| | | 簡稱集論”。研究集合的性質及其運算的一門數學分支。純粹數學的各個分支幾乎都建立在滿足各種不同條件的集合之上，許多涉及數學基礎的根本性問題都可歸結為有關集論的問題。 | | | 初中畢業升入高一級學校的同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念就是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中占據着一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那麽可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。其創始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深的學者之一。 | | | 集合論是德國著名數學家康托爾於19世紀末創立的。十七世紀，數學中出現了一門新的分支：微積分。在之後的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展並結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解决後，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若幹確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾於1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。 | | | 前蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在於他嚮無窮的冒險邁進”。因而衹有當我們瞭解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什麽結論後纔會真正明白他工作的價值之所在和衆多反對之聲之由來。數學與無窮有着不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數學發展的歷程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，並盡可能回避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞彙引入數學，從而進入了一片未開墾的處女地，開闢出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數學上的潘多拉盒子。“我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母n來表示。”學過集合的所有人應該對這句話不會感到陌生。但在接受這句話時我們根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作。在此以前數學家們衹是把無限看作永遠在延伸着的，一種變化着成長着的東西來解釋。無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關於無窮的觀念在數學上被稱為潛無限。十八世紀數學王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是“……我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，衹是一種說話的方式……”而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數學上稱為實無限思想。由於潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾並未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續正面探討無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一係列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數。他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢。由於一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應關係╠╠也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數。這與傳統觀念“全體大於部分”相矛盾。而康托爾認為這恰恰是無窮集的特徵。在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集。又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集。後來當他又證明了代數數集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大於自然數集。這不但意味着無理數遠遠多於有理數，而且顯然龐大的代數數與超越數相比而言也衹成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。”而當他得出這一結論時，人們所能找到的超越數尚僅有一兩個而已。這是何等令人震驚的結果！然而，事情並未終結。魔盒一經打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限於可數集這一個無窮數的怪物。從上述結論中康托爾意識到無窮集之間存在着差別，有着不同的數量級，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在着無窮多個層次。他取得了成功，並且根據無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數”。他用希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數的精靈，最終他建立了關於無限的所謂阿列夫譜係它可以無限延長下去。就這樣他創造了一種新的超限數理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結論在當時會如何震動數學家們的心靈了。毫不誇張地講，康托爾的關於無窮的這些理論，引起了反對派的不絶於耳的喧囂。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數是“霧中之霧”，稱“康托爾走進了超限數的地獄”。作為對傳統觀念的一次大革新，由於他開創了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創性成果的一種褒揚吧。公理化集合論的建立集合論提出伊始，曾遭到許多數學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥。 | | 然而集合論前後經歷二十餘年，最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們為一切數學成果都可建立在集合論基礎上的前景而陶醉了。他們樂觀地認為從算術公理係統出發，藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。
在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣佈“……數學已被算術化了。今天，我們可以說絶對的嚴格已經達到了。”然而這種自得的情緒並沒能持續多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數學界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。
羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合r。現在問r是否屬於r？如果r屬於r，則r滿足r的定義，因此r不應屬於自身，即r不屬於r；另一方面，如果r不屬於r，則r不滿足r的定義，因此r應屬於自身，即r屬於r。這樣，不論何種情況都存在着矛盾。
