| | 纖維叢理論
1946年美國的斯丁路特、美籍華人陳省身、法國的艾勒斯曼共同提出纖維叢的理論
數學上,特別是在拓撲學中，一個纖維叢(fiber/fibre bundle)是一個局部看來像兩個空間的直積的空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢有個連續滿射
π?: e → b
使得e對於某個f (稱為纖維空間)局部看來象直積空間
b × f
(這裏局部表示在b上局部。) 一個可以整體上如此表達的叢(通過一個保持π的同胚)叫做平凡叢。叢的理論建立在如何用一些比這個直接的定義更簡單的方法表達叢不是平凡叢的意義的問題之上。
纖維叢擴展了矢量叢，矢量叢的主要實例就是流形的切叢。他們在微分拓撲和微分幾何領域有着重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。
形式化定義
一個纖維叢由四元組(e, b, π, f)組成, 其中e, b, f是拓撲空間而π?: e → b是一個 連續滿射，滿足下面給出的局部平凡條件。b稱為叢的基空間，e稱為總空間,而f稱為纖維。映射π稱為投影映射.下面我們假定基空間b是連通的。
我們要求對於b中的每個x,存在一個x的開鄰域u，使得π?1(u)是同胚於積空間u × f的, 並滿足π 轉過去就變成到第一個因子的投影。也就是一下的圖可交換:
其中proj1?: u × f → u是自然投影而φ?: π?1(u) → u × f是一個同胚。所有{(ui, φi)}的集合稱為叢的局部平凡化。
對於b中每個x,原象 π?1(x) 和f同胚並稱為x上的纖維.一個纖維叢(e, b, π, f)經常記為
以引入一個空間的短恰當序列。註意每個纖維從π?: e → b 都是一個開映射,因為積空間的投影是開映射。所以b 有由映射π决定的商拓撲.
一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是，e, b, f都必須是光滑流形而所有上面用到的函數都必須是光滑映射。這是纖維叢研究和使用的通常環境。
例子
令e = b × f 並令π?: e → b為對第一個因子的投影，則e是b上的叢.這裏e不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢.
莫比烏斯帶是圓上的非平凡叢。
最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶(m?bius strip). 莫比烏斯帶是一個以圓為基空間b並以綫段為纖維f的叢。對於一點 的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象π ? 1(u)在圖中是個 (有些扭轉的)切片，4個方塊寬一個方塊長。同胚φ把u的原象映到柱面的一塊:彎麯但不扭轉.
相應的平凡叢b × f看起來像一個圓柱, 但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。註意這個扭轉衹有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣(在其中任何一個竪直的切一刀會産生同樣的空間).
一個類似的非平凡叢是剋萊因瓶，它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環， s1 × s1.
一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。
纖維叢的一個特例，叫做矢量叢,是那些纖維為矢量空間的叢(要成為一個矢量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個綫性群)。矢量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和餘切叢。
另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。
一個球叢是一個纖維為n-球的纖維叢。給定一個有度量的矢量叢(例如黎曼流形的切叢),可以構造一個相應的單位球叢,其在一點x的纖維是所有ex的單位矢量的集合.
截面
纖維叢的截面 (section 或者 cross section)是一個連續映射f?: b → e使得 π(f(x))=x 對於所有b中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的特徵類理論。
截面經常衹被局部的定義(特別是當全局截面不存在時)。纖維叢的局部截面是一個連續映射f?: u → e 其中 u 是一個b中的開集而π(f(x))=x 對所有u中的x成立。若(u, φ)是一個局部平凡化圖，則局部截面在 u上總是存在的。這種截面和連續映射u → f有1-1對應。截面的集合組成一個層(sheaf)。
結構群(structure groups)和轉換函數(transition functions)
纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的兼容條件。特別的，令g為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間f上。不失一般性的，我們可以要求g有效的作用在f上，以便把它看成是f的同胚群。叢的一個g-圖集(e, b, π, f)是一個局部平凡化，使得對任何兩個重疊的圖(ui, φi)和(uj, φj) 函數
可以這樣給出:
其中 是一個稱為變化函數的連續映射。兩個g-圖集等效如果他們的並也是一個g-圖集。一個g-叢是一個有g-圖集等價類的纖維叢。群g成為該叢的結構群.
在光滑範疇中，一個g-叢是一個光滑纖維叢，其中g是一個李群而相應的在f上的作用是光滑的並且變換函數都是光滑映射。
變換函數tij滿足以下條件
tii(x) = 1
tij(x) = tji(x) ? 1
tik(x) = tij(x)tjk(x)
這三個條件用到重疊的三元組上叫做餘鏈條件cocycle condition (見?ech 上同調).
