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【名詞解釋】
阿羅不可能性定理是指，如果衆多的社會成員具有不同的偏好，而社會又有多種備選方案，那麽在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結果。定理是由1972年度諾貝爾經濟學奬獲得者美國經濟學家肯尼思·j·阿羅提出。
【操作實務】
衆所周知，多數原則是現代社會廣泛接受的决策方法。洛剋認為“根據自然和理性的法則，大多數具有全體的權力，因而大多數的行為被認為是全體的行為，也當然有决定權了”。但很多在自然法學家那裏是想當然正確的東西在社會選擇理論中是需要證明的。所謂社會選擇，在數學上表達為一個建立在所有個人的偏好上的函數（或對應），該函數的性質代表了一定的價值規範，比如公民主權、全體性、匿名性、目標中性，帕纍托最優性，無獨裁性等。社會選擇最重要的問題是，這些價值規範之間是否是邏輯上協調的。阿羅證明，不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函數：①個人偏好的無限製性，即對一個社會可能存在的所有狀態，任何邏輯上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除；②帕纍托原則，即一個方案對所有人是最優的意味着相對於社會偏好序也是最優的；③非相關目標獨立性，即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響；④社會偏好的非獨裁性。
【經典案例】
假設有甲、乙、丙三人，分別來自中國、日本和美國，而且是分別多年的好朋友。三人久別重逢，欣喜之餘，决定一起吃飯敘舊。但是，不同的文化背景形成了他們不同的飲食習慣，對餐飲的要求各不相同，風格各異
甲：中餐>西餐>日本餐
乙：日本餐>中餐>西餐
丙：西餐>日本餐>中餐
如果用民主的多數表决方式，結果如下所示：
首先，在中餐和西餐中選擇，甲、乙喜歡中餐，丙喜歡西餐；
然後，在西餐和日本餐中選擇，甲、丙喜歡西餐，乙喜歡日本餐；
最後，在中餐和日本餐中選擇，乙、丙喜歡日本餐，甲喜歡中餐。
三個人的最終表决結果如下：
中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐
所以，利用少數服從多數的投票機製，將産生不出一個令所有人滿意的結論，這就是著名的"投票悖論"（paradox of voting）。
投票悖論最早是由康德爾賽(marquis de coudorcet)在18世紀提出的，因而該悖論又稱為"康德爾賽效應"[③]，而利用數學對其進行論證的則是肯尼斯·阿羅。
阿羅認為，有關社會選擇的兩個公理與民主主義所要求的諸條件不相適應。他所說的公理指以下內容：
公理1：連貫性（connectedness）
在x和y兩項選擇共存時，下面的某種情況永恆成立：
x大於或等於y；y大於或等於x。
公理2：傳遞性（transitivity）
在有x、y、z三項選擇時，會出現這樣幾種情況：
x大於或等於y；y大於或等於z；則x大於或等於z。
阿羅指出，奠定這兩個公理的基礎的社會福利函數與他所謂的民主主義的諸條件不相稱。民主主義的諸條件如下：
（1）條件1：個人排列順序的普通容許區間。
作為個人來講，對於如何選擇自己的選擇值序列問題是無關緊要的。例如，在面臨x、y、z三項選擇時，無論是x>y>z，還是z>y>x，或者是y>z>x，......總而言之，允許個人按照自己意願排列選擇值順序。
（2）條件2：社會評價與個人評價的正態相關。
假如有五個人來選擇x、y，當其中三人為x>y，另外二人為xy，而且，即使出現少數派中的一方改變主意，x>y時，x>y的社會全體的多數表决結果將仍然如故，不會發生改變。
（3）條件3：與無關選擇對象無關的獨立性。
在x、y、z三項選擇值之間，假定選擇順序為x>y>z，那麽即使y選擇值已不復存在，剩下x和z的x>z的選擇關係仍舊不發生改變。
（4）條件4：公民主權
