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(Transcendental Functions)
變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方 運算表示的函數。
如對數函數，反三角函數，指數函數，三角函數等就屬於超越函數，如Y=SIN（X），Y=ARC COS（X）。。。它們屬於初等函數中的初等超越函數。
超越函數是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函數。說的更技術一些，單變量函數若為代數獨立於其變量的話，即稱此函數為越超函數。
對數和指數函數即為超越函數的例子。超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數。
非超越函數則稱為代數函數。代數函數的例子包括多項式和平方根函數。
一函數的不定積分運算是超越函數的豐富來源，如對數函數便來自倒數函數的不定積分。在微分代數裏，人們研究不定積分如何産生與某類“標準”函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。 |
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超越函數
transcendental function
超越函數【transe即dental fi.‘d:TPaHc雙eH八eHTna，
中y“K”H”1
狹義地說是復:平面C中非有理函數(ratlonal
function)的亞純函數(能mm。印hic丘加ction).特別
地，整超越函數即不是多項式的整函數(entireft川c-
加n)屬於這一類，例如指數函數。之，三角函數sinz，
cos:，雙麯函數sinh:，cosh:以及函數1/r(:)
(f(習是E山err函數(繆~fuzlcti卿1))等.整超
越函數衹在無窮遠處有一個本質奇點.真正的亞純超
越函數由下列事實刻畫:在有限平面C中出現極點構
成的有限或無窮集，而且在無窮遠處分別出現本質奇
點或極點的極限點;屬於此種類型的有，例如，三角
函數tan:，cot:，雙麯函數tanh:，coth:以及r函
數f(:).上述超越函數的定義可推廣到多復變量:-
(:.，…，:。)的空間C”(。)2)中的亞純函數f(:).
廣義地說，超越函數是任一這樣的(單值或多值)
解析函數，其值的計算除自變量的代數運算外，還需
要某種形式的極限過程.對於超越函數，典型的是盡
管出現奇點，此奇點也不是極點或代數分支點;例如
對數函數hi:有兩個超越分支點公=0和:=的.
解析函數是超越函數當且僅當其Rienlann麯面(Rie-
Tnann surface)是非緊的.
重要的超越函數類由經常遇到的特殊函數組成;
Eulerr函數(gm刀T以~IUnc加n)和B函數(beta版ulc-
tion)，超幾何函數(hyper羅ometricft川ction)和匯合
型超幾何函數(confluent hyPerg”metric ftulction)特
別是其特殊情形球面函數(印herical function)，柱函
數(ey血der func加ns)和Mathieu函數(Mathieu
且metions). |
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- n.: transcendental function
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