一個主叢 是一個g-叢，其纖維可以認為是g本身，並且有一個在全空間上的g的右作用保持纖維不變。 | | xianweicong
纖維叢
fibre bundle
可以看作是拓撲乘積的推廣。纖維叢概念産生於微分幾何的研究。纖維叢的係統研究始於20世紀30年代，它不僅在拓撲學和微分幾何學中占有重要地位，也被廣泛應用於其他數學和物理學分支。
纖維叢概念 假設空間□ 是空間□ 和□ 的拓撲乘積。設□:□=□×□→□為嚮第一個乘積因子的投影映射,則對於任意□□□□□□，□-1(□)均同胚於□。因此□可看作被分解為一族“□纖維”{□-1(□)}的聯合體。這些“纖維”相互聯合的方式是按照已知的乘積拓撲實現的□。纖維叢概念是將這種考慮作如下推廣。設□,□,□是拓撲空間,□:□→□是連續映射。若對於任意□□□□□,□ -1(□)均同胚於□,則說□被纖維化為一個以□為纖維型的叢。一般說來,□不是□與□的拓撲乘積。但假設“局部地”是拓撲乘積,即設□中每一點□均有包含□的一個開集□□□,和一個把□-1(□□)同胚地映成□□×□的映射□□,□□□使得對每個□□□□□□,□□把□-1(□)映為□×□,□是這些{□-1(□□)}的並集，因此□可看作是由這些拓撲乘積{□□×□}拼粘起來的。當□□□□□≠□時,□□×□和□□×□的拼粘方式如下:對每對□，如果□，即□，就將(□,□□)和(□,□□)粘起來,□□·□□是把□×□映為□×□的拓撲變換,所以它决定□的一個拓撲變換□□(□)。這裏□□(□)·□□=□□，因此□□×□和□□×□的拼粘就可以看作是藉助於一個連續映射□來作的，其中□是□的一個拓撲變換群,這些□□稱為轉移函數。因而就說有了一個纖維叢(□，□，□，□，□),這裏□稱為全空間,□為底空間，□為纖維型，□為投影，□為構造群。
例如，麥比烏斯帶是最簡單的非拓撲乘積的纖維叢。它由一條矩形長帶將其一對邊中之一扭轉 180°後與另一邊粘合而得(見閉麯面的分類、拓撲空間)。也可看作將一直綫段中點放在一個圓周上沿此圓周移動一周的同時，使該綫段翻轉180°而成。這是一個纖維叢,其全空間□為麥比烏斯帶，底空間 □為圓周，纖維型□為綫段，構造群□為□的一個至少包含關於中點的反射在內的拓撲變換群,□:□→□則是將每根直母綫映為與□之交點的映射。
齊性空間 一類重要的纖維叢。設□為拓撲群□的一個閉子群,□在□中的左陪集組成商空間□/□,設□:□→□/□為商映射，則在適當條件下(□,□□,□/□,□,□)成為一個纖維叢，且□作用在□/□上是可遷的變換群。
切叢 另一類重要的纖維叢。設М是一個實□維微分流形，□□(М)為М在點□處的切空間，將所有{□□(М)}用自然方式並起來，得一個2□維微分流形□□(М)，設□:□(М)→М為將□□(М)映成□，則得纖維叢□(М),□,М，□□,□□(□，□)，稱為М的切叢。類似地，還可定義М上的各型張量叢。
嚮量叢 以綫性空間為纖維型，一般綫性群為構造群的纖維叢稱為嚮量叢。切叢是最常見的重要的嚮量叢，將嚮量空間的運算施於嚮量叢的纖維，便得嚮量叢的運算。例如由直和與張量積得同底的嚮量叢的惠特尼和□與張量積□。
叢的誘導 轉移函數族｛□□｝表達了局部乘積拼粘為整體的全貌，因此它刻畫了叢結構。設給了連續映射□:□□→□，則函數族{□□□□}是□□上的一族轉移函數，從而確定□□上具有相同纖維型和構造群的纖維叢，稱為誘導叢。仿緊空間上相互同倫的映射誘導相同的叢。
主纖維叢 簡稱主叢。若纖維叢的纖維型就是構造群□，並且□在纖維□上的作用是左平移,則此纖維叢稱為主□叢。任一以□為構造群的纖維叢决定一個具有相同轉移函數族的主□叢，稱為相配的主□叢。由於纖維叢 | | | 主纖維叢 | 纖維叢論 | 誘導纖維叢 | | 纖維叢理論 | 等價纖維叢 | 平凡纖維叢 | | 相伴的纖維叢 | 復解析纖維叢 | 纖維叢拓撲學 | | 局部平凡纖維叢 | 神經節內纖維叢 | |
|
|
|