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| ◎ 無理數 wúlǐshù |
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| 不能表示成兩個整數之商的數 |
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| 不循環的無限小數,例如,用正方形的一邊來度量它的對角綫時,所得到的比值2是一個無理數,因為寫成小數1.414…時,它是不循環的 |
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| 無限不循環小數。任何無理數都不能表示成兩個整數之比。早在公元前5世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派就已通過不可公度量(如正方形邊長與其對角綫長之比)，發現了無理數，但其嚴格定義直到19世紀纔由戴德金、康托爾等人建立。 |
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無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數。 如圓周率、2的平方根等。
實數（real munber)分為有理數和無理數(irrational number)。
·無理數與有理數的區別：
1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數衹能寫成無限不循環小數,
比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數.
2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。根據這一點，有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子，把有理數改叫為“比數”，把無理數改叫為“非比數”。本來嘛，無理數並不是不講道理，衹是人們最初對它不太瞭解罷了。
利用有理數和無理數的主要區別，可以證明√2是無理數。
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數。
把 √2=p/q兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
由來：
畢達哥拉斯 （pythagqras,約公元前885年至公元前400年間），從小就很聰明，一次他背着柴禾從街上走過，一位長者見他捆柴的方法與別人不同，便說：“這孩子有數學奇才，將來會成為一個大學者。”他聞聽此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學。畢達哥拉斯本來就極聰明，經泰勒一指點，許多數學難題在他的手下便迎刃而解。其中，他證明了三角形的內角和等於180度；能算出你若要用瓷磚鋪地，則衹有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿，還證明了世界上衹有五種正多面體，即：正4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。然而他最偉大的成就是發現了後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裏見工匠們用方磚鋪地，經常要計算面積，於是便發明了此法。
畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之後，覺得不能衹滿足於用來算題解題，於是他試着從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數”的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會。在他死後大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐着遊船出來領略山水風光，以驅散一天的疲勞。這天，風和日麗，海風輕輕的吹，蕩起層層波浪，大傢心裏很高興。一個滿臉鬍子的學者看着遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪𠔌，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。”“是的，是的。”這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”
“我看不一定。”這時船尾的一個學者突然提問了，他沉靜地說：“要是量到最後，不是整數呢？”
“那就是小數。”“要是小數既除不盡，又不能循環呢？”
“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。”
這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說：“並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示，就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”
這個提問的學者叫希帕索斯（hippasus)，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫着：“不可能，先生的理論置之四海皆準。”希帕索斯眨了眨聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：
“如果直邊是3，斜邊是幾？”
“4。”
“再準確些？”
“4.2。”
“再準確些？”
“4.24。”
“再準確些呢？”
大個子的臉漲得緋紅，一時答不上來。希帕索斯說：“你就再往後數上10位、20位也不能算是最精確的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一邊與餘邊，都不能用一個精確的數字表示出來。”這話像一聲晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達哥拉斯先生的理論，敢破壞我們學派的信條！敢不相信數字就是世界！”希帕索斯這時十分冷靜，他說：“我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會奬賞我的。你們可以隨時去驗證。”可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖門徒。”“打死他！批死他！”大鬍子衝上來，當胸給了他一拳。希帕索斯抗議着：“你們無視科學，你們竟這樣無理！”“捍衛學派的信條永遠有理。”這時大個子也衝了過來，猛地將他抱起：“我們給你一個最高的奬賞吧！”說着就把希帕索斯扔進了海裏。藍色的海水很快淹沒了他的軀體，再也沒有出來。這時，天空飄過幾朵白雲，海面掠過幾衹水鳥，一場風波過後，這地中海海濱又顯得那樣寧靜了。
一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專製制度的學閥們毀滅了。但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。這次事件後，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.14159265358979……更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺後悔了，後悔殺死希帕索斯的無理行動。他們漸漸明白了，明白了直覺並不是絶對可靠的，有的東西必須靠科學的證明；他們明白了，過去他們所認識的數字“0”，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能循環的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。 |
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無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數。 如圓周率、√2等。
有理數是所有的分數，整數，它們都可以化成有限小數，或無限循環小數。如7/22等。
實數（real number)分為有理數和無理數(irrational number)。
·無理數與有理數的區別：
1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數衹能寫成無限不循環小數,
比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數.
