|
|
抽象代數（Abstract algebra）又稱近世代數（Modern algebra），它産生於十九世紀。
抽象代數是研究各種抽象的公理化代數係統的數學學科。由於代數可處理實數與復數以外的物集，例如嚮量(vector)、矩陣（matrix)、變換（transformation）等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容升華出來，並因此而達到更高層次，這就誕生了抽象代數。抽象代數，包含有群（group)、環(ring)、Galois理論、格論等許多分支，並與數學其它分支相結合産生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
被譽為天才數學家的Galois(1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。Galois群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解决了睏擾數學家們長達數百年之久的問題。Galois群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解决了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開闢了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展産生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的産生和發展都發生了巨大的影響。
1843年，Hamilton發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數。1857年，Cayley設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定(與其餘假定是兼容的)，就能研究出許多種代數體係。
1870年，Kronecker給出了有限Abel群的抽象定義；Dedekind開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；Dedekind和Kronecker創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體係的研究，開創了抽象代數學。
有一位傑出女數學家被公認為抽象代數奠基人之一，被譽為"代數女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生於德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學，1907年在數學家哥爾丹指導下獲博士學位。Noether的工作在代數拓撲學、代數數論、代數幾何的發展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解决了有理函數域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在格丁根大學的就職論文中，討論連續群(Lie群)下不變式問題，給出Noether定理，把對稱性、不變性和物理的守恆律聯繫在一起。1920~1927年間她主要研究交換代數與交換算術。1916年後，她開始由古典代數學嚮抽象代數學過渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年寫出的<<整環的理想理論>>是交換代數發展的里程碑。建立了交換Noether環理論，證明了準素分解定理。1926年發表<<代數數域及代數函數域的理想理論的抽象構造>>，給Dedekind環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。Noether的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的係統理論，一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分佈，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。Noether當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交換代數與非交換算術。她把表示理論、理想理論及模理論統一在所謂“超復係”即代數的基礎上。後又引進交叉積的概念並用决定有限維Galois擴張的布饒爾群。最後導致代數的主定理的證明，代數數域上的中心可除代數是循環代數。
1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的bool代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數係統的理論和Bourbaki學派；1955年，Cartan等建立了同調代數理論。
到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，如其中最主要的Lie代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絶大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。 |
|
抽象代數
Abstract algebra
抽象代數(abstraet algebra)
抽象代數是描述代數類型的一個術語，與近代
代數和一般代數同義。它是從本世紀20年代中期以
來發展起來的，並已成為現代數學的基礎用語。以前
的代數是高度計算性的，並且限於研究一般以實數
及復數為基礎的特定數係。與此相反，抽象代數是概
念性的、公理化的，討論的是非特定的任意元素集合
的係統，以及滿足已規定的若幹公理的某些合成法。
把較老的矩陣論與較抽象的綫性代數進行比
較，就能清楚地看出較老的論述與現代的論述之區
別。二者大致都是討論數學的同一部分，前者用直接
論述的方法，強調矩陣運算，後者用公理的與幾何的
觀點，把嚮量空間與綫性變換當作基本的概念而把
矩陣當作較次要的概念。參閱“綫性代數(1i near。1-
gebra)、“矩陣論，，(matrix theory)條。
概貌抽象代數討論若幹重要的代數結構，如
群、環與格。參閱“群論，’(group theory)條。
這種結構由一集合S組成，它的元素並未指定
其性質，且在S上賦予了若幹個有限重的合成法。
如y為一個正整數，一個y重合成法就是使S中任
意y個元的組(a，，aZ，…，ar)對應於S中唯一的
元“(a，，aZ，…，外)。為了方便起見，也可考慮
“零重”合成法，即選取S的特殊元。在S一G是群的
情況下，我們有一個單一的雙(~2重)合成法，它
要滿足幾個稱作群公理的簡單條件。這時，我們通常
把。(a，b)寫成ab，或者寫成a+b。如果群是可換
的，即對所有的a，b有aJ(a，b)一。(b，a)。在環
R的情況，我們就有兩個雙合成法，記作ab與a+
b，它們要遵從一些叫做環公理的條件。
除內在地討論代數結構外，討論一個代數結構
在另一個方面的作用也是有趣的。重要的例子是模
的理論及它的特殊嚮量空間的理論。我們定義環R
的左模為一交換群M，環R可作用在它左邊，其含
義為:給出一對元素(a，x)，這裏a在R中，x在
M中，那末它决定M中唯一元ax.假定模積ax滿
足模公理a(x+刃~ax+ay，(a+b)x=ax+b二，
(ab)x=a(bx)，這裏，a，b是R中的任意元，x，
y是M中的任意元。
在代數結構的研究中，相當大的一部分可以用
統一的方法來開展，而不必限定特殊的結構。但抽象
代數較深的方面卻要求對各個係的特殊化，其多樣
性在很大程度上可應用於數學的其他領域和物理
學。代數結構的一般研究叫做泛代數。這裏的基本概
念是一個代數結構S到第二個結構S’內的同態，
且在S與夕的合成法集合之間有一個一一對應
aJ”。‘，使得對於同樣的r=o，l，2，3，…，。與。‘
都是r重的。S到夕內的同態就是S到S’內的這樣
一個映射，使得對於S中的所有a、以及所有對應的
合成法。，以有。(al，…，a，)=、，〔f(a:)，…，
f(a， |
|
| 近世代數 | 數學 | 離散 | 拓撲 | 群 | 百科大全 | 對稱 | 數學家 | | 艾米諾特 | 理論物理 | 群論 | |
|
|
| 抽象代數學 | 抽象代數幾何 | 抽象代數幾何學 | | 近代抽象代數學 | |
|