| | 【中文詞條】軌道計算
【外文詞條】orbit determination
【作者】王昌彬
一種粗略測定天體軌道的方法。在軌道計算中﹐人們事先不必對天體軌道作任何初始估計﹐而是從若幹觀測資料出發﹐根據力學和幾何條件定出天體的初始軌道﹐以便及時跟蹤天體﹐或作為軌道改進的初值。為了計算六個軌道要素(見二體問題)﹐至少必須有三次光學觀測﹐因為每次觀測衹能得到天體坐標的兩個分量。
軌道計算是從研究彗星的運動開始的。在牛頓以前﹐對天體運動的研究基本上帶有幾何描述的性質。第𠔌首先試圖計算彗星軌道﹐但未獲成功。睏難在於衹能觀測彗星的方向﹐而不知道它同地球的距離﹐由於缺少力學規律的指引﹐無法根據這些定嚮資料求得天體的空間軌道。在牛頓運動定律和萬有引力定律發現螬o開普勒定律有了力學解釋﹐得到了橢圓運動的嚴格數學表達式﹐終於能利用少數幾次時間相隔不長的觀測來測定彗星的軌道。
拉普拉斯方法 第一個正式的軌道計算方法是牛頓提出的。他根據三次觀測的資料﹐用圖解法求出天體的軌道。哈雷用這個方法分析了1337～1698年間出現的24顆彗星﹐發現1531年﹑1607年和1682年出現的彗星是同一顆彗星﹐它就是有名的哈雷彗星。在這以後﹐歐拉﹑朗伯和拉格朗日等人也在軌道計算方面做了不少研究。拉普拉斯於1780年發表第一個完整的軌道計算的分析方法。這個方法不限製觀測的次數﹐首先根據幾次觀測﹐定出某一時刻天體在天球上的視位置(例如赤經﹑赤緯)及其一次﹑二次導數﹐然後從這六個量嚴格而又簡單地求出此時天體的空間坐標和速度﹐從而定出圓錐麯綫軌道的六個要素。這樣﹐拉普拉斯就將軌道計算轉化為一個微分方程的初值測定問題來處理。從分析觀點來看這是一個好方法﹐然而軌道計算是一個實際問題﹐要考慮結果的精確和計算的方便。拉普拉斯方法在實用上不甚方便。由於數值微分會放大誤差﹐這就需要用十分精確的觀測資料才能求出合理的導數。儘管許多人曾取得一定進展﹐但終究由於計算繁復﹐在解决實際問題時還是很少使用。
奧伯斯方法和高斯方法 與拉普拉斯不同﹐奧伯斯和高斯則認為﹐如果能根據觀測資料確定天體在兩個不同時刻的空間位置﹐那麽對應的軌道也就可以確定了。也就是說﹐奧伯斯和高斯把軌道計算轉化為一個邊值測定問題來處理。因此﹐問題的關鍵是如何根據三次定嚮觀測來定出天體在空間的位置。這既要考慮軌道的幾何特性﹐又要應用天體運動的力學定律。這些條件中最基本的一條是天體必須在通過太陽的平面上運動。由於從觀測掌握了天體在三個時刻的視方向﹐一旦確定了軌道平面的取嚮﹐除個別特殊情況外﹐天體在三個時刻的空間位置也就確定了。軌道平面的正確取嚮的條件是所確定的三個空間位置能滿足天體運動的力學定律﹐例如面積定律。
彗星軌道大都接近拋物綫﹐所以在計算軌道時﹐常將它們作為拋物綫處理。完整的拋物綫軌道計算方法是奧伯斯於1797年提出的。他采用牛頓的假設﹐得到了彗星地心距的關係式﹔再結合表示天體在拋物綫軌道上兩個時刻的嚮徑和弦關係的歐拉方程﹐求出彗星的地心距﹔從而求出彗星的拋物綫軌道。到現在為止﹐奧伯斯方法雖有不少改進﹐但基本原理並沒有變﹐仍然是一個常用的計算拋物綫軌道的方法。