2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。根據這一點，有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子，把有理數改叫為“比數”，把無理數改叫為“非比數”。本來嘛，無理數並不是不講道理，衹是人們最初對它不太瞭解罷了。
利用有理數和無理數的主要區別，可以證明√2是無理數。
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。 |
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畢達哥拉斯 （Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間），從小就很聰明，一次他背着柴禾從街上走過，一位長者見他捆柴的方法與別人不同，便說：“這孩子有數學才能，將來會成為一個大學者。”他聞聽此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學。畢達哥拉斯本來就極聰明，經泰勒一指點，許多數學難題在他的手下便迎刃而解。其中，他證明了三角形的內角和等於180度；能算出你若要用瓷磚鋪地，則衹有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿，還證明了世界上衹有五種正多面體，即：正4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。然而他最偉大的成就是發現了後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裏見工匠們用方磚鋪地，經常要計算面積，於是便發明了此法。
畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之後，覺得不能衹滿足於用來算題解題，於是他試着從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數”的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會。在他死後大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐着遊船出來領略山水風光，以驅散一天的疲勞。這天，風和日麗，海風輕輕的吹，蕩起層層波浪，大傢心裏很高興。一個滿臉鬍子的學者看着遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪𠔌，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。”“是的，是的。”這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”
“我看不一定。”這時船尾的一個學者突然提問了，他沉靜地說：“要是量到最後，不是整數呢？”
“那就是小數。”“要是小數既除不盡，又不能循環呢？”
“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。”
這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說：“並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示，就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”
這個提問的學者叫希帕索斯（Hippasus)，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫着：“不可能，先生的理論置之四海皆準。”希帕索斯眨了眨聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：
“如果直邊是3，斜邊是幾？”
“4。”
“再準確些？”
“4.2。”
“再準確些？”
“4.24。”
“再準確些呢？”
大個子的臉漲得緋紅，一時答不上來。希帕索斯說：“你就再往後數上10位、20位也不能算是最精確的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一邊與餘邊，都不能用一個精確的數字表示出來。”這話像一聲晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達哥拉斯先生的理論，敢破壞我們學派的信條！敢不相信數字就是世界！”希帕索斯這時十分冷靜，他說：“我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會奬賞我的。你們可以隨時去驗證。”可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖門徒。”“打死他！批死他！”大鬍子衝上來，當胸給了他一拳。希帕索斯抗議着：“你們無視科學，你們竟這樣無理！”“捍衛學派的信條永遠有理。”這時大個子也衝了過來，猛地將他抱起：“我們給你一個最高的奬賞吧！”說着就把希帕索斯扔進了海裏。藍色的海水很快淹沒了他的軀體，再也沒有出來。這時，天空飄過幾朵白雲，海面掠過幾衹水鳥，一場風波過後，這地中海海濱又顯得那樣寧靜了。
