希爾伯特（hilbert d.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數學家之一。他在橫跨兩個世紀的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現代數學。希爾伯特是哥廷根數學學派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質吸引了來自世界各地的年青學者，使哥廷根的傳統在世界産生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜志發表過這樣的觀點：現在世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源於希爾伯特的工作。他像是數學世界的亞歷山大，在整個數學版圖上，留下了他那顯赫的名字。
1900年，希爾伯特在巴黎數學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數學家們去研究，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。
1975年，在美國伊利諾斯大學召開的一次國際數學會議上，數學家們回顧了四分之三個世紀以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當時統計，約有一半問題已經解决了，其餘一半的大多數也都有重大進展。
1976年，在美國數學家評選的自1940年以來美國數學的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解决。由此可見，能解决希爾伯特問題，是當代數學家的無上光榮。
下面摘錄的是1987年出版的《數學家小辭典》以及其它一些文獻中收集的希爾伯特23個問題及其解决情況：
1． 連續統假設 1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫剋爾集合論公理係統的無矛盾性。1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫剋爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫剋爾公理體係內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解决。
2． 算術公理的相容性 歐幾裏得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。
1988年出版的《中國大百科全書》數學捲指出，數學相容性問題尚未解决。
3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。m.w.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
4． 兩點間以直綫為距離最短綫問題 此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限製條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣佈，在對稱距離情況下，問題獲得解决。
《中國大百科全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解决。
5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、龐德裏亞金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解决，得到了完全肯定的結果。
6.物理學的公理化 希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。
7.某些數的無理性與超越性 1934年，a.o.蓋爾方德和t.施奈德各自獨立地解决了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。
8.素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於陳景潤（1966），但離最解决尚有距離。目前孿生素數問題的最佳結果也屬於陳景潤。
9．在任意數域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家e.阿廷（1927）解决。
10． 丟番圖方程的可解性 能求出一個整係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯的io.b.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
11． 係數為任意代數數的二次型 h.哈塞（1929）和c.l.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。
12． 將阿貝爾域上的剋羅剋定理推廣到任意的代數有理域上去 這一問題衹有一些零星的結果，離徹底解决還相差很遠。
13． 不可能用衹有兩個變數的函數解一般的七次方程 七次方程 的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解决了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解决。
14． 證明某類完備函數係的有限性 這和代數不變量問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。
15． 舒伯特計數演算的嚴格基礎 一個典型問題是：在三維空間中有四條直綫，問有幾條直綫能和這四條直綫都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯繫。但嚴格的基礎迄今仍未確立。
16． 代數麯綫和代數麯綫面的拓撲問題 這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數麯綫含有閉的分枝麯綫的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中x、y是x、y的n次多項式.蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。
17． 半正定形式的平方和表示 一個實係數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。
18． 用全等多面體構造空間 由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解决。
19． 正則變分問題的解是否一定解析 對這一問題的研究很少。c.h.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。
20． 一般邊值問題 這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。
21． 具有給定單值群的綫性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和h.羅爾（1957）的工作解决。
22． 由自守函數構成的解析函數的單值化 它涉及艱辛的黎曼麯面論，1907年p.剋伯獲重要突破，其他方面尚未解决。
23． 變分法的進一步發展出 這並不是一個明確的數學問題，衹是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。
這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。 |
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