| | 【尺規作圖的簡介】
尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什麽，畫一個圓又不知道它的半徑，畫綫段又沒有精確的長度。其實尺規作圖的用處很大，比如單用圓規找出一個圓的圓心，量度一個角的角度，等等。運用尺規作圖可以畫出與某個角相等的角，十分方便。
尺規作圖是起源於古希臘的數學課題。衹使用圓規和直尺，並且衹准許使用有限次，來解决不同的平面幾何作圖題。
平面幾何作圖，限製衹能用直尺、圓規。在歷史上最先明確提出尺規限製的是伊諾皮迪斯。他發現以下作圖法：在已知直綫的已知點上作一角與已知角相等。這件事的重要性並不在於這個角的實際作出，而是在尺規的限製下從理論上去解决這個問題。在這以前，許多作圖題是不限工具的。伊諾皮迪斯以後，尺規的限製逐漸成為一種公約,最後總結在《幾何原本》之中。
若幹著名的尺規作圖已知是不可能的，而當中很多不可能證明是利用了由19世紀出現的伽羅華理論。儘管如此，仍有很多業餘愛好者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角最受註意。數學家underwood dudley曾把一些宣告解决了這些不可能問題的錯誤作法結集成書。
■尺規作圖的基本要求
·它使用的直尺和圓規帶有想像性質，跟現實中的並非完全相同：
·直尺必須沒有刻度，無限長，且衹能使用直尺的固定一側。衹可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度。
·圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它衹可以拉開成你之前構造過的長度。
■五種基本作圖
·作一個角等於已知角
·平分已知角
·作已知直綫的垂直平分綫
·作一條綫段等於已知綫段
·過一點作已知直綫的垂綫
■尺規作圖公法
以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：
·通過兩個已知點可作一直綫。
·已知圓心和半徑可作一個圓。
·若兩已知直綫相交，可求其交點。 正五邊形尺規作圖
·若已知直綫和一已知圓相交，可求其交點。
·若兩已知圓相交，可求其交點。
【尺規作圖的著名問題】
尺規作圖不能問題就是不可能用尺規作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題：
■三等分角問題：三等分一個任意角；
■倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；
■化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等於已知圓的面積。
以上三個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題，但在歐幾裏得幾何學的限製下，以上三個問題都不可能解决的。直至1837年，法國數學家萬芝爾纔首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規作圖不能問題。而後在1882年德國數學家林德曼證明π是超越數後，“化圓為方”也被證明為尺規作圖不能問題。
還有另外兩個著名問題：
■正多邊形作法
·衹使用直尺和圓規，作正五邊形。
·衹使用直尺和圓規，作正六邊形。
·衹使用直尺和圓規，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規作出的。
·衹使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以把一個角分成三等份的。
·問題的解决：高斯，大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件：尺規作圖正多邊·形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積，解决了兩千年來懸而未决的難題。·
■四等分圓周
衹准許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分．這個問題傳言是拿破侖·波拿巴出的，嚮全法國數學家的挑戰。
【尺規作圖的相關延伸】
用生銹圓規(即半徑固定的圓規)作圖
■衹用直尺及生銹圓規作正五邊形
■生銹圓規作圖,已知兩點a、b，找出一點c使得ab = bc = ca。
■已知兩點a、b，衹用半徑固定的圓規，求作c使c是綫段ab的中點。
■尺規作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發的，能更簡潔的表達嗎？順着這思路就有了更簡潔的表達。
10世紀時，有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖。 1672年，有人證明：如果把“作直綫”解釋為“作出直綫上的2點”，那麽凡是尺規能作的，單用圓規也能作出！從已知點作出新點的幾種情況：兩弧交點、直綫與弧交點、兩直綫交點 ，在已有一個圓的情況下，那麽凡是尺規能作的，單用直尺也能作出！。
【尺規作圖所推動的】
由詞條以上內容可以看出，幾何三大問題如果不限製作圖工具，便很容易解决.從歷史上看，好些數學結果是為解决三大問題而得出的副産品，特別是開創了對圓錐麯綫的研究，發現了一批著名的麯綫，等等.不僅如此，三大問題還和近代的方程論、群論等數學分支發生了關係.
正五邊形的畫法]
(1)已知邊長作正五邊形的近似畫法如下:
①作綫段ab等於定長l,並分別以a,b為圓心,已知長l為半徑畫弧與ab的中垂綫交於k.
③以 c為圓心,已知邊長 ab為半徑畫弧,分別與前兩弧相交於m,n.
④順次連接a,b,n,c,m各點即近似作得所要求的正五邊形.
(2) 圓內接正五邊形的畫法如下:
①以o為圓心,定長r為半徑畫圓,並作互相垂直的直徑mn和 ap.
