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【一】謂積纍時差。《𠔌梁傳·文公六年》：“閏月者，附月之餘日也，積分而成於月者也。” 範寧 註：“積衆月之餘分，以成此月。”
【二】元 、 明 、 清 三代國子監考核學生學習成績、選拔人才的方法。①《元史·選舉志一》：“ 泰定 三年夏六月，更積分而為貢舉，並依 世祖 舊製。” ②明·蘇伯衡 《送樓生用章赴國學序》：“業成然後積分，積分及格然後私試。”③《清史稿·選舉志一》：“積分歷事之法，國初行之。監生坐監期滿，撥歷部院練習政體。”
【三】（integration；integral）數學的一門學科；找出被積函數中一函數或解一微分方程的演算。
【四】（cumulative scoring）比賽分數的總和；一個積纍起來的分數，現在網上，有很多的積分活動。象各種電子郵箱，qq等。 |
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設F(x)是函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)+C（C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分。
記作∫f(x)dx。
其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。
由定義可知：
求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數，由原函數的性質可知，衹要求出函數f(x)的一個原函數，再加上任意的常數C，就得到函數f(x)的不定積分。
也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導函數,求原函數. |
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衆所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一函數的導數，而積分是已知一函數的導數，求這一函數。所以，微分與積分互為逆運算。
實際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導數求原函數，而若F(x)的導數是f(x)，那麽F(x)+C（C是常數）的導數也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數也是f(x)，C是無窮無盡的常數，所以f(x)積分的結果有無數個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。
而相對於不定積分，就是定積分。
所謂定積分，其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是確定的，是一個數，而不是一個函數。
定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標係上的函數的圖象用平行於y軸的直綫和x軸把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形纍加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a、b。
我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再纍加起來，而積分的本質是求一個函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯繫，那麽為什麽定積分寫成積分的形式呢？
定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再纍加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：
若F'(x)=f(x)
那麽∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數的值與下限在原函數的值的差。
正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯繫，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。 |
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積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用於求和，通俗的說是求麯邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質决定的。
一個函數的不定積分（亦稱原函數）指另一族函數，這一族函數的導函數恰為前一函數。
其中：[F(x) + C]' = f(x)
一個實變函數在區間[a,b]上的定積分，是一個實數。它等於該函數的一個原函數在b的值減去在a的值。
積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數學概念。定積分和不定積分的統稱。不定積分是為解决求導和微分的逆運算而提出的。例如：已知定義在區間I上的函數f（x)，求一條麯綫y＝F（x），x∈I，使得它在每一點的切綫斜率為F′（x）＝ f（x）。函數f（x）的不定積分是f（x）的全體原函數（見原函數），記作 。如果F(x)是f(x)的一個原函數，則 ，其中C為任意常數。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。y＝f（x）為定義在[a，b］上的函數，為求由x＝a，x＝b ，y＝0和y＝f（x）所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小範圍內以直代麯，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將[a，b］分成n等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，取ζi∈[xi-1，xi］，記Δxi＝xi－xi-1，，則pn為S的近似值，當n→＋∞時，pn的極限應可作為面積S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念：對於定義在[a，b］上的函數y＝f（x），作分劃a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，若存在一個與分劃及ζi∈[xi-1，xi］的取法都無關的常數I，使得,其中則稱I為f（x）在[a，b］上的定積分，表為即 稱[a，b］為積分區間，f（x）為被積函數，a，b分別稱為積分的上限和下限。當f（x）的原函數存在時，定積分的計算可轉化為求f（x）的不定積分：這是c牛頓萊布尼茲公式。
以上講的是傳統意義上的積分也即黎曼積分。
還有遊戲的積分，又名經驗值（EXP） |
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jifen
積分
integral
定積分（黎曼積分）與不定積分的統稱；它們作為對函數的運算，是求導(函)數和微分運算的逆運算。定義在一個區間內的某個函數□(□)的不定積分是以□(□)為其導函數的所有函數，即所謂“原函數”。其一般表達式是□(□)+□，其中□(□)是□(□)的任何一個原函數，而□是任意常數（稱為積分常數），記為
□。函數□(□)在區間[□,□]上的定積分,是一個特殊形式的有限和，即所謂“黎曼和”的極限：
□，式中□(□0=□,□□=□);□為最大的□□□；□□為小區間□□□上的任一點。
這裏所說的函數都是有窮區間上的有界函數。對區間有窮與函數有界兩個方面加以推廣，作為定積分之極限的廣義積分，有無窮積分和瑕積分。當積分中被積函數含有一個參變量時,其值便成為這個參變量的函數,而積分本身便成為這個函數的一個分析表達式，稱為參變積分（見積分學）。
這些積分概念都推廣到了多元函數（見多元微積分學），更進一步的推廣是實變函數論中的勒貝格積分。
（袁傳寬）
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- n.: game, integral, integration
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