1801年1月1日﹐皮亞齊發現了第一號小行星(𠔌神星)﹐不久高斯就算出了它的橢圓軌道﹐他的方法發表於1809年。高斯使用逐次近似法﹐先求出天體嚮徑所圍成的扇形面積與三角形面積之比﹐然後利用力學條件求得天體應有的空間位置﹐再從空間位置求得軌道。高斯不僅從理論上﹑而且從實際上解决了軌道計算問題。可以說﹐用三次觀測决定軌道的實際問題是高斯首先解决的。高斯以後﹐雖然有人提出一些新方法﹐但基本原理仍沒有變。
人造衛星軌道計算 計算小行星軌道的經典方法﹐原則上都能用來計算人造衛星的軌道。在考慮到人造衛星的運動特點之後﹐又提出了一些新的方法。人造衛星運動快﹐周期短﹐記時誤差對軌道計算結果影響顯著。巴特拉科夫在高斯方法的基礎上﹐用增加觀測資料的辦法﹐對記時有誤差的軌道計算法作了改進。近地衛星一天繞地球飛行十多圈﹐容易從觀測定準它的周期﹐因而也就知道了軌道半長徑﹐相應地提出了已知半長徑的軌道計算法。人造衛星離地球近﹐視差現象明顯﹐利用兩站或多站同步觀測容易求得衛星地心距﹐可以簡化經典計算方法。針對衛星攝動影響大的情況﹐又出現了考慮攝動的軌道計算法。儘管這些方法多種多樣﹐仍不外乎從觀測資料求得兩個點的嚮徑﹐或一個點的嚮徑和速度﹐從而得到軌道要素。
通過對人造衛星激光測距和多普勒測速﹐利用多站同步觀測﹐或結合光學觀測等方法﹐可以直接得到衛星的嚮徑和速度﹐從而求得衛星的軌道。應用高速電子計算機﹐可以進行復雜的迭代運算。因此﹐目前更多的是綜合各種類型的觀測資料作軌道改進﹐而不把精力放在初始軌道的計算上。現代技術條件已能使入軌後的衛星軌道同預定軌道相差不大。這樣﹐預定軌道就能作為初始軌道使用。
參考書目
p.r. escobal﹐methods of orbit determination﹐j.wiley and sons﹐new york﹐1965.
a. d. dubyago﹐ the determination of orbits﹐macmillan co.﹐new york﹐1961. | | 軌道計算
一種粗略測定天體軌道的方法。在軌道計算中﹐人們事先不必對天體軌道作任何初始估計﹐而是從若幹觀測資料出發﹐根據力學和幾何條件定出天體的初始軌道﹐以便及時跟蹤天體﹐或作為軌道改進的初值。為了計算六個軌道要素(見二體問題)﹐至少必須有三次光學觀測﹐因為每次觀測衹能得到天體坐標的兩個分量。
軌道計算是從研究彗星的運動開始的。在牛頓以前﹐對天體運動的研究基本上帶有幾何描述的性質。第𠔌首先試圖計算彗星軌道﹐但未獲成功。睏難在於衹能觀測彗星的方向﹐而不知道它同地球的距離﹐由於缺少力學規律的指引﹐無法根據這些定嚮資料求得天體的空間軌道。在牛頓運動定律和萬有引力定律發現螬o開普勒定律有了力學解釋﹐得到了橢圓運動的嚴格數學表達式﹐終於能利用少數幾次時間相隔不長的觀測來測定彗星的軌道。
拉普拉斯方法 第一個正式的軌道計算方法是牛頓提出的。他根據三次觀測的資料﹐用圖解法求出天體的軌道。哈雷用這個方法分析了1337～1698年間出現的24顆彗星﹐發現1531年﹑1607年和1682年出現的彗星是同一顆彗星﹐它就是有名的哈雷彗星。在這以後﹐歐拉﹑朗伯和拉格朗日等人也在軌道計算方面做了不少研究。拉普拉斯於1780年發表第一個完整的軌道計算的分析方法。這個方法不限製觀測的次數﹐首先根據幾次觀測﹐定出某一時刻天體在天球上的視位置(例如赤經﹑赤緯)及其一次﹑二次導數﹐然後從這六個量嚴格而又簡單地求出此時天體的空間坐標和速度﹐從而定出圓錐麯綫軌道的六個要素。這樣﹐拉普拉斯就將軌道計算轉化為一個微分方程的初值測定問題來處理。從分析觀點來看這是一個好方法﹐然而軌道計算是一個實際問題﹐要考慮結果的精確和計算的方便。拉普拉斯方法在實用上不甚方便。由於數值微分會放大誤差﹐這就需要用十分精確的觀測資料才能求出合理的導數。儘管許多人曾取得一定進展﹐但終究由於計算繁復﹐在解决實際問題時還是很少使用。
