|
|
拓撲學，是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源於希臘語Τοπολογία的音譯。topology原意為地貌，於19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出於數學分析的需要而産生的一些幾何問題。發展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。
分支學科
點集拓撲學又稱為一般拓撲學
組合拓撲學
代數拓撲學
微分拓撲學
幾何拓撲學
拓撲學
拓撲學是數學中一個重要的、基礎的分支。起初它是幾何學的一支，研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(所謂連續變形，形象地說就是允許伸縮和扭麯等變形，但不許割斷和粘合)；現在已發展成為研究連續性現象的數學分支。由於連續性在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若幹分支。在拓撲學的孕育階段，19世紀末，就拓撲已出現點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。現在，前者演化為一般拓撲學，後者則成為代數拓撲學。後來，又相繼出現了微分拓樸學、幾何拓撲學等分支。
在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加裏寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都衹走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大傢，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麽容易。
1736年，有人帶着這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連綫。那麽這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麽它們總有這樣的關係：f+v-e=2。
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：衹存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裏來到一傢科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國傢都被着上不同的顔色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式嚮倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關註的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。
什麽是拓撲學？
拓撲學的英文名是topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、綫、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎麯的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解决哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和綫的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。
在一個球面上任選一些點用不相交的綫把它們連接起來，這樣球面就被這些綫分成許多塊。在拓撲變換下，點、綫、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉麯面，衹要不把麯面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至於分成許多塊，衹是變成一個彎麯的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的麯面。
直綫上的點和綫的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中麯綫和麯面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、麯面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯麯面。這種麯面就不能用不同的顔色來塗滿兩個側面。
拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不在介紹。
拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關係。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取綫、麯面等在一點附近的彎麯情況，而拓撲學是研究麯面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學起初叫形勢分析學，這是g．w．萊布尼茨1679年提出的名詞。拓撲學這個詞(中文是音譯)是j．b．利斯廷1847年提出的，源自希臘文位置、形勢與學問。
1851年起，b．黎曼在復變函數的研究中提出，為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的係統研究。
組合拓撲學的奠基人是h．龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程决定的麯綫的研究中，引嚮拓撲學問題。他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動了g．康托爾從1873年起係統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念。如：聚點、開集、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函數(即函數的函數)的概念。把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限，這終於導致了抽象空間的觀念。
拓撲問題的一些初等例子：
柯尼斯堡七橋問題(一筆劃問題)。一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋衹經過一次?這個18世紀的智力遊戲，被l．歐拉簡化為用細綫畫出的網絡能否一筆劃出的問題，然後他證明了這是根本辦不到的。一個網絡能否被一筆畫出，與綫條的長短麯直無關，衹决定於其中的點與綫的連接方式。設想一個網絡是用柔軟而有彈性的材料製作的，在它被彎麯、拉伸後，能否一筆畫出的性質是不會改變的。
歐拉的多面體公式與麯面的分類。歐拉發現，不論什麽形狀的凸多面體，其頂點數 、棱數 、面數 之間總有 這個關係。由此可證明正多面體衹有五種。如果多面體不是凸的而呈框形（圖33），則不管框的形狀如何，總有 。這說明，凸形與框形之間有比長短麯直更本質的差別，通俗地說，框形裏有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變成球面，框的表面可以變成環面（輪胎面）。這兩者都不能通過連續變形互變（圖34）。在連續變形下封門麯面有多少種不同類型？怎樣鑒別他們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。
紐結問題。空間中一條自身不相交的封閉麯綫，會發生打結現象。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變（如圖35中兩個三葉結能否互變）。同時給出嚴格證明，那遠不是件容易的事了。
布綫問題（嵌入問題）。一個復雜的網絡能否布在平面上而又不自相交叉？做印製電路時自然會碰到這個問題。圖36左面的圖，把一條對角綫移到方形外面就可以布在平面上。但圖37中兩個圖卻無論怎樣移動都不能布在平面上。1930年k•庫拉托夫斯基證明，一個網絡是否能嵌入平面，就看其中是否不含有這兩個圖之一。
以上這些例子說明，幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。這些性質與長度、角度無關，它們所表現的是圖形整體結構方面的特徵。這種性質就是圖形的所謂拓撲性質。
拓撲學的由來
幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中占着重要的地位。
在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加裏寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都衹走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大傢，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麽容易。
