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| 長圓形。 |
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| 一種規則的卵形綫;特指平面兩定點(焦點)的距離之和為一常數的所有點的軌跡 |
亦作"橢圜" Also as "elliptical won" |
亦作“橢圜 ”。
長圓形。 清 姚鼐 《羅雨峰鬼趣圖》詩：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或橢圜，橫斜直麯枉。” 楊沫 《青春之歌》第一部第一章：“她的臉龐是橢圓的、白晳的，晶瑩得好像透明的玉石。” |
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橢圓是一種圓錐麯綫（也有人叫圓錐截綫的），現在高中教材上有兩種定義：
1、平面上到兩點距離之和為定值的點的集合（該定值大於兩點間距離）（這兩個定點也稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離叫做焦距）；
2、平面上到定點距離與到定直綫間距離之比為常數的點的集合（定點不在定直綫上，該常數為小於1的正數）（該定點為橢圓的焦點，該直綫稱為橢圓的準綫）。這兩個定義是等價的 |
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高中課本在平面直角坐標係中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條綫段，它們分別叫橢圓的長半軸和短半軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，準綫方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ |
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 椭圆 公式 椭圆 公式
s=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).
或s=π(圓周率)×a×b/4(其中a,b分別是橢圓的長軸,短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。
橢圓周長(l)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
l = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)積分, 其中a為橢圓長軸,e為離心率 |
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由於平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬於一種圓錐截綫。
例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端嚮中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麽會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。
設兩點為f1、f2
對於截面上任意一點p，過p做圓柱的母綫q1、q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於q1、q2
則pf1=pq1、pf2=pq2，所以pf1+pf2=q1q2
由定義1知：截面是一個橢圓，且以f1、f2為焦點
用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓
橢圓有一些光學性質：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光綫全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有彙聚光綫的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明） |
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| 關於圓錐截綫的某些歷史：圓錐截綫的發現和研究起始於古希臘。 euclid, archimedes, apollonius, pappus 等幾何學大師都熱衷於圓錐截綫的研究，而且都有專著論述其幾何性質，其中以 apollonius 所著的八册《圓錐截綫論》集其大成，可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對於這種既簡樸又完美的麯綫的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種麯綫；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，kepler 行星運行三定律的發現纔知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。kepler 三定律乃是近代科學開天劈地的重大突破，它不但開創了天文學的新紀元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見，圓錐截綫不單單是幾何學家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。 |
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平面內與兩定點F、F＇的距離的和等於常數2a的動點P的軌跡叫做橢圓。
即：│PF│+│PF＇│=2a
其中兩定點F、F＇叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離│FF＇│叫做橢圓的焦距。 |
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平面上到定點F距離與到定直綫間距離之比為常數的點的集合（定點F不在定直綫上，該常數為小於1的正數）
其中定點F為橢圓的焦點，定直綫稱為橢圓的準綫。
橢圓的其他定義根據橢圓的一條重要性質也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連綫的斜率之積是定值可以得出：平面內與兩定點的連綫的斜率之積是常數k的動點的軌跡是橢圓，此時k應滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況 |
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高中課本在平面直角坐標係中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為坐標軸。
橢圓的標準方程有兩種，取决於焦點所在的坐標軸：
1）焦點在X軸時，標準方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
2）焦點在Y軸時，標準方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條綫段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當a>b時，焦點在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長.短半軸的關係:b^2=a^2-c^2 ,準綫方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標準方程的統一形式。
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
標準形式的橢圓在x0，y0點的切綫就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1 |
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橢圓的面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).
或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。
橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準綫的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準綫距離為PL，則
e=PF/PL
橢圓的準綫方程
x=±a^2/C
橢圓的離心率公式
e=c/a(e<1,因為2a>2c)
橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準綫(如焦點（c,0）與準綫x=+a^2/C)的距離,數值=b^2/c
橢圓焦半徑公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
橢圓過右焦點的半徑r=a-ex
過左焦點的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直綫與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a
點與橢圓位置關係 點M（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1
點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直綫與橢圓位置關係
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△＜0無交點
相交△＞0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
橢圓通徑（定義：圓錐麯綫（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）公式：2b^2/a
橢圓的斜率公式 過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點（x，y）的切綫斜率為b^2*X/a^2y |
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求解橢圓上點到定點或到定直綫距離的最值時，用參數坐標可將問題轉化為三角函數問題求解
相關性質
由於平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬於一種圓錐截綫。
例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端嚮中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麽會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。
設兩點為F1、F2
對於截面上任意一點P，過P做圓柱的母綫Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2
則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點
用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓
橢圓有一些光學性質：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光綫全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有彙聚光綫的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）。
-----關於圓錐截綫的某些歷史：圓錐截線的發現和研究起始於古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學大師都熱衷於圓錐截線的研究，而且都有專著論述其幾何性質，其中以 Apollonius 所著的八册《圓錐截線論》集其大成，可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對於這種既簡樸又完美的麯線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種麯線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，Kepler 行星運行三定律的發現纔知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學開天劈地的重大突破，它不但開創了天文學的新紀元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見，圓錐截線不單單是幾何學家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。
已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的離心率為√6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為√3.（1）求橢圓C的方程.（2）直綫l：y=x+1與橢圓交與a，b兩點，P為橢圓上一點，求△PAB面積的最大值.（3）設直綫l與橢圓C交與A，B兩點，坐標原點O到直綫l的距離為√3/2，求△AOB面積的最大值. 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右焦點的距離相等(橢圓的定義），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c==√2，b=√(a²-c²),b=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，二，要求面積，顯然已ab作為三角形的底邊，聯立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦長公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括號表示絶對值）弦長=3√2/2,對於p點面積最大，它到弦的距離應最大，假設已經找到p到弦的距離最大，過p做弦的平行綫，可以 發現這個平行綫是橢圓的切綫是纔會最大，這個切綫和弦平行故斜率和弦的斜率=，設y=x+m,利用判別式等於0，求的m=2,-2.結合圖形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),直綫方程x-y+1=0,利用點到直綫的距離公式求的3√2/2,面積1/2*3√2/2*3√2/2=9/4,三 |
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橢圓
橢回I麯稗;，月月，n。1(實的)
一個圓錐與不過其頂點且與其所有母綫交於同一
葉上的一個平面相截而得到的平面麯綫.橢圓是平面
上點M的集合(見圖)，由其中每一點到兩個給定點
名和凡(序卓(focj))的趾離之和為常數，等於2“>衹凡·
杏
兩個焦點之間的距離稱為焦距(focal distance)，通常
記為Zc.綫段式凡的中點稱為橢圓的中心(Centl℃of
an elliPSe).過橢圓兩個焦點的直綫稱為第一軸(阮tax-
is)或焦軸(focal姍).過橢圓的中心且垂直於第一
軸的直綫稱為第二軸(second ax巧).橢圓的兩個軸是
它的對稱軸.橢圓與對稱軸的交點稱為它的頂點(似-
ti。溉).橢圓的長軸(11琪lor姍)是第一軸界於兩頂點
之間的綫段(也指它的長度2a)，橢圓的短軸(mlnor
暇)是第二軸界於兩頂點之間的綫段(也指它的長度
2b).數e=c/a |
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- n.: ellipse, ellipses, elliptic, regular oval
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- n. ellipse, ovale
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