奧伯斯方法和高斯方法 與拉普拉斯不同﹐奧伯斯和高斯則認為﹐如果能根據觀測資料確定天體在兩個不同時刻的空間位置﹐那麽對應的軌道也就可以確定了。也就是說﹐奧伯斯和高斯把軌道計算轉化為一個邊值測定問題來處理。因此﹐問題的關鍵是如何根據三次定嚮觀測來定出天體在空間的位置。這既要考慮軌道的幾何特性﹐又要應用天體運動的力學定律。這些條件中最基本的一條是天體必須在通過太陽的平面上運動。由於從觀測掌握了天體在三個時刻的視方向﹐一旦確定了軌道平面的取嚮﹐除個別特殊情況外﹐天體在三個時刻的空間位置也就確定了。軌道平面的正確取嚮的條件是所確定的三個空間位置能滿足天體運動的力學定律﹐例如面積定律。
彗星軌道大都接近拋物綫﹐所以在計算軌道時﹐常將它們作為拋物綫處理。完整的拋物綫軌道計算方法是奧伯斯於1797年提出的。他采用牛頓的假設﹐得到了彗星地心距的關係式﹔再結合表示天體在拋物綫軌道上兩個時刻的嚮徑和弦關係的歐拉方程﹐求出彗星的地心距﹔從而求出彗星的拋物綫軌道。到現在為止﹐奧伯斯方法雖有不少改進﹐但基本原理並沒有變﹐仍然是一個常用的計算拋物綫軌道的方法。
1801年1月1日﹐皮亞齊發現了第一號小行星(𠔌神星)﹐不久高斯就算出了它的橢圓軌道﹐他的方法發表於1809年。高斯使用逐次近似法﹐先求出天體嚮徑所圍成的扇形面積與三角形面積之比﹐然後利用力學條件求得天體應有的空間位置﹐再從空間位置求得軌道。高斯不僅從理論上﹑而且從實際上解决了軌道計算問題。可以說﹐用三次觀測决定軌道的實際問題是高斯首先解决的。高斯以後﹐雖然有人提出一些新方法﹐但基本原理仍沒有變。
人造衛星軌道計算 計算小行星軌道的經典方法﹐原則上都能用來計算人造衛星的軌道。在考慮到人造衛星的運動特點之後﹐又提出了一些新的方法。人造衛星運動快﹐周期短﹐記時誤差對軌道計算結果影響顯著。巴特拉科夫在高斯方法的基礎上﹐用增加觀測資料的辦法﹐對記時有誤差的軌道計算法作了改進。近地衛星一天繞地球飛行十多圈﹐容易從觀測定準它的周期﹐因而也就知道了軌道半長徑﹐相應地提出了已知半長徑的軌道計算法。人造衛星離地球近﹐視差現象明顯﹐利用兩站或多站同步觀測容易求得衛星地心距﹐可以簡化經典計算方法。針對衛星攝動影響大的情況﹐又出現了考慮攝動的軌道計算法。儘管這些方法多種多樣﹐仍不外乎從觀測資料求得兩個點的嚮徑﹐或一個點的嚮徑和速度﹐從而得到軌道要素。
通過對人造衛星激光測距和多普勒測速﹐利用多站同步觀測﹐或結合光學觀測等方法﹐可以直接得到衛星的嚮徑和速度﹐從而求得衛星的軌道。應用高速電子計算機﹐可以進行復雜的迭代運算。因此﹐目前更多的是綜合各種類型的觀測資料作軌道改進﹐而不把精力放在初始軌道的計算上。現代技術條件已能使入軌後的衛星軌道同預定軌道相差不大。這樣﹐預定軌道就能作為初始軌道使用。
參考書目
P.R. Escobal﹐Methods of Orbit Determination﹐J.Wiley and Sons﹐New York﹐1965.
