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前言：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麽我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麽不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比睏難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
一位數學史傢曾經如此形容1854年出生的亨利•龐加萊（henri poincare）:“有些人仿佛生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解决了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。
1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的麯綫都能收縮到一點，那麽這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。”後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。
如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：
我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裏面充滿了氣，我們鑽到裏面看，這就是一個球形的房子。
我們不妨假設這個球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們現在在這樣的球形房子裏。現在拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裏。隨便什麽氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麽形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。
好，現在我們繼續吹大這個汽球，一直吹。吹到最後會怎麽樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是汽球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。
我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麽我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；
另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麽不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。
為什麽？因為，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。
看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。 |
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2000年5月24日，美國剋萊數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解决。”剋雷數學研究所的董事會决定建立七百萬美元的大奬基金，每個“千年大奬問題”的解决都可獲得百萬美元的奬勵。另外六個“千年大奬問題”分別是： np完全問題， 霍奇猜想（hodge）， 黎曼假設（riemann），楊－米爾斯理論（yang-mills），納維-斯托剋斯方程（navier-stokes，簡稱ns方程），bsd猜想（birch and swinnerton-dyer）。
提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。 |
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20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究衹有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（whitehead）對這個問題産生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特海流形。
30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解决了龐加萊猜想，著名的賓（r.bing）、哈肯（haken）、莫伊澤（moise）和帕帕奇拉剋普羅斯（papa-kyriakopoulos）均在其中。
帕帕奇拉剋普羅斯是1964年的維布倫奬得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大傢都稱呼他“帕帕”（papa）。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（dehn's lemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰•米爾諾（john milnor）曾經為此寫下一段打油詩：“無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉剋普羅斯/居然證明得毫不費力。”
然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳着一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，衹是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。 |
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這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能産生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。