這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。絶對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中。這就是數學史上的第三次數學危機。危機産生後，衆多數學家投入到解决危機的工作中去。
1908年，策梅羅提出公理化集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理係統，簡稱zf公理係統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。
與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解决了第三次數學危機。
公理化集合論的建立，標志着著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去。從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間裏，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結。“它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻。” | | 集合論是德國著名數學家康托爾(G.Cantor)於19世紀末創立的。
。十九世紀初，許多迫切問題得到解决後，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集
這是集合論研究的開端。1874年，德國數學家康托爾在著名的《剋雷爾數學雜志》上發表了關於無窮集合論的第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾的一係列關於集合的文章，奠定了集合論的基礎。他對集合所下的定義是：把若幹確定的、有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來，看作一個整體，，其中各事物稱為該集合的元素。
沒想到集合論一誕生就遭到了許多數學家的激烈反對，當時的權威數學家剋羅內剋(Kronecker)非常敵視康托爾的集合論思想，時間達整整十年之久，法國數學大傢龐加萊(Poincare)則預測後一代人將把集合論當作一種疾病。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷於精神崩潰。然而烏雲遮不住太陽，經歷二十餘年後，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們樂觀地認為從算術公理係統出發，衹要藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣佈“……數學已被算術化了。我們可以說，現在數學已經達到了絶對的嚴格。”然而這種自得的情緒並沒能持續多久。英國哲學家羅素(Russell)就很懷疑數學的這種嚴密性，他經過三
年的苦思冥想，於1902年找到了一個能證明自己觀點的簡單明確的“羅素悖論”。不久，集合論是有漏洞的消息迅速就傳遍了數學界。
羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R應該滿足R的定義，即R不應屬於自身，因此R不屬於R；另一方面，如果R不屬於R，則R應該不滿足R的定義，即R應屬於自身，因此R屬於R。這樣，不論何種情況都存在着矛盾（為了使羅素悖論更加通俗易懂，羅素本人在1919年將其改寫為“理發師悖論”）。這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的
餘地。號稱“天衣無縫”、“絶對嚴密”的數學陷入了自相矛盾之中。從此整個數學的基礎被動搖了，由此引發了數學史上的第三次數學危機。
危機産生後，衆多數學家投入到解决危機的工作中去。1908年，德國數學家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認為悖論的出現是由於康托爾沒有把集合的概念加以限製，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論後來演變成ZF或ZFS公理係統。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解决了第三次數學危機。公理化集合論的建立，標志着著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去 | | 然而集合論前後經歷二十餘年，最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們為一切數學成果都可建立在集合論基礎上的前景而陶醉了。他們樂觀地認為從算術公理係統出發，藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。
在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣佈“……數學已被算術化了。今天，我們可以說絶對的嚴格已經達到了。”然而這種自得的情緒並沒能持續多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數學界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。
羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R；另一方面，如果R不屬於R，則R不滿足R的定義，因此R應屬於自身，即R屬於R。這樣，不論何種情況都存在着矛盾。
這一僅涉及集合與屬於兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。絶對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中。這就是數學史上的第三次數學危機。危機産生後，衆多數學家投入到解决危機的工作中去。
1908年，策梅羅提出公理集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理係統，簡稱ZF公理係統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。
與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果並消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解决了第三次數學危機。
公理化集合論的建立，標志着著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去。從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間裏，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結。“它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻。”
這一點比較重要,數學家希望的是將數學建立在幾個公理基礎之上,而不是形式和表面。但哥德爾不完備定理的提出,打消了數學家的這個想法,數學和物理一樣,都是在發展,而且有些理論也衹是在一定範圍內成立.隨着研究對象的擴大和展開,會發現原有的理論衹是在其原有範圍內成立,隨着新理論的建立,那麽原有理論會作為在誤差允許的範圍內成立的一個特例. 上述典型的例子就是牛頓力學和相對論的關係
最終數學的三大學派均告失敗,《數學方法論》一書說的好,數學不可能衹以少數幾個形式公理化的東西為基礎,以有限立場的推理為工具就能證明整個數學的相容性,數學的發展也就不能以此來純粹發展而脫離物理實際. 因為數學本身、基礎性的東西來自於自然,比如自然數、邏輯關係、幾何公理等,這樣以來,當現在的物質世界研究變化的時候,數學也在跟着變化,抑或,數學上的發現某種程度上暗示了物質世界裏存在這種東西,比如孤立子在數學上的突破,指導了物理上的發現.