個人的選擇順序與社會結構無關，即社會中的每個人都能按各自的價值觀，自由地在備選對象中進行選擇。
（5）條件5：非獨裁
在全體成員中，當衹有特定的個人選擇x>y，其餘人選擇xy。[④]
綜上所述，即所有五個條件都理應成為民主社會所具備。阿羅認為，如果同時承認前面兩個公理和該五個條件，就會促成投票的悖論效應。這就是阿羅不可能定理。
接下來，筆者舉一個簡單的例子來說明阿羅所謂兩個公理與民主社會的五個條件的矛盾性。
按照阿羅的理論，假設現在有七個人聚在一起準備去吃飯。這七個人對餐飲的偏好順序如下所示：
1號：中餐>西餐>日本餐
2號
3號 日本餐>中餐>西餐
4號
5號
6號 西餐>日本餐>中餐
7號
由上可以看出，就中餐和西餐比較而言，1至4號喜歡中餐，5－7號喜歡西餐，故中餐以四比三的結果奪得優勢。再將西餐和日本餐相比較，則1號和5至7號喜歡西餐，2至4號喜歡日本餐，即西餐以四比三的結果奪得優勢。如果依照公理2的可遞性來看，西餐>日本餐，由於前面中餐>西餐，則中餐>日本餐。但是，若從七個人的選擇順序來看，主張中餐比日本餐好的衹有1號，而其他人都認為日本餐比中餐好。問題尚不僅於此，按照可遞性，中餐將表現為社會選擇結果。在此情況下，衹有1號的意見得到通過。這時，如果1號改變選擇順序，那麽與其相適應的社會結果將註定不以其他人的意志為轉移，而是以1號的選擇順序為轉移。
阿羅涉及的這個問題具有很大的代表性。阿羅闡釋了采取所謂多數表决的决定規則勢必會隨之出現獨裁現象。我們通常認為多數表决是促成民主主義的决定原則，但在現實中，它卻不曾起到這種作用。
就民主主義社會而言，阿羅所謂的基於多數表達原理的投票結果有時會導致投票的悖論效應，其觀點頗具有重要意義。阿羅認為，投票的悖論並非經常發生，而具有一定的偶然性。如果這種概率實在微乎其微的話，那麽阿羅不可能定理的意義就會黯然失色。對投票悖論産生的概率采取數學手段進行計算的是坎普布爾（c. campbell）和塔洛剋（g. tullock）。
坎普布爾等人運用蒙特卡爾法來計算投票悖論産生的概率，並且指出，投票者數量或選擇值增加越多，産生悖論的可能性就越大。譬如，在投票者為3人，選擇值為3點的情況下，産生悖論效應的概率約為5.7％；當投票者增加至15人，選擇值增加至11點時，産生悖論效應的概率提高到50％。[⑤]也就是說，兩次投票中就有一次悖論現象出現。因而，對於每天都在頻繁進行着各種會議和集會的民主主義社會來講，决不可能對如此之高的比率掉以輕心。
此外，涅米和維斯伯格也大大地推進了坎普布爾等人的計算。他們指出，在投票者超過十人的情況下，以上投票悖論出現的概率基本無變化，而且選擇值的多少對悖論概率有相當大的影響。[⑥]
可見，在這種情景下，利用少數服從多數的投票機製，將産生不出一個令所有人滿意的結論。 |
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假設有甲、乙、丙三人，分別來自中國、日本和美國，而且是分別多年的好朋友。三人久別重逢，欣喜之餘，决定一起吃飯敘舊。但是，不同的文化背景形成了他們不同的飲食習慣，對餐飲的要求各不相同，風格各異
甲：中餐>西餐>日本餐
乙：日本餐>中餐>西餐
丙：西餐>日本餐>中餐
如果用民主的多數表决方式，結果如下所示：
首先，在中餐和西餐中選擇，甲、乙喜歡中餐，丙喜歡西餐；
然後，在西餐和日本餐中選擇，甲、丙喜歡西餐，乙喜歡日本餐；
最後，在中餐和日本餐中選擇，乙、丙喜歡日本餐，甲喜歡中餐。
三個人的最終表决結果如下：
中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐
所以，利用少數服從多數的投票機製，將産生不出一個令所有人滿意的結論，這就是著名的"投票悖論"（paradox of voting）。
投票悖論最早是由康德爾賽(Marquis de Coudorcet)在18世紀提出的，因而該悖論又稱為"康德爾賽效應"[③]，而利用數學對其進行論證的則是肯尼斯·阿羅。
阿羅認為，有關社會選擇的兩個公理與民主主義所要求的諸條件不相適應。他所說的公理指以下內容：