A. D. Dubyago﹐ The Determination of Orbits﹐Macmillan Co.﹐New York﹐1961.
月球軌道的計算： 計算機可精確地求解星球運動微分方程。本算法適用於用計算機求解任意多體問題的星球運動微分方程，也能精確地確認萬有引力公式本身和實際情況的相差程度。
一．計算機計算星球軌道原理。 以地球繞日運行為例，如圖1-1。地球受力如圖1-2。
為敘述方便，以下用矢量形式表達。
因為其中M太為太陽質量，M地為地球質量，G為萬有引力恆量，a為地球加速度,為單位矢量。所以我們可按等時間間隔dt（即等步長），以微分形式從地球的初值點逐點嚮下推算。設t=0時，地球的初值點為r0,v0和於是，地球經dt時間從初值點到達第一點,遞推式為,
由於dt是人為設定的，是已知的，因此地球到達1點的近似值v,r和a可由上式算出，算出1點值後，可把1點值作為初值，按步長dt繼續推算出下一點的值，如此，可推算到第n點。由於dt值取得越小，遞推的精度越高，我們可據此來控製計算誤差。
設要計算地球在t=T時的r值，要求計算誤差為e，t=0時的初值r0,a0,v0為已知。我們可將0到T的時間間隔劃分為n個dt，即令計算步長dt=T/n,然後根據上述，按步長dt從t=0時的初值點推算到t=n·dt=T時的r值。然後將dt二分，即令計算步長dt1=dt/2,再按此新步長值dt1從t=0時的初值點算到t=2·n·dt1=T時的r值為r2，比較一下二分前後的r值，即看一看是否滿足條件r2 - r<e,若滿足條件，則r2的值即為所要求的r值，若不滿足條件，則繼續二分，按新的步長值再從t=0時的初值點算到t=T時刻，直到新算出的r值滿足條件r2 - r<e，其中r和r2分別為二分前後的r值。註意，上面所說的矢量比較包含其大小比較和其方向比較。
以上為矢量表達，實際計算中，可將矢量v,r，a分別在x,y軸上投影，可得vx,vy,rx,ry,ax,ay。於是，它們的初始值分別為v0x,v0y,r0x,r0y,a0x,a0y。下面給出地球從初值點經dt時間運行到下一點的遞推式，
控製誤差範圍的條件為分別為二分前後在x,y方向的r值。
以上僅為計算機計算地球軌道的原理。實際上，每二分一次，從0到T時間範圍內的dt數量將增加一倍，計算機計算的工作量也將增加一倍。由於計算機的計算速度有限，因此二分次數也是有限的。為提高計算精度，減少計算機的計算工作量，有一些標準化的方法（註1），在此不再熬述。
由上述可知，計算機計算星球軌道主要有兩個要點。一是列出遞推式，二是確定誤差範圍的條件。
月球軌道計算見下頁。
註釋1：參見“計算機數值計算方法及程序設計”一書。該r書由周煦編著。於2004年10月由機械工業出版社出版。
二．月球軌道計算
由於地球的運動直接影響月球的運動，因此，先來分析一下地球的受力，如圖1-3所示。
在圖1-3中，o2x2y2z2坐標係是動坐標係，原點在地球中心。該坐標係跟隨地球作平動，且三個坐標軸x2,y2,z2始終分別平行於x,y,z三個坐標軸。r1 是地球的位置矢量，r是月球的位置矢量, r2 是月球相對地球的位置矢量。
F月地是月球對地球的引力，F太地是太陽對地球的引力。設r1 與x,y,z軸的夾角分別為α1，β1，γ1，r與x,y,z軸的夾角分別為α，β，γ，r2 與x2,y2,z2軸的夾角分別為α2,β2,γ2,則，地球在x,y,z方向所受合力為：
因此，地球在x,y,z方向的加速度：
月球的受力如圖1-4所示。月球在x,y,z方向所受合力為:
其中，F太月為太陽對月球的引力，F地月為地球對月球的引力。因此，月球的加速度為：
設a的初值為的初值為這樣，地球和月球從各自的初值點同時出發，經dt時間後，地球就到達了它的下一點於是可得如下遞推式：
(見下頁)
控製計算誤差的6個條件為：
其中分別為二分前後算出的地球坐標。再次說明一下，以上月球軌道的計算僅是計算機計算原理，實際編程應采取一些標準化方法，以提高計算精度，減少計算機的計算工作量。
目前，在月球軌道計算上，我已做到了，一天的計算誤差e<0.001米（即在x,y,z軸方向的計算誤差e）,也就是說一年的計算誤差e<365×0.001=0.365米。要核實萬有引力公式本身和實際情況的相差程度，可取兩組實際觀測值，一組觀測值作為計算的初值，另一組觀測值作核實之用，即核實用萬有引力公式來計算的星球軌道的準確程度。下面采用一組實際觀測值（註2）作為計算初值，讓計算機來計算一下月球的軌道。初值為：
