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一個集g，如果它不是空集，而且滿足以下四個條件，就叫做群：
①g中有一個閉合的結合法。這就是說，g中任意兩元a，b的結合c仍然是g中元。結合法通常寫成乘法，這時c又叫做a,b的積。一般用記號ab=c或a·b=c表示。要註意，積ab雖然是由a,b唯一决定的，但一般它還與a,b的順序有關。即ab不一定等於ba。
②g的結合法滿足結合律。也就是說，對於g中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。
③g中有一個（左）單位元e，對g中任意元a，有ea=a。事實上由於可以證明群的左單位元也是右單位元，因而一般把e就叫做單位元。
④對於g中任意元a，在g中有一個滿足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此處e就是上面的（左）單位元。實際上，可以證明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。
附註：
①現代意義上的抽象群概念由法國天才數學家伽羅華（eacute;variste galois，1811-1832）最先建立起來。②群的定義有多種等價的表達形式，以這一種最為基本。
③一個非空集，若衹滿足上面的條件①，則稱為乘集；若滿足條件①②，則稱為半群，這也是一個重要概念。
④若群的結合法還滿足交換律：ab=ba，則稱為交換群或阿貝耳（n.h.abel，1802-1829）群。
⑤由一個元組成的群叫單位元群，元數是有窮的群叫有窮群，否則叫無窮群。群的元數記作|g|。 |
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設非空集合G和運算·滿足下列四個條件：
（1）G上有一個二元運算。〔即對任意a、b∈G，有a•b∈G〕
（2）G中有單位元I。〔即對任意a∈G，有I•a＝a•I＝a〕
（3）G中的每個元素都有逆元。〔即對任意a∈G，存在a′ ∈G，有a•a′＝a′•a＝I〕
（4）G的乘法滿足結合律。
那麽(G，•)叫做一個群。 |
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例題：設非空集合Z3表示這個數除以3後的餘數，a◎b表示a+b除以3的餘數，證明(Z3，◎)是一個群。
解：衹要滿足I～IV這4個條件即可。
Z3中衹有3個元素：0，1，2
先列出乘法表：
◎ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
I：根據乘法表可以看出◎是一個二元運算。
II：根據乘法表得出0是運算◎的單位元。
III：根據乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。
IV：容易證明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)
所以(Z3，◎)是一個群 |
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| 設非空集合K3表示這個數除以3後的小數部分的第一位，a◎b表示a+b除以3後的小數部分的第一位，證明(K3，◎)是一個群。 |