一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。
1966年菲爾茨奬得主斯梅爾（smale），在60年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解决，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在裏約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙和鉛筆，對着大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非綫性振動會議上，斯梅爾公佈了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。
10多年之後的1983年，美國數學家福裏德曼（freedman）將證明又嚮前推動了一步。在唐納森工作的基礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨奬。但是，再嚮前推進的工作，又停滯了。
拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（thruston）就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨奬。
“就像費馬大定理，當𠔌山志村猜想被證明後，儘管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了。因為，一個可以解决問題的工具出現了。”清華大學數學係主任文志英說。 |
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然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。人們在期待一個新的工具的出現。可是，解决龐加萊猜想的工具在哪裏？
工具有了。
理查德•漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡衝浪、旅遊和交女朋友的老友“playboy”，但提起他的數學成就，卻衹有稱贊和惺惺相惜。
1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非綫性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨奬。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福大學數學係教授的丘成桐見到了漢密爾頓。“那時候，漢密爾頓剛剛在做ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。”丘成桐說，“於是我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。”
ricci流是以意大利數學家裏奇（gregorio ricci）命名的一個方程。用它可以完成一係列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解决三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟着漢密爾頓研究ricci流。其中就包括他的第一個來自中國大陸的學生曹懷東。
第一次見到曹懷東，是在超弦大會丘成桐關於龐加萊猜想的報告上。雖然那一段時間裏，幾乎所有的媒體都在找曹懷東，但穿着件顔色鮮豔的大t恤的他，在會場裏走了好幾圈，居然沒有人認出。這也難怪。絶大多數的數學家，依然是遠離公衆視綫的象牙塔中人，即使是名動天下如威滕（witten），坐在後排，儼然也是大隱隱於市的模樣。
1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當丘成桐轉到加州大學聖迭戈分校任教時，曹懷東也跟了過來。但是，他的絶大多數時間，是與此時亦從康奈爾大學轉至聖迭戈分校的漢密爾頓“泡在一起”。這時，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優秀的，是施皖雄。他寫出了很多非常漂亮的論文，提出很多好的觀點，可是，因為個性和環境的原因，在沒有拿到大學的終身教職後，施皖雄竟然放棄了做數學。提起施皖雄，時至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然於事無補但惹人深思的假設是，如果，當時的施皖雄堅持下去，關於龐加萊猜想的故事，是否會被改寫？
在使用ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控製走嚮的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動嚮，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在藉鑒了丘成桐和李偉光在非綫性微分方程上的工作後，1993年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解决龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。
與其同時，地球的另一端，一個叫格裏戈裏·佩雷爾曼的數學家在花了8年時間研究這個足有一個世紀的古老數學難題後，將3份關鍵論文的手稿在2002年11月和2003年7月之間，粘貼到一傢專門刊登數學和物理論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家。聲稱證明了幾何化猜想。到2005年10月，數位專傢宣佈驗證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經達成。
“如果有人對我解决這個問題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們去看吧。”佩雷爾曼博士說，“我已經發表了我所有的算法，我能提供給公衆的就是這些了。”
佩雷爾曼的做法讓剋雷數學研究所大傷腦筋。因為按照這個研究所的規矩，宣稱破解了猜想的人需在正規雜志上發表並得到專傢的認可後，才能獲得100萬美元的奬金。顯然，佩雷爾曼並不想把這100萬美金補充到他那微薄的收入中去。
