|
|
| 小數的一種，內部包含循環小數（有循環節，如：0.123123……，123就是循環節，循環符號用點表示,在循環節的首尾數字上各點一個點.） |
|
我們學過，實數是由有理數和無理數組成的，整數和分數統稱有理數，它們是有限小數和無限循環小數，而把無限不循環小數叫做無理數。這是初中課本上的定義。從這個定義中我們可以看出，任何一個實數，都可以用十進製小數（不管是有限的還是無限的）表示出來。
後來，我們又知道，實數和數軸上的點是一一對應的。也就是說，我們的實數是可以表現任意一條綫段的長度的，並且同一條綫段衹有一個長度。
但是，課本上的這幾句話，仍然讓我們感到糊塗，有理數（即有限小數和無限循環小數）到底和無理數有什麽不同？為什麽把它們區分開？還有，無限小數到底是什麽意思？數軸上的點為什麽就可以和十進製小數對應呢？怎麽對應的呢？我們慢慢來看。
我們的實數必須要滿足我們表示長度的需要。因此，數軸上的每一個點都應該對應於唯一的一個實數。
把直綫用通常的方法標出0，1，2……這些整數點來，這就是我們的數軸了。這樣，如果哪一個點正好落在某個整數點上，我們就可以用這個整數表示這個點。但是，其它的點如何表示呢？比如，0和1之間的中點。我們發現，把0與1之間的綫段（以下簡稱01綫段）分成10份，這個點恰好就會落到第五個分點上。那麽，我們就把它記為0.5好了。01綫段的四等分點呢？我們還把01綫段10等分，但是卻發現這個點仍然不會落在這些10等分點上，它落在第二分點（暫時記為 a）和第三分點（暫時記為 b）之間。現在，我們把剛纔分好的每個綫段再分成10份，這相當於把01綫段100等分了。我們發現，我們要找的點正好落在了綫段ab上的第5個分點上，即01綫段第25個一百等分點上。那麽，我們把它記為0.25。
現在我們考慮，有沒有那樣的點，不論我們把01綫段怎麽10等分，100等分，1000等分，100000000等分，…，它就是不落在任何一個分點上？有的。比如，01綫段的3等分點。我們把01綫段十等分，它落在了第三、四兩個分點之間，再把這個小綫段10等分，它仍然在第三、四兩個分點之間，…，每次十等分，它都在第三、四分點之間。那麽我們衹好用一個無限小數來表示這個點了：0.333…。（其中的3是指過了第三個分點但沒到第四個分點。註意：這個無限小數表示的是三等分點，而不是我們得到的那些十、百、千等分點。所以0.333…精確地等於1/3.要不然1/3將無法用十進製小數表示。）這就是十進製小數表示直綫上的點的原理。 |
|
無限循環小數化成分數的方法很多人都理解了，但是要問起為什麽分數一定可以化成無限循環小數，就不是所有人都知道了。
其實也不難。這衹要想想我們通常是怎麽把一個分數q/p化成了小數的。我們通常用分子除以分母，除不盡時把餘數添零，即把餘數擴大十倍然後繼續除。而在做除法時我們有一個原則，那就是每一步的餘數必須要比除數小。那麽，如果一個除法永遠也除不盡的時候，就會無限次出現餘數。在任意連續的p+1個餘數中，必然有兩個餘數是相等的。（因為這p+1個正整數都比p小），相等的餘數會導致相等的商，這樣餘數和商就周期性重複出現了。
因此，分數就是有限或無限循環小數，有限或無限循環小數也是分數。 |
|
分數都是有限或無限循環小數。那麽現在我們要問的是，無限不循環小數是些什麽樣的數呢？為什麽把它們叫做無理數？
還是考慮數軸。我們現在發現，剛纔討論的1/3點，雖然我怎樣用十等分的辦法，它都不會落在分點上。但是，如果我把01綫段3等分，分一次它就落在分點上了。（因此，1/3雖然用十進製不能表示成有限小數，但用3進製就可以是有限的了：三進製的0.1恰好就是1/3。）同樣，1/p點，如果把01綫段分成p等分，它就落在第一個分點上，它用p進製就可以表示成0.1。
那麽現在考慮，是否有那樣的點，不論我們把01綫段幾等分，它都不會落在分點上？也就是說，是否在數軸上有那麽一些點，我們不可以把它寫成q/p這樣的分數？我們想到圓周率，它是無限不循環的，肯定不能表示成分數。但是，要想證明它是無限不循環小數，還需要很多知識。現在舉一個初中生熟悉的例子：2的算術平方根（即根號2，邊長為1的正方形對角綫的長）它就不能被寫成分數。為什麽呢？因為如果它能寫成p/q，p、q互質，那麽因為2的平方根不是整數，所以q不為1。而且p^2/q^2（^2表示平方）就應該是整數2。但是，原來互質的兩個數，平方之後仍然互質，q^2不可能被約分成1，因此p^2/q^2也不可能等於2。
