歐拉公式
簡單多面體的頂點數v、面數f及棱數e間有關係
v+f-e=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
認識歐拉
歐拉,瑞士數學家,13歲進巴塞爾大學讀書,得到著名數學家貝努利的精心指導.歐拉是科學史上最多産的一位傑出的數學家,他從19歲開始發表論文,直到76歲,他那不倦的一生,共寫下了886本書籍和論文,其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作,整整用了47年。
歐拉著作驚人的高産並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神,可以使他在任何不良的環境中工作:他常常抱着孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間,也沒有停止對數學的研究,口述了好幾本書和400餘篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。歐拉永遠是我們可敬的老師。
歐拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支,對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究!有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數學教材在當時一直被當作標準教程。19世紀偉大的數學家高斯(gauss,1777-1855)曾說過“研究歐拉的著作永遠是瞭解數學的最好方法”。歐拉還是數學符號發明者,他創設的許多數學符號,例如π,i,e,sin,cos,tg,σ,f (x)等等,至今沿用。
歐拉不僅解决了彗星軌跡的計算問題,還解决了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創了“圖論”的研究。歐拉發現,不論什麽形狀的凸多面體,其頂點數v、棱數e、面數f之間總有關係v+f-e=2,此式稱為歐拉公式。v+f-e即歐拉示性數,已成為“拓撲學”的基礎概念。那麽什麽是“拓撲學”? 歐拉是如何發現這個關係的?他是用什麽方法研究的?今天讓我們沿着歐拉的足跡,懷着崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式......
歐拉定理的意義
(1)數學規律:公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律
(2)思想方法創新:定理發現證明過程中,觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜製成的,可隨意拉伸;方法上將底面剪掉,化為平面圖形(立體圖→平面拉開圖)。
(3)引入拓撲學:從立體圖到拉開圖,各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化,而頂點數,面數,棱數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域:拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形,拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
(4)提出多面體分類方法:
在歐拉公式中, f (p)=v+f-e 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們,簡單多面體f (p)=2。
除簡單多面體外,還有非簡單多面體。例如,將長方體挖去一個洞,連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面,而能變為一個環面。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0,即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。
(5)利用歐拉定理可解决一些實際問題
如:為什麽正多面體衹有5種? 足球與c60的關係?否有棱數為7的正多面體?等
歐拉定理的證明
方法1:(利用幾何畫板)
逐步減少多面體的棱數,分析v+f-e
先以簡單的四面體abcd為例分析證法。
去掉一個面,使它變為平面圖形,四面體頂點數v、棱數v與剩下的面數f1變形後都沒有變。因此,要研究v、e和f關係,衹需去掉一個面變為平面圖形,證v+f1-e=1
(1)去掉一條棱,就減少一個面,v+f1-e不變。依次去掉所有的面,變為“樹枝形”。
(2)從剩下的樹枝形中,每去掉一條棱,就減少一個頂點,v+f1-e不變,直至衹剩下一條棱。
以上過程v+f1-e不變,v+f1-e=1,所以加上去掉的一個面,v+f-e =2。
對任意的簡單多面體,運用這樣的方法,都是衹剩下一條綫段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2:計算多面體各面內角和
設多面體頂點數v,面數f,棱數e。剪掉一個面,使它變為平面圖形(拉開圖),求所有面內角總和σα
一方面,在原圖中利用各面求內角總和。
設有f個面,各面的邊數為n1,n2,…,nf,各面內角總和為:
σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800
=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 (1)
另一方面,在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形,其內角和為(n-2)·1800,則所有v個頂點中,有n個頂點在邊上,v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內角和為(v-n)·3600,邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·1800。
所以,多面體各面的內角總和:
σα = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=(v-2)·3600. (2)
由(1)(2)得: (e-f) ·3600 =(v-2)·3600
所以 v+f-e=2.
歐拉定理的運用方法
(1)分式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
(2)復數
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2
(3)三角形
設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則:
d^2=r^2-2rr
(4)多面體
設v為頂點數,e為棱數,f是面數,則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數,例如
p=0 的多面體叫第零類多面體
p=1 的多面體叫第一類多面體
(5) 多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為v,劃分區域數為ar,一筆畫筆數為b,則有:
v+ar-b=1
(如:矩形加上兩條對角綫所組成的圖形,v=5,ar=4,b=8)
(6). 歐拉定理
在同一個三角形中,它的外心circumcenter、重心gravity、九點圓圓心nine-point-center、垂心orthocenter共綫。
其實歐拉公式是有很多的,上面僅是幾個常用的。
使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數
問:足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成,計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型?
答:足球是多面體,滿足歐拉公式f-e+v=2,其中f,e,v分別表示面,棱,頂點的個數
設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個,那麽
面數f=x+y
棱數e=(5x+6y)/2(每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用)
頂點數v=(5x+6y)/3(每個頂點由三塊皮子共用)
由歐拉公式,x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2,解得x=12
所以共有12塊黑皮子
所以,黑皮子一共有12×5=60條棱,這60條棱都是與白皮子縫合在一起的
對於白皮子來說:每塊白色皮子的6條邊中,有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起,另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起,所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的
那麽白皮子就應該一共有60×2=120條邊,120÷6=20
所以共有20塊白皮子 |
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