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No. 1
  平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
  即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(註:n^2=n的平方)
  證明1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
  證法一(歸納猜想法):
  1、n=1時,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
  2、n=2時,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
  3、設n=x時,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
  則當n=x+1時,
  1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
  =(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
  =(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
  =(x+1)(2x+3)(x+2)/6
  =(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
  也滿足公式
  4、綜上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得證。
  證法二(利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
  (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
  n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
  ..............................
  3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
  2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
  把這n個等式兩端分別相加,得:
  (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
  由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
  代人上式得:
  n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
  整理後得:
  1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
證明方法
  證法一
  (歸納猜想法):
  1、N=1時,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
  2、N=2時,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
  3、設N=x時,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
  則當N=x+1時,
  1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
  =(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
  =(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
  =(x+1)(2x+3)(x+2)/6
  =(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
  也滿足公式
  4、綜上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得證。
  證法二
  (利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
  (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
  n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
  ..............................
  3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
  2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
  把這n個等式兩端分別相加,得:
  (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
  由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
  代入上式得:
  n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
  整理後得:
  1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
  a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
  證法三
  (見下圖):
  證法四
  (排列組合法,見下圖):