1736年，有人帶着這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連綫。那麽這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麽它們總有這樣的關係：f+v-e=2。
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：衹存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裏來到一傢科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國傢都被着上不同的顔色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式嚮倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關註的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。
什麽是拓撲學？
拓撲學的英文名是topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、綫、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎麯的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解决哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和綫的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。
在一個球面上任選一些點用不相交的綫把它們連接起來，這樣球面就被這些綫分成許多塊。在拓撲變換下，點、綫、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉麯面，衹要不把麯面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至於分成許多塊，衹是變成一個彎麯的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的麯面。
直綫上的點和綫的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中麯綫和麯面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、麯面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯麯面。這種麯面就不能用不同的顔色來塗滿兩個側面。
拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不在介紹。
拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關係。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取綫、麯面等在一點附近的彎麯情況，而拓撲學是研究麯面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用。
參考資料：http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/topology_total 其它數學分支學科
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、復變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學
數學中一個重要的、基礎的分支。起初它是幾何學的一支， 1955.)</font>研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(所謂連續變形，形象地說就是允許伸縮和扭麯等變形，但不許割斷和粘合);現在已發展成為研究連續性現象的數學分支。由於連續性在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若幹分支。在拓撲學的孕育階段，北京，19世紀末，就已出現點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。現在前者已演化成一般拓撲學， 1952. j.l.凱萊著，後者則成為代數拓撲學。後來， princeton univ. press，又相繼出現了微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。foundations of algebraic topology，拓撲學主要是由於分析學和幾何學的需要而發展起來的， 1979.) s.eilenberg and n.steenrod，它自30年代以來的大發展， london，尤其是它的成果與方法對於數學的各個領域的不斷滲透，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特徵。
拓撲問題的一些初等例子
柯尼斯堡的七橋問題（一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府，(m.a.armstrong，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。北京，一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋衹經過一次？這個18世紀的智力遊戲，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，被l.歐拉簡化為用細綫畫出的網絡能否一筆畫出的問題，然後他證明這是根本辦不到的。一個網絡之能否一筆畫出，上海，與綫條的長短麯直無關，衹决定於其中的點與綫的連接方式。 <br> <font size="-1">參考書目</font> <font size="-1">江澤涵著：《拓撲學引論》，設想一個網絡是用柔軟而有彈性的材料製作的，在它被彎麯、拉伸後，能否一筆畫出的性質是不會改變的。
歐拉的多面體公式與麯面的分類 歐拉發現，不論什麽形狀的凸多面體，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。其頂點數υ、棱數 e、面數ƒ之間總有這個關係。從這個公式可以證明正多面體衹有五種（見正多面體）。在係統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。值得註意的是，如果多面體不是凸的而呈框形（圖1），也不管框的形狀如何，總有。這說明，凸形與框形之間有比長短麯直更本質的差別，如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。通俗的說法是框形裏有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變為球面，框的表面可以變為環面（輪胎面）。例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%b4%fa%ca%fd%ca%fd%c2%dbl target=_blank>代數數論）。這兩者卻不能通過連續變形互變。在連續變形下封閉麯面有多少種不同類型？現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，怎樣鑒別它們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。把麯面變形成多面體後的歐拉數υ-e+ƒ在其中起着關鍵的作用（見閉麯面的分類）。
四色問題 在平面或球面上繪製地圖，並且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數<i>k</i> 理論。有公共邊界綫的區域用不同的顔色加以區別。 拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，19世紀中期，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。人們從經驗猜想用四種顔色就足以給所有的地圖上色。證明這個猜想的嘗試，卻延續了100多年，到1976年纔出現了一個藉助於計算機的證明。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯繫起來，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色纔夠。用橡皮做一個麯面模型，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。然後隨意扭麯，弄得山巒起伏，促進了分析學嚮流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。這對其上的地圖着色毫無影響，所以這顔色數也是麯面在連續變形下不變的性質。
紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉麯綫，會發生打結現象。3o年代j.勒雷和j.p.紹德爾把l.e.j.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變（例如，圖2中的兩個三葉結能否互變），並且不衹做個模型試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事了（見紐結理論）。
維數問題 什麽是麯綫？樸素的觀念是點動成綫，對拓撲學也十分重要。隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是麯綫。可是，g.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“麯綫”，它填滿整個正方形！這激發了關於維數概念的深入探討，經過20～30年纔取得關鍵性的突破（見維數）。並啓示了處理微分流形的剜補術。
布綫問題（嵌入問題） 一個復雜的網絡能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時自然會碰到這個問題。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，圖3中左面的圖把一根對角綫移到方形外面就可以布在平面上，但圖4兩個圖卻無論怎樣挪動都不能布在平面上。把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，1930年k.庫拉托夫斯基證明，一個網絡是否能嵌入平面，為了研究黎曼流形上的測地綫，就看其中是否不含有這兩個圖之一。
嚮量場問題 考慮光滑麯面上的連續的切嚮量場，即在麯面的每一點放一個與麯面相切的嚮量，並且其分佈是連續的。拓撲學的重要性，其中嚮量等於
0
的地方叫作奇點。例如，地球表面上每點的風速嚮量就組成一個隨時間變化的切嚮量場，拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經驗看出， <br> <font size="4" face="黑體"><a name="拓撲學與其他學科的關係 ">拓撲學與其他學科的關係連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在着，球面上的連續切嚮量場一定有奇點，區別於代數味很重的同倫論。而環面上卻可以造出沒有奇點的嚮量場。
進一步分析，每個奇點有一個“指數”，即當動點繞它一周時，發現四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結構。動點處的嚮量轉的圈數；此指數有正負，視動點繞行方向與嚮量轉動方向相同或相反而定(圖5)。龐加萊發現，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。球面上切嚮量場，衹要奇點個數是有限的，這些奇點的指數的代數和（正負要相消）恆等於2；而環面上的則恆等於0（見麯面）。這2與0恰是那兩個麯面的歐拉數，j.w.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，這不是偶然的巧合。
不動點問題 考慮一個麯面到自身的連續變換（映射），即麯面的每一點被移到該麯面上的新的位置，連續是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點。不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。隨後，每個不動點也有個“指數”，還有不同尋常的微分結構。即當動點繞它一周時，1956年j.w.米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，從動點指嚮其像點的嚮量轉動的圈數。同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。拓撲學家們發現，麯面到自身的映射的不動點個數如果是有限的，它們的指數的代數和不會因對這映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特徵計算出來。特別是對於實心圓上的映射，指數和恆為1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。h.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，這類定理對於證明數學中各種方程的解的存在性非常有用（見不動點理論）。
以上這些例子啓示了：幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。這些性質與長度、角度無關，它們所表現的是圖形整體結構方面的特徵。這種性質也就是圖形的所謂拓撲性質。從理論上也弄清了，
拓撲學所談論的幾何圖形，是代數拓撲學的有力武器。不限於現實空間中的形體。代數性質卻都與同調或上同調十分相像，如物理學中一個係統的所有可能的狀態組成所謂狀態空間，就是一個廣義的幾何圖形。拓撲學是研究連續性的。變化的連續性，意思是它把鄰近的點變成鄰近的點。 從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下産生了 理論，因此圖形必須具有某種結構以表現點與點之間的鄰近關係。為其後拓撲學的突飛猛進開闢了道路。規定了每兩點間的距離並用距離大小來表示鄰近關係的點集稱為度量空間。在同倫群的計算上取得突破，最簡單的例子是歐氏空間。1950年j.p.塞爾利用j.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，然而在某些場合未必能規定出合用的距離，因而産生了拓撲空間與連續映射的概念（見拓撲空間）。拓撲學中着重研究的是自然科學和數學中最常見的幾類拓撲空間，如流形（光滑麯面的推廣）、復形（多面體的推廣）等（見流形、cw復形、同調論）。
前面所說的幾何圖形的連續變形，確切的含義是同胚。如果映射ƒ:a→
b
是圖形a的點與圖形
b
的點之間的一對一的對應，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:
b
→a都是連續的，其元素是從<i>n</i>維球面到該空間的映射的同倫類，就說圖形a與圖形
b
同胚。這時從拓撲學的觀點看a與
b
的結構相同，不必加以區別。例如，三角形與圓形同胚；而直綫與圓周不同胚，直到今天，因為直綫挖去一點後不連通，而圓周挖去一點後仍連通。
拓撲學的一個典型問題，是問兩個給定的幾何圖形是否同胚；引伸一下，是要把圖形按照同胚與否加以分類，他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，並找出刻畫每一個類的特徵。一般的想法是，賦予每個圖形以一些量（廣義的量可以是數，如維數、歐拉數，可以是代數結構，如群、環，也可以是性質， <br> 隨着抽象代數學的興起，如連通性、緊性），使得同胚的圖形具有相同的量。這樣的量稱為拓撲不變量或同胚不變量（歐拉多面體公式中的數υ、e、ƒ都不是同胚不變量，成為引人矚目的學科。而歐拉數υ-e+ƒ則是）。拓撲不變量幫助鑒別不同胚的圖形，並開創了不動點理論。如球面與環面的歐拉數不同，引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，它們就不同胚。
許多重要的幾何現象，代數拓撲學 "代數拓撲學 l.e.j.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法，需要用連續映射來描述，習慣上也看成一般拓撲學的分支。因此連續映射也是拓撲學的主要研究對象。一個典型的問題，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。是問兩個給定的映射是否同倫，以r.h.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，即問兩個映射h0，h1:a→
b
能否用連續地隨時間t改變的一族映射連結起來。與前相仿，從同倫問題産生了同倫不變量的概念。例如， <br> 歐氏空間中的點集的研究，從圓周到圓周的兩個映射是否同倫，公理化的一般拓撲學晚近的發展可見<a href=http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%d2%bb%b0%e3%cd%d8%c6%cb%d1%a7l target=_blank>一般拓撲學</a>。决定於它們的“度”（即當動點繞行一周時其像點繞行的圈數）是否相同，緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。“度”就是一個同倫不變量。