公理1：連貫性（connectedness）
在x和y兩項選擇共存時，下面的某種情況永恆成立：
x大於或等於y；y大於或等於x。
公理2：傳遞性（transitivity）
在有x、y、z三項選擇時，會出現這樣幾種情況：
x大於或等於y；y大於或等於z；則x大於或等於z。
阿羅指出，奠定這兩個公理的基礎的社會福利函數與他所謂的民主主義的諸條件不相稱。民主主義的諸條件如下：
（1）條件1：個人排列順序的普通容許區間。
作為個人來講，對於如何選擇自己的選擇值序列問題是無關緊要的。例如，在面臨x、y、z三項選擇時，無論是x>y>z，還是z>y>x，或者是y>z>x，......總而言之，允許個人按照自己意願排列選擇值順序。
（2）條件2：社會評價與個人評價的正態相關。
假如有五個人來選擇x、y，當其中三人為x>y，另外二人為xy，而且，即使出現少數派中的一方改變主意，x>y時，x>y的社會全體的多數表决結果將仍然如故，不會發生改變。
（3）條件3：與無關選擇對象無關的獨立性。
在x、y、z三項選擇值之間，假定選擇順序為x>y>z，那麽即使y選擇值已不復存在，剩下x和z的x>z的選擇關係仍舊不發生改變。
（4）條件4：公民主權
個人的選擇順序與社會結構無關，即社會中的每個人都能按各自的價值觀，自由地在備選對象中進行選擇。
（5）條件5：非獨裁
在全體成員中，當衹有特定的個人選擇x>y，其餘人選擇xy。[④]
綜上所述，即所有五個條件都理應成為民主社會所具備。阿羅認為，如果同時承認前面兩個公理和該五個條件，就會促成投票的悖論效應。這就是阿羅不可能定理。
接下來，筆者舉一個簡單的例子來說明阿羅所謂兩個公理與民主社會的五個條件的矛盾性。
按照阿羅的理論，假設現在有七個人聚在一起準備去吃飯。這七個人對餐飲的偏好順序如下所示：
1號：中餐>西餐>日本餐
2號 日本餐>中餐>西餐
3號 日本餐>中餐>西餐
4號 日本餐>中餐>西餐
5號 西餐>日本餐>中餐
6號 西餐>日本餐>中餐
7號 西餐>日本餐>中餐
由上可以看出，就中餐和西餐比較而言，1至4號喜歡中餐，5－7號喜歡西餐，故中餐以四比三的結果奪得優勢。再將西餐和日本餐相比較，則1號和5至7號喜歡西餐，2至4號喜歡日本餐，即西餐以四比三的結果奪得優勢。如果依照公理2的可遞性來看，西餐>日本餐，由於前面中餐>西餐，則中餐>日本餐。但是，若從七個人的選擇順序來看，主張中餐比日本餐好的衹有1號，而其他人都認為日本餐比中餐好。問題尚不僅於此，按照可遞性，中餐將表現為社會選擇結果。在此情況下，衹有1號的意見得到通過。這時，如果1號改變選擇順序，那麽與其相適應的社會結果將註定不以其他人的意志為轉移，而是以1號的選擇順序為轉移。
阿羅涉及的這個問題具有很大的代表性。阿羅闡釋了采取所謂多數表决的决定規則勢必會隨之出現獨裁現象。我們通常認為多數表决是促成民主主義的决定原則，但在現實中，它卻不曾起到這種作用。
就民主主義社會而言，阿羅所謂的基於多數表達原理的投票結果有時會導致投票的悖論效應，其觀點頗具有重要意義。阿羅認為，投票的悖論並非經常發生，而具有一定的偶然性。如果這種概率實在微乎其微的話，那麽阿羅不可能定理的意義就會黯然失色。對投票悖論産生的概率采取數學手段進行計算的是坎普布爾（C. Campbell）和塔洛剋（G. Tullock）。
坎普布爾等人運用蒙特卡爾法來計算投票悖論産生的概率，並且指出，投票者數量或選擇值增加越多，産生悖論的可能性就越大。譬如，在投票者為3人，選擇值為3點的情況下，産生悖論效應的概率約為5.7％；當投票者增加至15人，選擇值增加至11點時，産生悖論效應的概率提高到50％。[⑤]也就是說，兩次投票中就有一次悖論現象出現。因而，對於每天都在頻繁進行着各種會議和集會的民主主義社會來講，决不可能對如此之高的比率掉以輕心。
此外，涅米和維斯伯格也大大地推進了坎普布爾等人的計算。他們指出，在投票者超過十人的情況下，以上投票悖論出現的概率基本無變化，而且選擇值的多少對悖論概率有相當大的影響。[⑥]
可見，在這種情景下，利用少數服從多數的投票機製，將産生不出一個令所有人滿意的結論。 |