【無窮小量的性質】
（1）有限多個無窮小量之和仍是無窮小量；
（2）有限多個無窮小量之積仍是無窮小量；
（3）無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。
彭哲也(人在井天)
能不能找到一個絶對值比所有非0的實數的絶對值都小的實數?答案是不能,任何一個數,如果它不是0,就必可以再分,必可以找到絶對值比它的絶對值更小的數.從這個意義上來說,並不存在一個確定的無窮小數.但我們在實際的應用中必須要有一個無窮小數的概念.因此我們可以人為地定義,存在一個數,它的絶對值小於任意給定的非0實數的絶對值.這個數就叫作無窮小數.在現實中並不能找到一個與這個數完全相符合的確定的數,所以無窮小數這個概念其實是無限近似地反映了這一現實.但是我們必須引進這一概念,如果不引進這一概念,很多時候我們將無法表述,我們將無法更接近地反映現實.為了和後面的無窮小數區分開來,我們不妨把這個無窮小數叫作絶對無窮小數.
能不能找到一個數,它的絶對值大於任意給定的實數的絶對值?回答是不能,任何給定的實數,都必可以找到一個比它更大的數.從這個意義上來說,並不存在一個確定的無窮大數.但是在實際的應用中我們必須要引進無窮大數這個概念.因此,我們可以人為地定義,存在一個數,它的絶對值大於任意給定的實數的絶對值.這個數就叫作無窮大數.在現實中並不能找到一個與這個數完全相符合的確定的數,所以無窮大數這個概念其實是無限近似地反映了這一現實.但是我們必須引進這一概念,如果不引進這一概念,很多時候我們將無法表述,我們將無法更接近地反映現實.為了和後面的無窮大數區分開來,我們不妨把這個無窮大數叫作絶對無窮大數.
前面我們定義了絶對無窮大數和絶對無窮小數,為了實踐的需要,我們還必須定義相對無窮大數和相對無窮小數.
我們規定絶對值大於任意給定的有限實數的絶對值的實數為無窮大數(相對無窮大數).同樣我們規定絶對值小於任意給定的非0的有限實數的絶對值的數為無窮小數(相對無窮小數).
那麽什麽是有限實數?能不能找到一個絶對值比所有有限實數都大的有限實數?回答是不能.所以所謂的有限實數也衹是和無限實數相對而言的,離開了無限實數我們將無法理解有限實數.無限實數與有限實數之間並沒有絶對的分割綫.如果一個實數,必可以找到一個確定的實數,使之大於這個實數的絶對值.必可以找到另一個確定的實數,使之小於這個實數的絶對值.則這個實數就是有限實數.
相對無窮大數和相對無窮小數滿足於實數的一切特性.
絶對無窮大數和絶對無窮小數雖是現實中不存在的數,但經過恰當的解釋可以參與實數運算.絶對無窮大數的絶對值加上任何正數還是無窮大數,這是絶對無窮大數的最基本的特點.這一特點規定了絶對無窮大數的一切特點,也由此規定了絶對無窮小數的一切特點.
以上的觀點,我主要是從哲學的角度出發而作出來的,算是給數學界朋友們拋磚引玉吧!
關於無窮小的概念，我來補充幾句：其實無窮小到底有多大，雖無法數量化，但卻是可以形象地表達出來的。無窮小的極限絶對不是0，這是正確的，因為既然叫小，那麽這個數一定比0大，否則直接叫0算了，為什麽還稱作無窮小呢？那麽無窮小的極限到底是個什麽數呢？具體的數字恐怕神仙也不能說出，但在數學王國裏而不是現實世界中，這個無窮小卻可以讓你親眼看到它的真實樣子，它的樣子就是幾何學中的點。點是一個絶對奇妙的空間量，它沒有大小，無法度量，要多小就有多小，無數個點羅在一起也衹是一個點，一小段綫段上的點足以同宇宙中所有的點一一對應，把整個世界上所有的點都集中在這條綫段上，也不會擁擠，因為它沒有大小，我們這個世界是由點構成的，因此點絶對不是0，更不是一無所有，如果沒有的話，它無法構成世界。它比0大，比無窮小小，它是無窮小的極限，但它也不是什麽有，說它有，它卻沒有，說它沒有，它卻有，它就處在似有非有的狀態。點構造了數學奇特的美，玄而又玄。數學是世界上最精確的科學，完美而無遺漏。
(Goethian)
無窮小的極限絶對就是0。無窮小衹是無限趨於0，本來就比0大，本來就不是0，又怎麽會直接叫它0呢？但是它的極限卻是0。事實上，以0為極限的函數就是無窮小。顯然上一段的說法是不正確的。但用“點”來比喻“無窮小”還是蠻形象的。如果說“點”是理論中的概念，那麽無窮小也是。上一段認為點的大小介於0和無窮小之間，也顯然是不正確的，正確的說法應為點等價於無窮小。 |