| | | 也稱海倫秦九韶公式”。設三角形的三邊長為a、b、c，p=a+b+c2，則三角形面積△=p(p-a)(p-b)(p-c)。此公式由希臘數學家海倫發現，故名。中國南宋數學家秦九韶發現類似公式△=14c2a2-c2+a2-b222。他把三角形三邊分別叫做大斜、中斜和小斜，故該式也稱三斜求積公式。 | | 海倫公式又譯作希倫公式、海竜公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫（heron,也稱海竜）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據morris kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以托希倫二世的名發表（未查證）。 我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。
假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積s可由以下公式求得：
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式裏的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
註："metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和s=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。
——————————————————————————————————————————————
由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，衹需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。
證明（1）：
與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，則餘弦定理為
cosc = (a^2+b^2-c^2)/2ab
s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√(1-cos^2 c)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角型abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）：
我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家九韶提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
當p＝1時，△ 2＝q,
s△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8s(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。 | | 海倫公式又譯作希倫公式、海竜公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫
（Heron,也稱海竜）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以托希倫二世的名發表（未查證）。 我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。
假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式裏的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
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註1："Metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。
——————————————————————————————————————————————
由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，衹需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。
證明（1）：
與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則餘弦定理為
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）：
我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家九韶提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
當P＝1時，△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=c/2*根號下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這裏用海倫公式的推廣
S圓內接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s=8√ 3
海倫公式的幾種另證及其推廣
關於三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：
設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內切圓的半徑，p = (a+b+c),則
S△ABC =1/2 aha=1/2 ab×sinC =1/2 r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海倫公式，在希臘數學家海倫的著作《測地術》中有記載。
海倫公式在解題中有十分重要的應用。
一、 海倫公式的變形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海倫公式的證明
證一 勾股定理
分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC = aha/2入手，運用勾股定理推導出海倫公式。
證明：如圖ha⊥BC，根據勾股定理，得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此時S△ABC為變形④，故得證。
證二：斯氏定理
分析：在證一的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點D，
若BD=u，DC=v,AD=t.則
t 2 =
證明：由證一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此時為S△ABC的變形⑤，故得證。
證三：餘弦定理
分析：由變形② S = 可知，運用餘弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。
證明：要證明S =
則要證S =
=
= ab×sinC
此時S = ab×sinC為三角形計算公式，故得證。
證四：恆等式
分析：考慮運用S△ABC =r p，因為有三角形內接圓半徑出現，可考慮應用三角函數的恆等式。
恆等式：若∠A+∠B+∠C =180○那麽
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
證明：如圖，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根據恆等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如圖可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
兩邊同乘以 ，得：
r 2 · =
兩邊開方，得： r · =
左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①，故得證。
證五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
證明：根據tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
∵由證一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得證。
三、 海倫公式的推廣
由於在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由於三角形內接於圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內接與圓的四邊形ABCD中，設p= ,則S四邊形=
現根據猜想進行證明。
證明：如圖，延長DA，CB交於點E。
設EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由於S四邊形ABCD = S△EAB
將①，②跟b = 代入公式變形④，得：
∴S四邊形ABCD =
所以，海倫公式的推廣得證。
四、 海倫公式的推廣的應用
海倫公式的推廣在實際解題中有着廣泛的應用，特別是在有關圓內接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事倍功半。
例題：如圖，四邊形ABCD內接於圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求：四邊形可能為等腰梯形。
解：設BC = x
由海倫公式的推廣，得：
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
當x = 1時，AD = BC = 1
∴ 四邊形可能為等腰梯形。
在程序中實現(VBS):
Dim a,b,c,p,s
a=inputbox("輸入三角形第一邊")
a=cint(a)
b=inputbox("輸入三角形第二邊")
b=cint(b)
c=inputbox("輸入三角形第三邊")
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgbox s, ,"三角形面積"
在VC中實現
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int a,b,c,s;
printf("輸入第一邊n");
scanf("%d",&a);
printf("輸入第二邊n");
scanf("%d",&b);
printf("輸入第三邊n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面積為:%fn",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
海倫公式 | | |
|
|