解法改進後的求解公式。而另一成就是記載了著名的韋達定理，即方程的根與係數的關係式。韋達還探討了代數方程數值解的問題，1600年以《幂的數值解法》為題出版。
1593年韋達在《分析五篇》中曾說明怎樣用直尺和圓規作出導致某些二次方程的幾何問題的解。同年他的《幾何補篇》（Supplementum geometriae）在圖爾出版了，其中給尺規作圖問題所涉及的一些代數方程知識。此外，韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式,而且創造了一套 10進分數表示法，促進了記數法的改革。之後，韋達用代數方法解决幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發展成為解析幾何學。韋達從某個方面講，又是幾何學方面的權威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數點後9位，在相當長的時間裏處於世界領先地位。
韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早係統地引入代數符號，推進了方程論的發展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數的內容和方法。他創設了大量的代數符號，用字母代替未知數，係統闡述並改良了三、四次方程的解法，指出了根與係數之間的關係。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有《分析方法入門》、《論方程的識別與訂正》等多部著作。
由於韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最傑出的數學家之一。 |
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一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
設兩個根為X1和X2
則X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
不能用於綫段
用韋達定理判斷方程的根
若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根
若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根
若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解 |
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一元二次方程求根公式為：
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
則x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）
x1+x2=-b/a
x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）
x1*x2=c/a
韋達定理
判別式、判別式與根的個數關係、判別式與根、韋達定理及其逆定理。
〖大綱要求〗
1.掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常數係數一元二次方程根的情況；對含有字母係數的由一元二次方程，會根據字母的取值範圍判斷根的情況，也會根據根的情況確定字母的取值範圍。
2.掌握韋達定理及其簡單的應用。
【考3.】會在實數範圍內把二次三項式分解因式。
4.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解决一些簡單的綜合性問題。
內容分析 。
1.一元二次方程的根的判別式 。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△＝b^2-4ac
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
當△＝0時，方程有兩個相等的實數根，
當△＜0時，方程沒有實數根．
2.一元二次方程的根與係數的關係 。
(1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1，x2，那麽 ，
(2)如果方程x^2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那麽x1+x2=-P，
x1x2=q
(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項係數為1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三項式的因式分解(公式法)
在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1,x2，那麽ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
另外這與射影定理是初中必須掌握的. |
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設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。
則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過係數對比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。 |
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