對於佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數學天才，出生於1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數學和物理。16歲時，他以優異的成績在1982年舉行的國際數學奧林匹剋競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴傢，桌球打得也不錯。
從聖彼得堡大學獲得博士學位後，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學院聖彼得堡斯捷剋洛夫數學研究所工作。上個世紀80年代末期，他曾到美國多所大學做博士後研究。大約10年前，他回到斯捷剋洛夫數學研究所，繼續他的宇宙形狀證明工作。
證明龐加萊猜想關鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光於公衆視野，但他似乎並不喜歡與媒體打交道。據說，有記者想給他拍照，被他大聲製止；而對像《自然》《科學》這樣聲名顯赫雜志的采訪，他也不屑一顧。
“我認為我所說的任何事情都不可能引起公衆的一絲一毫的興趣。”佩雷爾曼說，“我不願意說是因為我很看重自己的隱私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這裏沒有頂級機密，我衹不過認為公衆對我沒有興趣。”他堅持自己不值得如此的關註，並表示對飛來的橫財沒有絲毫的興趣。
2003年，在發表了他的研究成果後不久，這位頗有隱者風範的大鬍子學者就從人們的視野中消失了。據說他和母親、妹妹一起住在聖彼得堡市郊的一所小房子裏，而且這個猶太人家庭很少對外開放。 |
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就這樣，在前人的不斷努力下，龐加萊猜想的證明也變得水到渠成。
2006年6月3日，中山大學的朱熹平教授和曹懷東以一篇長達300多頁的論文，以專刊的方式刊載在美國出版的《亞洲數學期刊》六月號，補全了佩雷爾曼證明中的漏洞，給出了龐加萊猜想的完全證明。破解了國際數學界關註上百年的重大難題——龐加萊猜想。運用漢密爾頓、佩雷爾曼等的理論基礎，朱熹平和曹懷東第一次成功處理了猜想中“奇異點”的難題，從而完全破解了睏擾世界數學家多年的龐加萊猜想。今後，“龐加萊猜想”就要被稱作“龐加萊定理”啦！
但是，因為還有其他人宣稱證明了該猜想，包括佩雷爾曼、漢密爾頓都對此問題有着巨大貢獻，佩雷爾曼還一度聲稱自己證明了該猜想，而朱熹平和曹懷東卻完成了最後的封頂，因此誰是首個證明者，還有爭議。 |
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答案是佩雷爾曼
我們於6月23日到達聖彼得堡，專程采訪佩雷爾曼。在這之前佩雷爾曼從未接受過采訪。在我們之前，國際數學家聯盟主席john ball秘密拜訪了佩雷爾曼，他的唯一目的是說服佩雷爾曼接受將在8月份國際數學家大會上頒發的菲爾茲奬。誰都知道這是數學界的最高榮譽，此前共有44位數學家獲此殊榮，沒有人拒絶過接受這個榮譽。然而面對ball教授兩天共十個小時的勸說，佩雷爾曼的回答衹是“我拒絶。”他對我們說：“如果我的證明是正確的，別種方式的承認是不必要的。”
佩雷爾曼於1992年訪問美國，他的生活極為儉樸，衹吃面包，芝士和牛奶。在紐約大學他結識了年輕的中國數學家田剛，每星期他們一起開車去普林斯頓參加高等研究院的討論班。佩雷爾曼讀了哈密爾頓關於瑞奇流的文章，還在高等研究院聽了他給的一個報告。佩雷爾曼說：“你不用是大數學家也可以看出這對幾何化會有用。”
1993年佩雷爾曼開始在伯剋萊進行為期兩年的訪問，適逢哈密爾頓來校作係列演講。一次報告後，哈密爾頓告訴佩雷爾曼他所遇到的最大的一些障礙，其中之一是叫做“雪茄”的一類奇點。佩雷爾曼意識到，他寫的一篇沒有發表的文章可能對解决這個問題有用，問哈密爾頓是否知道這篇文章。但哈密爾頓似乎沒有瞭解這篇文章的重要。
1994年，佩雷爾曼因寫出了幾篇非常有原創性的論文而被邀請在國際數學家大會作報告。好幾傢大學，包括斯坦福和普林斯頓，邀請他去申請職位。但是他拒絶了一些學校提供的職位，於1995年夏天回到聖彼得堡。他說：“我意識到我在俄國會工作得更好。”斯坦福的eliashberg 說他回俄國是為瞭解决龐加萊猜想，佩雷爾曼對這種說法沒有表示反對。
在俄國他獨自工作，衹通過英特網搜集他所需要的知識。gromov,一位曾與佩雷爾曼合作過的着名幾何學家說：“他不需要任何幫助，喜歡一個人工作。他使我想起牛頓，着迷於自己的想法，不去理睬別人的意見。”1995年，哈密爾頓發表了一篇文章，其中描述了他對於完成龐加萊猜想的證明的一些想法。佩雷爾曼對我們說，從這篇文章中“我看不出他在1992年之後有任何進展。可能更早些時候他就被卡在哪兒了。”然而佩雷爾曼卻認為自己看到瞭解决問題的道路。1996年，他給哈密爾頓寫了一封長信，描述了他的想法，寄希望於哈密爾頓會同他合作。但是，佩雷爾曼說，“他沒有回答。所以我决定自己幹。”
2002年11月11日，佩雷爾曼在網絡數學文庫arxiv.org上張貼了他的第一篇文章，之後他通過電子郵件把文章摘要發送給在美國的一些數學家，包括哈密爾頓，田剛和丘成桐。之前他沒有同任何人討論過這篇文章，因為“我不想同我不信任的人討論我的工作。”對於隨意地在網上發表如此重要的問題的解答可能帶來的風險，例如證明或有紕漏而使他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優先權，佩雷爾曼表示：“如果我錯了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。”田剛在mit收到了佩雷爾曼的電子郵件，立即意識到其重要性。他開始閱讀並同他的同事們討論這篇文章。
11月19日，幾何學家kapovitch在電子郵件中詢問佩雷爾曼：“我是否理解正確：你在哈密爾頓的綱要中已經可以做足夠多的步驟使你能解决幾何化猜想？”佩雷爾曼第二天的回答衹有一句話：“這是正確的。”
田剛寫信給佩雷爾曼邀請他到mit作演講。普林斯頓和石溪分校的同事們也發出類似邀請。佩雷爾曼全部接受了，並於2003年4月開始在美國做巡回演講。數學家們和新聞界都把這看作一件大事。使他感到失望的是，哈密爾頓沒有參加這些報告會。
佩雷爾曼告訴我們，“我是哈密爾頓的門徒，雖然還沒有得到他的認可。”當哥倫比亞大學的john morgan邀請他去演講時他同意了，因為他希望在那裏能見到哈密爾頓。演講會在一個星期天早上舉行，哈密爾頓遲到了，並且在會後的討論和午餐中沒有提任何問題。“我的印象是他衹讀了我的文章的第一部分。”佩雷爾曼說。