發展簡史
拓撲學起初叫形勢分析學，這是g.w.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質，經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結和嵌入問題就是勢的問題)。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了係統的研究。l.歐拉1736年解决了七橋問題，1750年發表了多面體公式;c.f.高斯1833年在電動力學中用綫積分定義了空間中兩條封閉麯綫的環繞數。拓撲學這個詞（中文是音譯）是j.b.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢)與(學問)。這是萌芽階段。
1851年起，b.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調，為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的係統研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解决了可定嚮閉麯面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓撲概念，
組合拓撲學的奠基人是h.龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程决定的麯綫的研究中，引嚮拓撲學問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數，並提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關於復函數的單值化和關於微分方程决定的麯綫的研究中，
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。他是在分析學和力學的工作中，實數的嚴格定義推動g.康托爾從1873年起係統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函數（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。這樣，b.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀之交，已經形成了組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。這是萌芽階段。
一般拓撲學 最早研究抽象空間的是m.-r.弗雷歇，在1906年引進了度量空間的概念。f.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標志着用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的産生。l.歐拉1736年解决了七橋問題，隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了係統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。從其方法和結果對於數學的影響看，緊拓撲空間和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓撲學晚近的發展可見一般拓撲學。
歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以r.h.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾麯綫引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
代數拓撲學 l.e.j.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法， 許多重要的幾何現象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創了不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到了應有的標準，而歐拉數υ-e+ƒ>則是）。成為引人矚目的學科。緊接着，j.w.亞歷山大1915年證明了貝蒂數與撓係數的拓撲不變性。如連通性、緊性），
隨着抽象代數學的興起，1925年左右a.e.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下h.霍普夫1928年定義了同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。如維數、歐拉數，s.艾倫伯格與n.e.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結了當時的同調論，後寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對於代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。同調群，以及在30年代引進的上同調環，都是從拓撲到代數的過渡（見同調論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直綫與圓周不同胚，同調論（包括上同調）所提供的不變量仍是拓撲學中最易於計算的，因而也最常用的。不必加以區別。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。w.赫維茨1935～1936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，而且<i>ƒ</i>同它的逆映射ƒ-1:<b><i>b</i></b>→<i>a都是連續的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調群更明顯， 前面所說的幾何圖形的連續變形，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學的發展，産生了豐富多彩的理論和方法。1950年j.p.塞爾利用j.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，最簡單的例子是歐氏空間。在同倫群的計算上取得突破，為其後拓撲學的突飛猛進開闢了道路。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下産生了k 理論，解决了關於流形的一係列拓撲問題開始，出現了好幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡，就是一個廣義的幾何圖形。儘管幾何意義各不相同，如物理學中一個係統的所有可能的狀態組成所謂狀態空間，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清了，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。
從微分拓撲學到幾何拓撲學 微分拓撲學是研究微分流形與微分映射的拓撲學。這些性質與長度、角度無關，j.-l.拉格朗日、b.黎曼、h.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨着代數拓撲學和微分幾何學的進步， 以上這些例子啓示了：幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。在30年代重新興起。h.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，並證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的嚮量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調（示性類）和同倫問題聯繫起來了。
1953年r.托姆的協邊理論(見微分拓撲學)開創了微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，許多睏難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解决，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。從動點指嚮其像點的嚮量轉動的圈數。1956年j.w.米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。每個不動點也有個“指數”，隨後，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段綫性流形這三個範疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年s.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。j.w.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨嚮代數化。