② 平分半徑on,得ok=kn.
③以 k為圓心,ka為半徑畫弧與 om交於 h, ah即為正五邊形的邊長.
④以ah為弦長,在圓周上截得a,b,c,d,e各點,順次連接這些點即得正五邊形.
3.民間口訣畫正五邊形
口訣介紹:"九五頂五九,八五兩邊分."
作法:
畫法:
1.畫綫段ab=20mm,
2.作綫段ab的垂直平分綫,垂足為g.
3.在l上連續截取gh,hd,使 gh=5.9/5*10mm=19mm,
hd=5.9/5*10mm=11.8mm
4.過h作ec⊥cg,在ec上截取hc=he=8/5*10mm=16mm,
5.連結de,ea,ec,bc,cd,
五邊形abcde就是邊長為20mm的近似正五邊形.
這裏提供以下兩種作法僅供參考：
1、已知邊長作正五邊形的近似畫法如下： （1）作綫段ab等於定長l，並分別以a、b為圓心，已知長l為半徑畫弧與ab的中垂綫交於k. （2）以k為圓心，取ab的2/3長度為半徑嚮外側取c點，使ch=2/3ab （3）以 c為圓心，已知邊長 ab為半徑畫弧，分別與前兩弧相交於m、n. （4）順次連接a、b、n、c、m各點即近似作得所要求的正五邊形.
2、 圓內接正五邊形的畫法如下： （1）以o為圓心，定長r為半徑畫圓，並作互相垂直的直徑mn和 ap. （2）平分半徑on，得ok=kn. （3）以 k為圓心，ka為半徑畫弧與 om交於 h， ah即為正五邊形的邊長. （4）以ah為弦長，在圓周上截得a、b、c、d、e各點，順次連接這些點即得正五邊形。 | | ·若已知直綫和一已知圓相交，可求其交點。
·若兩已知圓相交，可求其交點。
【尺規作圖的著名問題】
尺規作圖不能問題就是不可能用尺規作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題：
■三等分角問題：三等分一個任意角；
■倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；
■化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等於已知圓的面積。
以上三個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題，但在歐幾裏得幾何學的限製下，以上三個問題都不可能解决的。直至1837年，法國數學家萬芝爾纔首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規作圖不能問題。而後在1882年德國數學家林德曼證明π是超越數後，“化圓為方”也被證明為尺規作圖不能問題。
還有另外兩個著名問題：
■正多邊形作法
·衹使用直尺和圓規，作正五邊形。
·衹使用直尺和圓規，作正六邊形。
·衹使用直尺和圓規，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規作出的。
·衹使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以把一個角分成三等份的。
·問題的解决：德國數學家高斯，在他僅20歲左右，大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件：尺規作圖正多邊·形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積，即n=2k（2的k次幂）或 2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s為右下角標）其中，p1，p2，…，ps是費馬素數．解决了兩千年來懸而未决的難題。根據高斯的理論，還有一位德國格丁根大學教授作了正257邊形．
· 費馬素數：17世紀的費馬，他研究了形如Fi （i為右下角標）＝22i（底數2指數2的i次幂）＋1 的數．
費馬的一個著名猜想是，當 n≥3時，不定方程xn＋yn＝zn沒有正整數解．現在他又猜測Fi都是素數，對於i＝0，1，2，3，4時，容易算出來相應的Fi：
F0＝3，F1＝5，F2＝17，
F3=257，F4=65 537
驗證一下，這五個數的確是素數．F5=225+1是否素數呢？僅這麽一個問題就差不多一百年之後纔有了一個結論，偉大的歐拉發現它竟不是素數，因而，偉大的費馬這回可是猜錯了！F5是兩素數之積：
F5＝641×6 700 417．
當然，這一事例多少也說明：判斷一個較大的數是否素數也决不是件簡單的事，不然，何以需要等近百年？何以需要歐拉這樣的人來解决問題？
更奇怪的是，不僅F5不是素數，F6，F7也不是素數，F8，F9，F10，F11等還不是素數，甚至，對於F14也能判斷它不是素數，但是它的任何真因數還不知道．至今，人們還衹知F0，F1，F2，F3，F4這樣5個數是素數．由於除此而外還未發現其他素數，於是人們産生了一個與費馬的猜想大相徑庭的猜想，形如22i＋1的素數衹有有限個．但對此也未能加以證明．
當然，形如Fi=22i+1的素數被稱為費馬素數．由於素數分解的艱難，不僅對形如Fi=22i+1的數的一般結論很難做出，而且具體分解某個Fi也不是一件簡單的事．
■四等分圓周
衹准許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分．這個問題傳言是拿破侖·波拿巴出的，嚮全法國數學家的挑戰。
【尺規作圖的相關延伸】
用生銹圓規(即半徑固定的圓規)作圖
■衹用直尺及生銹圓規作正五邊形
■生銹圓規作圖,已知兩點A、B，找出一點C使得AB = BC = CA。
■已知兩點A、B，衹用半徑固定的圓規，求作C使C是綫段AB的中點。
■尺規作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發的，能更簡潔的表達嗎？順着這思路就有了更簡潔的表達。
10世紀時，有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖。 1672年，有人證明：如果把“作直綫”解釋為“作出直綫上的2點”，那麽凡是尺規能作的，單用圓規也能作出！從已知點作出新點的幾種情況：兩弧交點、直綫與弧交點、兩直綫交點 ，在已有一個圓的情況下，那麽凡是尺規能作的，單用直尺也能作出！。
【尺規作圖所推動的】
由詞條以上內容可以看出，幾何三大問題如果不限製作圖工具，便很容易解决.從歷史上看，好些數學結果是為解决三大問題而得出的副産品，特別是開創了對圓錐麯綫的研究，發現了一批著名的麯綫，等等.不僅如此，三大問題還和近代的方程論、群論等數學分支發生了關係.