到2003年的7月，佩雷爾曼已經在網上公佈了他的後兩篇文章。數學家們開始對他的證明艱苦地進行檢驗和說明。在美國至少有兩組專傢承擔了這一任務：田剛（丘成桐的對手）和morgan；還有密西根大學的兩位專傢。剋萊研究所對他們都給與資助，並計劃把田和morgan的工作以書的形式出版。這本書除了為數學家們提供佩雷爾曼的證明的邏輯外，還是佩雷爾曼能夠獲得剋萊研究所一百萬美元奬金的依據。
2004年9月10日，在佩雷爾曼回到聖彼得堡一年多後，他收到田剛發來的一封很長的電子郵件，田在其中寫道：“我想我們已經理解了你的文章，它完全正確。”佩雷爾曼沒有回信。他嚮我們解釋，“人們需要時間去適應這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實。。。。。重要的是我不去影響這個過程。”
2003年春天，丘成桐召集中山大學的朱熹平和他的一個學生，裏海大學的曹懷東，承擔解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學年訪問哈佛大學，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明並繼續與曹一起寫他們的文章。2006年4月13日，《亞洲數學雜志》編委會的31位數學家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內對丘打算在雜志上發表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發表意見，題目是“瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論:龐加萊和幾何化猜想”。電子郵件沒有包含這篇文章，評審報告或者摘要。至少一位編委要求看這篇文章，卻被告知無法得到。4月16日曹收到了丘的郵件告訴他文章已被接受，摘要已在雜志的網站公佈。一個多月後，朱和曹的文章的題目在《亞洲數學雜志》的網頁上被改成“龐加萊和幾何化猜想的一個完整證明：瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的應用”。摘要也被修改了，新加的一句話說，“這一證明應看作為瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的最高成就”。
朱和曹的文章中說，他們不得不“用基於自己研究的新方法取代佩雷爾曼的幾處關鍵步驟，因為我們不能理解他的本來的推理，而這些推理對幾何化綱領的完成是要緊的。”熟悉佩雷爾曼證明的數學家不同意朱和曹對於龐加萊猜想做出重要新貢獻的說法。morgan說：“佩雷爾曼已經做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什麽不同的事情。”
兩位作者到達聖彼得堡後經歷了一番麯折纔見到佩雷爾曼。佩雷爾曼反復說他已經退出了數學界，不再認為自己是職業數學家了。他提到多年前他同一位合作者就如何評價某個作者的一項工作所發生的爭執。他說他對於學界鬆懈的道德規範感到非常沮喪。“不是那些違背道德標準的人被看作異類，”他說，“而是象我這樣的人被孤立起來。”當被問及他是否看過曹和朱的文章時，他回答“我不清楚他們做了什麽新貢獻。顯然朱沒有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至於丘成桐，佩雷爾曼說，“我不能說我被侵犯了。還有人做得比這更糟。當然，許多數學家多少是誠實的，可他們幾乎都是和事佬。他們容忍那些不誠實的人。”獲得菲爾茲奬的前景迫使他同他的職業徹底决裂。“衹要我不出名，我還有選擇的餘地，”佩雷爾曼解釋說，“或者做一些醜事，”-----對於數學界缺乏正義感大驚小怪-----“或者不這樣做而被當作寵物。現在，我變得非常有名了，我不能再做寵物而不說話。這就是為什麽我要退出。”當被問及，他拒絶了菲爾茲奬，退出了數學界，是否意味着他排除了影響數學界的任何可能性時，他生氣地回答“我不是搞政治的。”佩雷爾曼不願回答他是否也會拒絶剋萊研究所的百萬美元奬金的問題。“在頒發奬金之前我不作决定，”他說。gromov說他能理解佩雷爾曼的邏輯。“你要做偉大的工作就必須有一顆純潔的心。你衹能想數學。其他一切都屬於人類的弱點。”儘管人們會把他拒絶接受菲爾茲奬視為一種傲慢，gromov說，他的原則值得欽佩。“理想的科學家除科學之外不關心其他的事情。他希望生活在那樣理想的境界。雖然他做不到，但他希望那樣。” |
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| 龐加萊猜想的證明意義重大，該猜想的證明，凝結了中國五六個科學家的貢獻，是人類在三維空間研究角度解决的第一個難題，也是一個屬於代數拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識，對物理學和工程學都將産生深遠的影響，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間産生影響。 |
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我們再來看看和龐加萊猜想同樣被列為“世界七大數學難題”的其他問題都解决得怎麽樣了：
黎曼假設：很多人攻關，沒看到希望
霍奇猜想：進展不大
楊—米爾理論：太難，幾乎沒人做
p與np問題：沒什麽進展
波奇和斯溫納頓—戴雅猜想：有希望破解
納威厄—斯托剋斯方程：離解决相差很遠 |
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Pangjialai caixiang
龐加萊猜想
Poincar□ conjecture
拓撲學中重要的猜想之一。球面是數學中最簡單且最常見的閉流形。從拓撲學的觀點看,□維球面□□的特徵是什麽？二維球面□□是單連通的閉麯面，而且每個單連通的閉麯面都和□□同胚。代數拓撲學的奠基人，法國數學家H.龐加萊在1904年猜測：單連通的三維閉流形必與□□同胚。後人接着猜測：當維數□≥4時，單連通的閉流形如果與□□有相同的同調群,亦必與□□同胚。□這就是□維的龐加萊猜想。
1960年，S.斯梅爾證明了維數□≥5的龐加萊猜想；1981年M.H.弗裏德曼證明了四維的情形。龐加萊原來的三維的猜想則尚未解决。
這猜想簡明易懂，卻是考驗我們對於流形的認識深度的一塊試金石，每前進一步都曾引起拓撲學的躍進。最近四維龐加萊猜想的解决，又導致一個非常重要的發現：四維的歐氏空間與其餘維數的歐氏空間不同，除了通常的微分結構以外它還有別的不尋常的微分結構。
（薑伯駒） |
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