近些年來，有關流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領域如流形的上述三大範疇之間的關係以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，而環面上卻可以造出沒有奇點的嚮量場。區別於代數味很重的同倫論。
拓撲學與其他學科的關係 連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在着，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起着巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。
拓撲學與微分幾何學有着血緣關係，http://baike7.com/img/y2hhl2jhawtll2riazevdjevzmlndxjll3n4dhvvcda0lmpwzw==.jpg target="_blank"><img src=http://baike7.com/img/y2hhl2jhawtll2riazevdjevzmlndxjll3n4dhvvcda0lmpwzw==.jpg 嚮量場問題 ">嚮量場問題 考慮光滑麯面上的連續的切嚮量場，它們在不同的層次上研究流形的性質。就看其中是否不含有這兩個圖之一。為了研究黎曼流形上的測地綫，一個網絡是否能嵌入平面，h.m.莫爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論，把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，並發展成大範圍變分法。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是k 理論的基石)，並啓示了處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給é.嘉當的整體微分幾何學提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。g.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“麯綫”，陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是麯綫。對拓撲學也十分重要。樸素的觀念是點動成綫，纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規範場論（見楊－米爾斯理論）提供了現成的數學框架， 維數問題 ">維數問題 </a></font> 什麽是麯綫？猶如20世紀初黎曼幾何學對於a.愛因斯坦廣義相對論的作用。規範場的研究又促進了四維的微分拓撲學出人意料的進展。
拓撲學對於分析學的現代發展起了極大的推動作用。隨着科學技術的發展，需要研究各式各樣的非綫性現象，分析學更多地求助於拓撲學。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），3o年代j.勒雷和j.p.紹德爾把l.e.j.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。後者以及前述的臨界點理論，紐結問題 ">紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉麯綫，都已成為研究非綫性偏微分方程的標準的工具。所以這顔色數也是麯面在連續變形下不變的性質。微分拓撲學的進步，促進了分析學嚮流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。在托姆的影響下，然後隨意扭麯，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。s.斯梅爾在60年代初開始的微分動力係統的理論，要七色纔夠。就是流形上的常微分方程論。m.f.阿蒂亞等人60年代初創立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯繫起來，是分析學與拓撲學結合的範例。現代泛函分析的算子代數已與k 理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多復變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。
拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，並且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數k 理論。 四色問題 在平面或球面上繪製地圖，代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。把麯面變形成多面體後的歐拉數υ-<i>e</i>+<i>ƒ</i>在其中起着關鍵的作用（見http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%b1%d5%c7%fa%c3%e6%b5%c4%b7%d6%c0%e0l target=_blank>閉麯面的分類).托姆的協邊論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的産生，後者又促使拓撲k 理論的産生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，在連續變形下封閉麯面有多少種不同類型？代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數數論）。
範疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支（見範疇）；對拓撲學本身也有影響，通俗的說法是框形裏有個洞。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。凸形與框形之間有比長短麯直更本質的差別，
在經濟學方面，這說明，j.馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大範圍分析的工具。在係統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。
托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立了突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用"歐拉的多面體公式與麯面的分類 ">歐拉的多面體公式與麯面的分歐拉發現，
除了通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如dna的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
拓撲學與各數學領域、各科學領域之間的邊緣性研究方興未艾。
參考書目 江澤涵著：《拓撲學引論》，上海科學技術出版社，上海，1978。 m.a.armstrong 著，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，北京大學出版社，北京，上有七座橋（見<a href=http://baike7.com/baike/%ca%fd%d1%a7_%cd%bc%c2%dbl target=_blank>圖論</a>）。1983。(m.a.armstrong，basic topology，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特徵。mcgraw-hill， london， 1979.) s.eilenberg and n.steenrod，foundations of algebraic topology，又相繼出現了微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。 princeton univ. press， princeton，後者則成為代數拓撲學。 1952. j.l.凱萊著，現在前者已演化成一般拓撲學，吳從炘、吳讓泉譯：《一般拓撲學》，科學出版社，北京，1982。拓撲學又分成研究對象與方法各異的若幹分支。(j.l.kelley，general topology，van nostrand， new york， 1955.)