正五邊形的畫法]
(1)已知邊長作正五邊形的近似畫法如下:
①作綫段AB等於定長l,並分別以A,B為圓心,已知長l為半徑畫弧與AB的中垂綫交於K.
②以K為圓心，取AB的2/3長度為半徑嚮外側取C點，使CK=2/3AB.
③以 C為圓心,已知邊長 AB為半徑畫弧,分別與前兩弧相交於M,N.
④順次連接A,B,N,C,M各點即近似作得所要求的正五邊形.
(2) 圓內接正五邊形的畫法如下:
①以O為圓心,定長R為半徑畫圓,並作互相垂直的直徑MN和 AP.
② 平分半徑ON,得OK=KN.
③以 K為圓心,KA為半徑畫弧與 OM交於 H, AH即為正五邊形的邊長.
④以AH為弦長,在圓周上截得A,B,C,D,E各點,順次連接這些點即得正五邊形.
3.民間口訣畫正五邊形
口訣介紹:"九五頂五九,八五兩邊分."
作法:
畫法:
1.畫綫段AB=20mm,
2.作綫段AB的垂直平分綫,垂足為G.
3.在l上連續截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,
HD=5.9/5*10mm=11.8mm
4.過H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,
5.連結DE,EA,EC,BC,CD,
五邊形ABCDE就是邊長為20mm的近似正五邊形.
這裏提供以下兩種作法僅供參考：
1、已知邊長作正五邊形的近似畫法如下： （1）作綫段AB等於定長l，並分別以A、B為圓心，已知長l為半徑畫弧與AB的中垂綫交於K. （2）以K為圓心，取AB的2/3長度為半徑嚮外側取C點，使CH=2/3AB （3）以 C為圓心，已知邊長 AB為半徑畫弧，分別與前兩弧相交於M、N. （4）順次連接A、B、N、C、M各點即近似作得所要求的正五邊形.
2、 圓內接正五邊形的畫法如下： （1）以O為圓心，定長R為半徑畫圓，並作互相垂直的直徑MN和 AP. （2）平分半徑ON，得OK=KN. （3）以 K為圓心，KA為半徑畫弧與 OM交於 H， AH即為正五邊形的邊長. （4）以AH為弦長，在圓周上截得A、B、C、D、E各點，順次連接這些點即得正五邊形。
正五邊形的另一種尺規準確畫法
1.作綫段AB
2.作綫段AB的垂直平分綫HI垂足為H(基本作圖)
3.以綫段AB為一邊,作正方形(不會作,看下面小步驟)
(1)以點A為圓心,適當長為半徑,畫弧,交直綫AB(看清楚,是直綫)於點C、D。
（2）分別以點C、D為圓心，大於二分之一CD長為半徑，畫弧，兩弧交於點E。
（3）過點E作直綫AE，並以點A為端點在直綫AE上截取綫段AF=AB。
（4）以點F、B為圓心，綫段AB長為半徑，畫弧，兩弧交於點G。
（5）連結綫段FG、BG。則四邊形ABGF為正方形。
4.繼續。以點H為圓心，綫段HG長為半徑，畫弧，交射綫HC於點J。
5.分別以點A、J為圓心，綫段AB長為半徑畫弧，兩弧交於點K，連結AK BK。
6.作綫段HJ的垂直平分綫L。
7.以點J為圓心，綫段AK長為半徑，畫弧，交直綫L於點M
8.再分別以點A。M為圓心，綫段AK長為半徑，畫弧，兩弧交於點N
連結JM、MN、AN
五邊形AJBMN就是正五邊形了！ |
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