為什麽數學上的自洽性與物理學有關呢?大自然的存在說明了它本身的相容性,則數學上的自洽性可以從這其中來尋找,若是脫離了自然的物質世界的話,一些悖論和危機時解决不了的。那樣的話,數學的發展就脫離了實際,典型的例子就是龜兔賽跑悖論問題 | | jihelun
集合論
set theory
數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函數）。從這個意義上說，集合論可以看做是整個現代數學的基礎，至多範疇論除外。
集合論是G.(F.P.)康托爾於19世紀末創立的。它的發展經歷兩個階段:1908年以前稱為樸素集合論;1908年以後又産生了所謂公理集合論。後者不外乎是前者的嚴格處理；由於廣泛使用數理邏輯的工具，它又逐漸成為數理邏輯的一個分支，並從60年代以來獲得迅速的發展。
康托爾的樸素集合論 集合論産生的背景是分析學，特別是三角級數發展的需要。當一個以2□為周期的周期函數□(□)在(0,2□)上表示成三角級數（例如它的傅裏葉級數）
跏保嗣嗆蘢勻壞鞀崽岢魷旅嫻奈侍猓赫飧霰硎臼欠袷俏┮壞模空饢侍庖部篩氖鑫喝綣眉妒?0,2□)上都收斂於0,是否它所有的係數 □□、□□皆為0？G.康托爾於1870年對這個問題給予肯定的回答。以後他進一步研究，如果上麵條件減弱為：級數在(0,2□)上除若幹（有限或無限）個點外均收斂於 0，那麽是否還能保證所有的□□,□□皆為0?正是由於研究這種不影響惟一性的例外點集的需要，G.康托爾引入了直綫上的一些點集拓撲概念，探討了前人從未碰過的結構復雜的實數點集。這是集合論研究的開端。
1874年G.康托爾越過“數集”的限製，開始一般地提出“集合”的概念。他給集合下了這樣一個定義：把若幹確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來,看做一個整體，就稱為一個集合（簡稱集）,其中各事物稱為該集合的元素（或成員），也說它屬於該集合。事物□屬於集合□記為□□□□□。這樣，中國現有直轄市、《阿 Q正傳》中出現的不同漢字、全體自然數、平面上所有直綫等等都是集合的例子。有了集合概念之後，就可進一步定義集合□的子集□□□，幂集□(□),集合的並□∪□、交□∩□，笛卡兒直積□×□,以及集合上的關係,集合到集合的映射等一係列概念（見集合、映射）。在樸素集合論裏，這一切都是很直觀明顯的。
G.康托爾的卓越成就是關於無窮集的研究。他把適用於有窮集的不用數數而判定兩集合一樣大的一一對應準則推廣到無窮集。元素間能建立一一對應的集合稱為等勢。一個無窮集可與它的一個真子集等勢，這與傳統的觀念“全量大於部分”矛盾，但G.康托爾認為這恰恰是無窮集區別於有窮集的特徵。他稱與全體自然數N 等勢的集合為可數（無窮）集。當他證明了全體有理數和全體代數數都是可數集合之後，1873年出乎意外地發現，全體實數□這一無窮集竟不是可數集,他在證明中應用了著名的對角綫方法。這一事實說明，無窮集並非清一色地都是可數集，它們之間還是存在着差別。在這基礎上，G.康托爾於1878年引入了對有窮集無窮集都適用的“集合的勢”後來又稱為基數的概念。勢是通常“個數”概念的推廣。最初，G.康托爾把勢定義為等勢集合類共性的抽象，後來(F.L.)G.弗雷格與B.A.W.羅素改為等勢類本身。集合□的勢記為|□|,如□={北京、天津、上海},則|□|=3。利用等勢的概念可將有窮集存在的大小關係推廣到無窮集。例如可以說實數集R 的勢大於自然數集□ 的勢。因為可以證明□的勢等於□的幂集□(□)的勢，所以也有｜□｜ 上面對無窮集的討論中，衹考慮到集合中元素的多少，沒有考慮這些元素間可能出現的順序。但當人們通常要比較兩個元素很多的 | | | 科學 | 數學 | 現代數學 | 模糊集合 | 函數 | 代數學 | 近世代數 | 百科辭典 | | 定義 | 百科大全 | 公理 | 統計 | 軍事 | 猜想 | 美國 | 數學家 | | 概率論 | 猶太人 | 哲學 | 更多結果... |
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