下面給出計算結果。
以上計算的時間範圍是2006年。月球軌道半徑最大和最小值都是指平均值。觀測值由紫金山天文臺的工作人員提供。以上計算取計算時間t=366天，坐標計算誤差e< 0.366米。計算周期時，時間計算誤差小於0.05秒。由於天文臺提供的月球數據是相對地球坐標係的，地球坐標係和本文所述的動坐標係的關係是，將地球坐標係的yz平面以x軸為轉軸旋轉一個黃赤交角，就是本文所述的動坐標係。本文取黃赤交角為2326′。
註釋2：作為計算初值的觀測值的對應時刻為，2006年北京時間3月15日7時47.5分。該時刻恰好為半影月食的食甚時刻。為方便計算， 本文把該時刻定為零時刻。
下面給出從2006年3月月食食甚時刻計算到9月月食食甚時刻的地球和月球坐標。數據如下。
地球坐標（單位：米） | | guidao jisuan
軌道計算
orbit determination
一種粗略測定天體軌道的方法。在軌道計算中，人們事先不必對天體軌道作任何初始估計，而是從若幹觀測資料出發，根據力學和幾何條件定出天體的初始軌道，以便及時跟蹤天體，或作為軌道改進的初值。為了計算六個軌道要素（見二體問題），至少必須有三次光學觀測，因為每次觀測衹能得到天體坐標的兩個分量。
軌道計算是從研究彗星的運動開始的。在牛頓以前，對天體運動的研究基本上帶有幾何描述的性質。第𠔌首先試圖計算彗星軌道，但未獲成功。睏難在於衹能觀測彗星的方向，而不知道它同地球的距離，由於缺少力學規律的指引，無法根據這些定嚮資料求得天體的空間軌道。在牛頓運動定律和萬有引力定律發現後，開普勒定律有了力學解釋,得到了橢圓運動的嚴格數學表達式,終於能利用少數幾次時間相隔不長的觀測來測定彗星的軌道。
拉普拉斯方法 第一個正式的軌道計算方法是牛頓提出的。他根據三次觀測的資料，用圖解法求出天體的軌道。哈雷用這個方法分析了1337～1698年間出現的24顆彗星，發現1531年、1607年和1682年出現的彗星是同一顆彗星,它就是有名的哈雷彗星。在這以後,歐拉、朗伯和拉格朗日等人也在軌道計算方面做了不少研究。拉普拉斯於1780年發表第一個完整的軌道計算的分析方法。這個方法不限製觀測的次數，首先根據幾次觀測，定出某一時刻天體在天球上的視位置（例如赤經、赤緯）及其一次、二次導數，然後從這六個量嚴格而又簡單地求出此時天體的空間坐標和速度，從而定出圓錐麯綫軌道的六個要素。這樣，拉普拉斯就將軌道計算轉化為一個微分方程的初值測定問題來處理。從分析觀點來看這是一個好方法，然而軌道計算是一個實際問題，要考慮結果的精確和計算的方便。拉普拉斯方法在實用上不甚方便。由於數值微分會放大誤差，這就需要用十分精確的觀測資料才能求出合理的導數。儘管許多人曾設法降低這種過高的觀測要求，並取得一定進展，但終究由於計算繁復，在解决實際問題時還是很少使用。
奧伯斯方法和高斯方法 與拉普拉斯不同，奧伯斯和高斯則認為，如果能根據觀測資料確定天體在兩個不同時刻的空間位置，那麽對應的軌道也就可以確定了。也就是說，奧伯斯和高斯把軌道計算轉化為一個邊值測定問題來處理。因此，問題的關鍵是如何根據三次定嚮觀測來定出天體在空間的位置。這既要考慮軌道的幾何特性，又要應用天體運動的力學定律。這些條件中最基本的一條是天體必須在通過太陽的平面上運動。由於從觀測掌握了天體在三個時刻的視方向，一旦確定了軌道平面的取嚮，除個別特殊情況外，天體在三個時刻的空間位置也就確定了。軌道平面的正確取嚮的條件是所確定的三個空間位置能滿足天體運動的力學定律，例如面積定律。
彗星軌道大都接近拋物綫，所以在計算軌道時，常將它們作為拋物綫處理。完整的拋物綫軌道計算方法是奧伯斯於1797年提出的。他采用牛頓的假設，得到了彗星地心距的關係式；再結合表示天體在拋物綫軌道上兩個時刻的嚮徑和弦關係的歐拉方程，求出彗星的地心距；從而求出彗星的拋物綫軌道。到現在為止，奧伯斯方法雖有不少改進，但基本原理並沒有變，仍然是一個常用的計算拋物綫軌道的方法。
1801年1月1日，皮亞齊發現了第一號小行星（𠔌神星），不久高斯就算出了它的橢圓軌道，他的方法發表於1809年。高斯使用逐次近似法，先求出天體嚮徑所圍成的扇形面積與三角形面積之比，然後利用力學條件求得天體應有的空間位置，再從空間位置求得軌道。高斯不僅從理論上、而且從實際上解决了軌道計算 | | - : orbit calculation
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