有限或無限循環小數都要麽是整數要麽是分數，那麽像2的平方根這樣的數，就衹能是無限不循環的了。把它稱作無理數，是因為不能表示成分數。 |
|
剛纔我們說的都是數軸上的點如何用小數來表示。我們也得到了結論：數軸上任何點都能找到對應的小數表示。現在，我們要問，隨便拿一個無限小數，我們怎樣在數軸上找到和它對應的點？
按第一部分的分析，我們舉一個無理數的例子：比如說，3.1415926535897……(圓周率)，它表示數軸上哪個點呢？
它應該表示這樣一個“確定的點”（確定的點，這很重要）：它在整數3與4之間（即大於等於3小於等於4）；如果把34綫段十等分，它應該在第一、二分點之間（大於等於3.1小於等於3.2）,如果把3.1 3.2之間綫段十等分，它在第四和第五分點之間，等等…
現在我們擔心，在數軸上可不可能有兩個點同時可以用同一個無限小數表示？不能。因為如果有兩個點a和b同時能用圓周率的小數表示，那麽，綫段ab的長度是多少呢？a、b是不同的點，因此ab長度不能是0。在幾何中，有一條公理叫“阿基米德公理”，說任意兩條綫段a，b，不論a有多短，b有多長，把a延長若幹倍之後，長度一定會超過b。比如，1米長的綫段和一千米長的綫段，把1米長的綫段延長10000倍就比一千米長的綫段長了。現在，我們看ab這條綫段，我把34綫段十等分，它們倆同在一二分點之間，應有 ab<=1/10，因此10ab<=1；把3.1 3.2之間綫段十等分，它們也同在第四和第五分點之間，因此應該有ab<=1/100,因此100ab<=1；……也就是說，不論我們把ab延長多少倍，長度都不會比1大。這和阿基米德公理是矛盾的。那麽衹能說明ab=0，a與b是同一個點。
那麽，是不是隨便拿來一個無限小數都能在數軸上找到和它對應的點呢？答案也是肯定的，這一部分也涉及很多知識，不在這裏討論。以後我可能還會寫一篇《給中學生和大學生們講實數的定義》。
羅嗦這麽半天，終於來到某些人關心的問題了：0.9(9循環)這個數是否等於1？按這個無限小數的意義，我們要找一個點，如果把01綫段10等分，它在第九分點和1之間，如果再把這一小段再10等分，它仍在第九分點和1之間……
哪一點滿足這個條件呢？顯然1就滿足這個條件。除此之外還有其它滿足條件的點嗎？剛纔說了，這樣的點衹有一個。因此0.9(9循環)在數軸上對應的點就是1。
因此，雖然是同一個點，但把它表示成十進製小數時，表示方法卻不唯一。在討論十進製小數時，我們通常把都是９的循環節去掉，衹用進一位的有限小數。所以0.9(9循環)這樣的十進製小數是沒有存在的必要的，它和1表示的是同一個實數。
去掉不必要的小數，我們就可以說，數軸上的點和無限小數一一對應。 |
|
可能有人還是不承認，他們可能會說，為什麽“阿基米德公理”是正確的？0.0…1無限個0後面有一個1，把它放大多少倍都不會大於1。
如果你這麽反駁我，我也沒辦法說服你。但我可以肯定地告訴你，你所討論的問題已經不是歐氏幾何和實數了。在數學上確實有不等於零的無窮小常量（即它是個正的“常數”，而且比任何正實數都小，卻不等於０），那就是非標準分析裏的無窮小。但這個無窮小不是我們討論的實數。
因此，衹有滿足一些公理的對象，我們纔把它們稱作實數，纔把它們稱作歐氏幾何。阿基米德公理在我們的討論範圍內是正確的，衹因為它是公理。 |
|
從小數點後某一位開始不斷地出重複現前一個或一節數碼的十進製無限小數。如2.1666…，35.232323…等，被重複的一個或一節數碼稱為循環節。循環小數的縮寫法是將第一個循環節以後的數碼全部略去，而在保留的循環節首末兩位上方各添一個小點。例如：
.
2.166…6…縮寫為2.16（讀作“二點一六，六循環”）
. .
0.34103103…103…縮寫為0.34103（讀作“零點三四一零三，一零三循環”）
循環小數可以利用等比數列求和（附鏈接：等比數列）法化為分數。
所以在數的分類中，循環小數屬於有理數。
循環小數的問題中，最著名的是0.9循環是否等於1的問題。
代數方法為： 設0.9循環=X，
則0.9循環*10=9.9循環
9.9循環-0.9循環=9
10X-X=9
9X=9
X=1
即0.9循環=1 |
|
有些小數雖然也是無限的但不循環.如π值:3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 |
|
|