一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專製制度的學閥們毀滅了。但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。這次事件後，畢達哥拉斯學派的成員們確實發現不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數字是3.1415926535897932384626……更是永遠也無法精確。慢慢地，他們感覺後悔了，後悔殺死希帕索斯的無理行動。他們漸漸明白了，明白了直覺並不是絶對可靠的，有的東西必須靠科學的證明；他們明白了，過去他們所認識的數字“0”，自然數等有理數之外，還有一些無限的不能循環的小數，這確實是一種新發現的數——應該叫它“無理數”。這個名字反映了數學的本來面貌，但也真實的記錄了畢達哥拉斯學派中學閥的蠻橫無理。
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。 |
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科學不等於聖潔。科學家不等於道德高尚。這樣的教訓古今都有。公元前500年，古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派的弟(Hippasus)發現無理數，卻被老師處死。
歷史的教訓在於給人類以教益。科學完全走出政治強權的陰影，完全走出李森科之流的陰影，這在今天仍然是人類的一項艱巨的任務。控製論的創立者諾伯特·維納的話提供了這一事件的反思：“科學是一種生活方式，它衹在人們具有信仰自由的時候才能繁榮起來。基於外界的命令而被迫去遵從的信仰並不是什麽信仰，基於這種假信仰而建立起來的社會必然會由於癱瘓而導致滅亡，因為在這樣的社會裏，科學沒有健康生長的基礎。”
事實上，科學的存在和發展中一個永恆的問題是標準與創新的矛盾。一方面，科學知識的出現必然形成相關的評判正誤的標準，另一方面，科學知識出現的過程就是對原有標準突破的過程，因此也必然受到原有標準的限製或壓製。這就需要我們更深刻地反思兩種科學的悲劇：一種是推行錯誤的標準所導致的後果；另一種是肆意創新所帶來的人道主義災難。聶文濤面嚮基層醫院適宜技術培訓講演中說：人類推行糖尿病“限製碳水化合物”飲食標準（John rollo標準），到重新執行“高碳水化合物”標準（如北京協和醫院標準），這期間無數患者因為錯誤的糖尿病飲食治療進一步喪失了健康。醫學界要如何面對這樣的情況？該講演引發的強烈震動，正在於他提出了一個深刻的科學倫理問題。
斯蒂芬·茨威格在《異端的權利》原文中的兩段話：“（卡斯特裏奧與加爾文）在這場戰爭中，存在着一個範圍大得多並且是永恆的生死攸關的問題。”“每一個國傢，每一個時代，每一個有思想的人，都不得不多次確定自由和權力間的界標。因為，如果缺乏權力，自由就會退化為放縱，混亂隨之發生；另一方面，除非濟以自由，權力就會成為暴政。”這兩段話隱藏着這樣的意思：（1）應該給所有持異端見解的人證明自己的權利，或者說一切反對異端見解的人必須提供證據；（2）所有持異端見解的人都需要證明自己的正確，而無需在此之前抱怨社會的不理解。（3）所謂科學發展的意義，正在於改變人類原有的認識。因此，選擇錯誤是一種權利，否則就沒有科學探索的合理性。 |
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| 歐拉常數 |
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√2≈1.41421：意思意思而已
√3≈1.7320：一起生鵝蛋
√5≈2.2360679：兩鵝生六蛋(送)六妻舅
√7≈2.6457513：二妞是我,氣我一生
(廣東陸豐玉燕中學2007B班編)
無理數包括：正無理數和負無理數。是無限不循環小數。 |
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無理數
irrational number
無理數[加md沮目.朋址姍;。pp明。0，~oe，一c，]
不是有理數(整數或分數)的數.無理數在幾何
上表示一個與單位長綫段不可公度的綫段的長度.古
代數學家已經知道不可公度綫段的存在.例如，他們
知道正方形的對角綫與邊是不可公度的，這等價於
在是無理數.
每個實數都能寫為無窮十進小數，而無理數(且衹
有無理數)能寫為不循環十進小數，例如了百二1 .41…，
二=3.14·…無理數確定有理數集的這樣的分割:其下
類無最大數，上類無最小數(見D刊目莊日分創(Dede-
拓nd cut)).無理數集在實數軸上處處稠密:任何兩
個數之間必有無理數.無理數集是不可數的，它是第
二範疇集並且是G占型的(見集合的範疇(ca魄oryof
a set));凡(G‘)型集(set oftypeF，(G‘)).
無理代數數(止以山耐目羅加街c nLU刊比r)(與超
越數不同)不能被有理分數任意階逼近.更確切地
說，對於任一n次無理代數數(司羅忱苗cn山刀ber)心，
存在。>0，使對任何整數p和q(q>0)，都有
}:_衛}、二
}七一份}>一不.
!一q}q
二次無理數，且衹有二次無理數，能由循環連分數所
表示.刃.從.K卿。絮“撰
【補註】事實上能證明，如果拼Q是代數數，則對
任一:>o，存在。(。)>o，使得I亡一鼕}>
·一。--，·者一一、。z-一’一””q
。(。)q一z一’(Roth定理(ROth tl〕eO心n)).已知
e，汀，e’是無理數(還是超越數(tm瑙cenden回刀山刀.
ber)).然而，還不知道e+二，e二是否為無理數.
瀋永歡譯
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- : surd number
- n.: irrational, surd, irrational number
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| 無理數e | 無理數的 | | 二次無理數 | 代數無理數 | | 幂法開法無理數虛數黃元吉上海商務印書館影印 | |
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