| | 按一定次序排列的一列數稱為數列（sequence of number）。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數列稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，…
簡記為｛an｝，項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence），項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。
從第2項起，每一項都大於它的前一項的數列叫做遞增數列；
從第2項起，每一項都小於它的前一項的數列叫做遞減數列；
從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列；
各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；
各項相等的數列叫做常數列。
通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式。
數列中數的總數為數列的項數。特別地，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）為定義域的函數an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a(n)=f(n). | | 如果數列｛an｝的第n項與序號n之間的關係可以用一個式子來表示，那麽這個公式叫做這個數列的通項公式。如an=(-1)^(n+1)+1
如果數列｛an｝的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麽這個公式叫做這個數列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1) | | 【定義】
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
【縮寫】
等差數列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。
【等差中項】
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。
有關係：A＝（a＋b）/2
【通項公式】
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n>=2)
【前n項和】
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
【性質】
且任意兩項am，an的關係為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。
和＝（首項＋末項）×項數÷2
項數＝（末項-首項）÷公差＋1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
設a1,a2,a3為等差數列。則a2為等差中項,則2倍的a2等於a1+a3，即2a2=a1+a3。
【應用】
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種産品的尺寸劃分級別
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。 | | 【定義】
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
【縮寫】
等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。
【等比中項】
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麽G叫做a與b的等比中項。
有關係：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
註：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G^2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。
【通項公式】
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
【前n項和】
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
【性質】
任意兩項am，an的關係為an=am·q^(n-m)
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：aq·ap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造幂Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質：
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am·an=ap·aq；
②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.
“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
在等比數列中，首項A1與公比q都不為零.
註意：上述公式中A^n表示A的n次方。
【應用】
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---復利。
即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金，
在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。
按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是麯綫y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等於 1)
任意兩項am，an的關係為an=am·q^(n-m)
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造幂Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。 | 一般數列的通項求法 General series of general term demand method | 一般有：
an=Sn-Sn-1 （n≥2）
纍和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an）。
逐商全乘法（對於後一項與前一項商中含有未知數的數列）。
化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）。
特別的：
在等差數列中，總有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列
不動點法（常用於分式的通項遞推關係） | 特殊數列的通項的寫法 Special series of general term of the written | 1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1) | 數列前N項和公式的求法 The top N items and a few formulas Method to | (一)1.等差數列:
通項公式an=a1+(n-1)d 首項a1,公差d, an第n項數
an=ak+(n-k)d ak為第k項數
若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2
2.等差數列前n項和:
設等差數列的前n項和為Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那麽 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 纍加法 3 倒序相加法
(二)1.等比數列:
通項公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1為首項,an為第n項
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
則an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若構成等比中項,則G^2=ab (a,b,G不等於0)
(3)若m+n=p+q 則 am×an=ap×aq
2.等比數列前n項和
設 a1,a2,a3...an構成等比數列
前n項和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
註: q不等於1;
Sn=na1 註:q=1
求和一般有以下5個方法: 1,不完全歸納法（即數學歸納法） 2 纍乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法 | | 等差數列典型例題：
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
解析：
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
大衍數列 ０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、４０、５０－－－－－－
通項式：
an=(ｎ×ｎ－１)÷２ (ｎ為奇數)
an=ｎ×ｎ÷２ (ｎ為偶數)
前n項和公式：
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (ｎ為奇數）
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (ｎ為偶數）
大衍數列來源於《乾坤譜》，用於解釋太極衍生原理。
斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
通項式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
還可以發現 S0+S1+S2+……+Sn-2 =Sn -1 | | 數列
progression
數FIl〔聲甩民s汕班;nporpecc“皿l
見等差數列(aritll叱tic prog吧ssion);等比數列
(geolnetric Progression).
| | - n.: series
| | | 等差 | 高斯 | 張丘建 | 數學 | 微積分 | 高等數學 | 百科大全 | 規律 | | 斐波拉契數列 | 斐波拉契 | 代數 | 自然科學 | 信息學 | Fibonacci數 | 計算機 | c語言 | | 計算 | 數論 | 黃金分割 | 現代計算機科技影響 | 科學 | 考試 | 學科 | 統計學 | | 經濟百科 | 更多結果... |
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