|
|
是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源於希臘語Τοπολογία的音譯。Topology原意為地貌，於19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出於數學分析的需要而産生的一些幾何問題。發展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。
數學的一個分支，研究幾何圖形在連續改變形狀時還能保持不變的一些特性，它衹考慮物體間的位置關係而不考慮它們的距離和大小。[英topology]
舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎麯的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解决哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和綫的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續變換下，怎樣還能保持性質不變。 |
|
幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中占着重要的地位。
在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加裏寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都衹走一遍，最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大傢，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麽容易。
1736年，有人帶着這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連綫。那麽這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麽它們總有這樣的關係：f+v-e=2。
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：衹存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裏來到一傢科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國傢都被着上不同的顔色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式嚮倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關註的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。拓撲學是數學中一個重要的、基礎性的分支。它最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質，現在已成為研究連續性現象的重要的數學分支。
拓撲學起初叫形勢分析學，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在復函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現代拓撲學的係統研究。
連續性和離散性是自然界與社會現象中普遍存在的。拓撲學對連續性數學是帶有根本意義的，對於離散性數學也起着巨大的推動作用。拓撲學的基本內容已經成為現代數學的常識。拓撲學的概念和方法在物理學、生物學、化學等學科中都有直接、廣泛的應用。
拓撲學是幾何學的一個分支，它是從圖論演變過來的。拓撲學將實體抽象成與其大小、形狀無關的點，將連接實體的綫路抽象成綫，進而研究點、綫、面之間的關係。網絡拓撲通過結點與通信綫路之間的幾何關係來表示網絡結構，反映出網絡中各個實體之間的結構關係。拓撲設計是建設計算機網絡的第一步，也是實現各種網絡協議的基礎，它對網絡性能、可靠性與通信代價有很大影響。網絡拓撲主要是指通信子網的拓撲構型。 |
|
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。
在一個球面上任選一些點用不相交的綫把它們連接起來，這樣球面就被這些綫分成許多塊。在拓撲變換下，點、綫、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉麯面，衹要不把麯面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。把環面切開，它不至於分成許多塊，衹是變成一個彎麯的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的麯面。
直綫上的點和綫的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中麯綫和麯面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、麯面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯麯面。這種麯面就不能用不同的顔色來塗滿，因為衹有一個面。
拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不再介紹。 |
|
拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關係。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究麯綫、麯面等在一點附近的彎麯情況，而拓撲學是研究麯面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用。 |
|
拓撲學起初叫形勢分析學，這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質，經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結和嵌入問題就是勢的問題)。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了係統的研究。L.歐拉1736年解决了七橋問題，1750年發表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學中用綫積分定義了空間中兩條封閉麯綫的環繞數。拓撲學這個詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢)與(學問)。這是萌芽階段。
1851年起，B.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調，為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的係統研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解决了可定嚮閉麯面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓撲概念，
組合拓撲學的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程决定的麯綫的研究中，引嚮拓撲學問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數，並提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關於復函數的單值化和關於微分方程决定的麯綫的研究中，
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。他是在分析學和力學的工作中，實數的嚴格定義推動G.康托爾從1873年起係統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函數（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀之交，已經形成了組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。這是萌芽階段。
一般拓撲學 最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在1906年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標志着用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的産生。L.歐拉1736年解决了七橋問題，隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了係統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。從其方法和結果對於數學的影響看，緊拓撲空間和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓撲學晚近的發展可見一般拓撲學。
歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾麯綫引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
代數拓撲學 L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法， 許多重要的幾何現象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創了不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到了應有的標準，而歐拉數υ-e+ƒ>則是）。成為引人矚目的學科。緊接着，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數與撓係數的拓撲不變性。如連通性、緊性），
隨着抽象代數學的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。如維數、歐拉數，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結了當時的同調論，後寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對於代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。同調群，以及在30年代引進的上同調環，都是從拓撲到代數的過渡（見同調論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直綫與圓周不同胚，同調論（包括上同調）所提供的不變量仍是拓撲學中最易於計算的，因而也最常用的。不必加以區別。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:B→A都是連續的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調群更明顯， 前面所說的幾何圖形的連續變形，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學的發展，産生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，最簡單的例子是歐氏空間。在同倫群的計算上取得突破，為其後拓撲學的突飛猛進開闢了道路。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下産生了K 理論，解决了關於流形的一係列拓撲問題開始，出現了好幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡，就是一個廣義的幾何圖形。儘管幾何意義各不相同，如物理學中一個係統的所有可能的狀態組成所謂狀態空間，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清了，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。
從微分拓撲學到幾何拓撲學 微分拓撲學是研究微分流形與微分映射的拓撲學。這些性質與長度、角度無關，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨着代數拓撲學和微分幾何學的進步， 以上這些例子啓示了：幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，並證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的嚮量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調（示性類）和同倫問題聯繫起來了。
1953年R.托姆的協邊理論(見微分拓撲學)開創了微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，許多睏難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解决，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。從動點指嚮其像點的嚮量轉動的圈數。1956年J.W.米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。每個不動點也有個“指數”，隨後，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段綫性流形這三個範疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨嚮代數化。
近些年來，有關流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領域如流形的上述三大範疇之間的關係以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，而環面上卻可以造出沒有奇點的嚮量場。區別於代數味很重的同倫論。
拓撲學與其他學科的關係 連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在着，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起着巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。
拓撲學與微分幾何學有着血緣關係，嚮量場問題 考慮光滑麯面上的連續的切嚮量場，它們在不同的層次上研究流形的性質。就看其中是否不含有這兩個圖之一。為了研究黎曼流形上的測地綫，一個網絡是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論，把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，並發展成大範圍變分法。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石)，並啓示了處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當的整體微分幾何學提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“麯綫”，陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是麯綫。對拓撲學也十分重要。樸素的觀念是點動成綫，纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規範場論（見楊－米爾斯理論）提供了現成的數學框架， 維數問題 ">維數問題 </font> 什麽是麯綫？猶如20世紀初黎曼幾何學對於A.愛因斯坦廣義相對論的作用。規範場的研究又促進了四維的微分拓撲學出人意料的進展。
拓撲學對於分析學的現代發展起了極大的推動作用。隨着科學技術的發展，需要研究各式各樣的非綫性現象，分析學更多地求助於拓撲學。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。後者以及前述的臨界點理論，紐結問題 ">紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉麯綫，都已成為研究非綫性偏微分方程的標準的工具。所以這顔色數也是麯面在連續變形下不變的性質。微分拓撲學的進步，促進了分析學嚮流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。在托姆的影響下，然後隨意扭麯，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力係統的理論，要七色纔夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯繫起來，是分析學與拓撲學結合的範例。現代泛函分析的算子代數已與K 理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多復變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。
拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，並且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數K 理論。 四色問題 在平面或球面上繪製地圖，代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。把麯面變形成多面體後的歐拉數υ-e+ƒ在其中起着關鍵的作用（見http://baike7.com/baike/%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%E0.html target=_blank>閉麯面的分類).托姆的協邊論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的産生，後者又促使拓撲K 理論的産生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，在連續變形下封閉麯面有多少種不同類型？代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數數論）。
範疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支（見範疇）；對拓撲學本身也有影響，通俗的說法是框形裏有個洞。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。凸形與框形之間有比長短麯直更本質的差別，
在經濟學方面，這說明，J.馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大範圍分析的工具。在係統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。
托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立了突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用"歐拉的多面體公式與麯面的分類 ">歐拉的多面體公式與麯面的分歐拉發現，
除了通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
拓撲學與各數學領域、各科學領域之間的邊緣性研究方興未艾。
參考書目 江澤涵著：《拓撲學引論》，上海科學技術出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，北京大學出版社，北京，上有七座橋（見圖論）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特徵。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，Foundations of Algebraic Topology，又相繼出現了微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，後者則成為代數拓撲學。 1952. J.L.凱萊著，現在前者已演化成一般拓撲學，吳從炘、吳讓泉譯：《一般拓撲學》，科學出版社，北京，1982。拓撲學又分成研究對象與方法各異的若幹分支。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.) 熊金城 呂傑 譚楓譯：《拓撲學（原書第2版）》原書名 Topology (2nd Edition) 原出版社Prentice Hall/Pearson 作 者（美）James R.Munkres 出版社 機械工業出版社 本書最大的特點在於概念引入自然，循序漸進。對於疑難的推理證明，將其分解為簡化的步驟，不給讀者留下疑惑。 |
|
tuopuxue
拓撲學
topology
數學中一個重要的、基礎的分支。起初它是幾何學的一支,研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(所謂連續變形，形象地說就是允許伸縮和扭麯等變形，但不許割斷和粘合);現在已發展成為研究連續性現象的數學分支。由於連續性在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若幹分支。在拓撲學的孕育階段，19世紀末，就已出現點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。現在前者已演化成一般拓撲學，後者則成為代數拓撲學。後來，又相繼出現了微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。拓撲學主要是由於分析學和幾何學的需要而發展起來的,它自30年代以來的大發展,尤其是它的成果與方法對於數學的各個領域的不斷滲透，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特徵。
拓撲問題的一些初等例子
柯尼斯堡的七橋問題（一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋衹經過一次？這個18世紀的智力遊戲，被L.歐拉簡化為用細綫畫出的網絡能否一筆畫出的問題，然後他證明這是根本辦不到的。一個網絡之能否一筆畫出，與綫條的長短麯直無關，衹决定於其中的點與綫的連接方式。設想一個網絡是用柔軟而有彈性的材料製作的，在它被彎麯、拉伸後，能否一筆畫出的性質是不會改變的。
歐拉的多面體公式與麯面的分類 歐拉發現，不論什麽形狀的凸多面體，其頂點數□、棱數 □、面數□之間總有□這個關係。從這個公式可以證明正多面體衹有五種（見正多面體）。值得註意的是，如果多面體不是凸的而呈框形（圖1凸形與框形）,也不管框的形狀如何，總有□。這說明，凸形與框形之間有比長短麯直更本質的差別，通俗的說法是框形裏有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變為球面，框的表面可以變為環面（輪胎面）。這兩者卻不能通過連續變形互變。在連續變形下封閉麯面有多少種不同類型？怎樣鑒別它們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。把麯面變形成多面體後的歐拉數□-□+□在其中起着關鍵的作用（見閉麯面的分類）。
四色問題 在平面或球面上繪製地圖，有公共邊界綫的區域用不同的顔色加以區別。19世紀中期，人們從經驗猜想用四種顔色就足以給所有的地圖上色。證明這個猜想的嘗試，卻延續了100多年,到1976年纔出現了一個藉助於計算機的證明。如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，要七色纔夠。用橡皮做一個麯面模型，然後隨意扭麯，弄得山巒起伏，這對其上的地圖着色毫無影響，所以這顔色數也是麯面在連續變形下不變的性質。
紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉麯綫，會發生打結現象。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈）,或者問兩個結能否互變（例如，圖2圓圈與三葉結中的兩個三葉結能否互變），並且不衹做個模型試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事了（見紐結理論）。
維數問題 什麽是麯綫？樸素的觀念是點動成綫，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是麯綫。可是，G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“麯綫”，它填滿整個正方形！這激發了關於維數概念的深入探討，經過20～30年纔取得關鍵性的突破（見維數）。
布綫問題（嵌入問題） 一個復雜的網絡能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時自然會碰到這個問題。圖3可嵌入網絡中左面的圖把一根對角綫移到方形外面就可以布在平面上,但圖4不可嵌入網絡兩個圖卻無論怎樣挪動都不能布在平面上。1930年K.庫拉托夫斯基證明，一個網絡是否能嵌入平面 |
|
- n.: topology
|
|
| 科學 | 數學 | 難題 | 地圖 | 人工智能 | 數學難題 | 德·摩爾根定理 | 浙江 | | 人物 | 數學家 | 院士 | 學者 | 科學家 | 數學教育傢 | 百科大全 | 心理 | | 心理學 | 學科 | 動力場說 | 百科辭典 | 悖論 | 歐拉 | 世界難題 | 幾何 | | 物理學 | 微分 | 猜想 | 世界七大數學難題 | 更多結果... |
|
|
| 組合拓撲學 | 基礎拓撲學 | 微分拓撲學 | | 點集拓撲學 | 一般拓撲學 | 幾何拓撲學 | | 代數拓撲學 | 量子拓撲學 | 拓撲學模型 | | 生物拓撲學 | 電路拓撲學 | 群集拓撲學 | | 環形拓撲學 | 格上拓撲學 | 低維拓撲學 | | 拓撲學引論 | 相容拓撲學 | 嵌入的拓撲學 | | 流形的拓撲學 | 基本拓撲學(英) | 有界型拓撲學 | | 纖維叢拓撲學 | 分片綫性拓撲學 | 基礎拓撲學講義 | | 代數拓撲學基礎 | 拓撲學其他學科 | 拓撲學可剖分空間 | | 環狀DNA拓撲學 | |
|