chazhi
插值
interpolation
在離散數據的基礎上補插出連續函數。是計算數學中最基本和常用的手段，是函數逼近的重要方法。利用它可通過函數在有限個點處的取值狀況，估算該函數在別處的值。早在公元 6世紀，中國劉焯已將等距二次插值法用於天文計算。17世紀，I.牛頓和J.格雷果裏建立了等距結點上的一般插值公式。18世紀,J.-L.拉格朗日給出了更一般的非等距結點上的插值公式。在近代，插值法是觀測數據處理和函數製表所常用的工具，又是導出其他許多數值方法（例如數值積分、非綫性方程求根、微分方程數值解等）的依據。
插值問題的提法是:假定已知區間[□,□]上的實值函數 □(□)在該區間中□+1個互不相同的點□□,□□,…,□□處的值是□(□□),□(□□),…,□(□□),要求估算□(□)在[□,□]中某點□=□處的值。插值的作法是:在事先選定的一個由簡單函數所構成的含□+1個參數 □□,□□,…,□□的函數類□(□□,□□,…,□□)中求出滿足條件
□ (1)的函數□(□)，並以□(□)作為 □(□)的估值。此處，函數□(□)稱為被插函數；□□,□□,…,□□稱為插值結點；□(□□,□□□，…，□□) 稱為插值函數類；式（1）稱為插值條件。□(□□,□□,…,□□)中滿足插值條件(1)的函數□(□)稱為插值函數。誤差函數
□稱為插值餘項，它標志着插值的精度。此外，當估值點□屬於包含結點 □□,□□,…,□□的最小閉區間時，稱相應的插值為內插，否則稱為外插。
多項式插值 插值函數類取成代數多項式類的情形，是最常用的一種插值。此時對[□，□]上的任何實值函數□(□)都相應地有惟一的次數不超過 □□多項式□(□) 滿足插值條件(1)。□(□)□稱為□(□)的插值多項式。當□(□)在[□,□]上□+1次可微時，插值餘項為 □式中□是在包含□，□□,□□,…,□□的最小閉區間中的某一點。
下面兩種插值公式是□(□)的具體表達式：
① 拉格朗日插值公式 □式中 □稱為拉格朗日插值公式的基函數。它們具有性質
□特別當□=1時，插值多項式簡化為
□其幾何圖像為通過點(□□，□(□□))和(□□,□(□□))的直綫，因此被稱為綫性插值公式。類似的理由,當□=2時相應的插值公式稱為拋物綫插值公式。
② 牛頓插值公式□式中□(□□,□□,…,□□)為函數□(□)在點□□, □□,…,□□上的 □階差商（或均差）。各階差商由下列遞推方式定義：
□□階差商與函數□(□)在結點上的值之間有下列關係：□
拉格朗日插值公式和牛頓插值公式是同一插值多項式□(□)的不同表現形式。前者結構緊湊、意義清晰和便於理論分析；後者在實際計算時較為方便：若要增加新的插值結點，衹需相應地添加新的項即可。
對於等距的插值結點，即當
□時，經過變數替換□=□□+□□,上述牛頓插值公式轉化為牛頓嚮前插值公式 □此處□□表示步長為□的□階差分算子，其定義是：
□
埃爾米特插值 插值條件帶微商的插值，其插值條件為
□在所有次數不超過2□+1的多項式中，滿足上述插值條件的多項式是存在和惟一的，並可表為
□ (3)式中□□(□)由(2)式定義。□(□)稱為函數□(□)的埃爾米特插值多項式。當□(□)在[□,□]上2□+2次可微時,插值餘項為 □式中□是在包含□,□□,□□,…,□□ 最小閉區間中的某一點。由於埃爾米特插值多項式在結點處不但與被插函數取值相同而且變化率也相同，因此它通常比拉格朗日插值多項式能更好地近似被插函數。(3)是一種最基本、 最重要的埃爾米特插 |