目錄 懸浮在液體或氣體中的微粒所作的永不停息的無規則運動。1827年由英國植物學家布朗首先發現，故名。布朗運動 是由於微粒受到來自各個方向的液體(或氣體)分子的撞擊未能被抵消而産生的。溫度越高，布朗運動 越激烈。它間接證明了物質分子處於永恆的熱運動中。 brownian movement
布朗運動
布朗運動 的粒子非常微小，直徑約10-7～10-5米， 在周圍液體或氣體分子的碰撞下，産生一種漲落不定的淨作用力，導致微粒的布朗運動 。如果布朗粒子相互碰撞的機會很少，可以看成是巨大分子組成的理想氣體，則在重力場中達到熱平衡後，其數密度按高度的分佈應遵循玻耳茲曼分佈。j.b.佩蘭的實驗證實了這一點，並由此相當精確地測定了阿伏伽德羅常量及一係列與微粒有關的數據。1905年a.愛因斯坦根據擴散方程建立了布朗運動 的統計理論。布朗運動 的發現、實驗研究和理論分析間接地證實了分子的無規則熱運動，對於氣體動理論的建立以及確認物質結構的原子性具有重要意義，並且推動統計物理學特別是漲落理論的發展。由於布朗運動 代表一種隨機漲落現象，它的理論對於儀表測量精度限製的研究以及高倍放大電訊電路中背景噪聲的研究等有廣泛應用。
布朗運動 。不衹是花粉和小炭粒，對於液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運動 。
布朗運動 是怎麽産生的呢？在顯微鏡下看起來連成一片的液體，實際上是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規則的運動，不斷地抓高年級微粒。懸浮的微粒足夠小時，受到的來自各個方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間，微粒在另一個方向受到的撞擊作用強，致使微粒又嚮其它方向運動。這樣，就引起了微粒的無規則的布朗運動 。
布朗運動 。人們長期都不知道其中的原理。50年後，j·德耳索提出這些微小顆粒是受到周圍分子的不平衡的碰撞而導致的運動。後來得到愛因斯坦的研究的證明。布朗運動 也就成為分子運動論和統計力學發展的基礎。
布朗運動 越劇烈．布朗運動 代表了一種隨機漲落現象，它不僅反映了周圍流體內部分子運動的無規則性，關於它的理論在其他許多領域也有重要應用，如對測量儀表測量精度限度的研究、對高倍放大的電訊電路中背景噪聲的研究等等．
布朗運動 的研究
布朗運動 起源於分子的振動，他還公佈了首次對微粒速度與粒度關係的觀察結果。不過他的分子模型還不是現代的模型，他看到的實際上是微粒的位移，並不是振動。
布朗運動 是由於微觀範圍的流動造成的，他沒有說明這種流動的根源，但他看到在加熱和光照使液體粘度降低時，微粒的運動加劇了。就這樣，維納和s.埃剋斯納都把布朗運動 歸結為物係自身的性質。這一時期還有康托尼，他試圖在熱力理論的基礎上解釋布朗運動 ，認為微粒可以看成是巨大分子，它們與液體介質處於熱平衡，它們與液體的相對運動起源於滲透作用和它們與周圍液體之間的相互作用。
布朗運動 歸結為液體分子撞擊微粒的結果，這些學者有卡蓬內爾、德爾索和梯瑞昂，還有耐格裏。植物學家耐格裏(1879)從真菌、細菌等通過空氣傳播的現象，認為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯繫到物理學中氣體分子以很高速度嚮各方向運動的結論，他推測在陽光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結果。他說：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來擲去，結果如同分子本身一樣能保持長久的懸浮。”不過耐格裏又放棄了這一可能達到正確解釋的途徑，他計算了單個氣體分子和塵埃微粒發生彈性碰撞時微粒的速度，結果要比實際觀察到的小許多數量級，於是他認為由於氣體分子運動的無規則性，它們共同作用的結果不能使微粒達到觀察速度值，而在液體中則由於介質和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運動的設想不能成為合適的解釋。
布朗運動 進行過大量的實驗觀察。古伊對分子行為的描述並不比卡蓬內爾等人高明，他也沒有弄清漲落的見解。不過他的特別之處是他強調的不是對布朗運動 的物理解釋，而是把布朗運動 作為探究分子運動性質的一個工具。他說：“布朗運動 表明，並不是分子的運動，而是從分子運動導出的一些結果能嚮我們提供直接的和可見的證據，說明對熱本質假設的正確性。按照這樣的觀點，這一現象的研究承擔了對分子物理學的重要作用。”古伊的文獻産生過重要的影響，所以後來貝蘭把布朗運動 正確解釋的來源歸功於古伊。
布朗運動 前期研究的最後工作。他用了許多懸濁液進行了和他的父親s·埃剋斯納30年前作過的同類研究。他測定了微粒在1min內的位移，與前人一樣，證實了微粒的速度隨粒度增大而降低，隨溫度升高而增加。他清楚地認識到微粒作為巨大分子加入了液體分子的熱運動，指出從這一觀點出發“就可以得出微粒的動能和溫度之間的關係。”他說：“這種可見的運動及其測定值對我們清楚瞭解液體內部的運動會有進一步的價值”。
布朗運動 研究的基本情況。自然，這些研究與分子運動論的建立是密切相關的。由麥剋斯威和玻爾茲曼在60——70年代建立的氣體分子運動論在概念上的一個重大發展是拋棄了對單個分子進行詳細跟蹤的方法，而代之以對大量分子的統計處理，這為弄清布朗運動 的根源打下了基礎。與布朗運動 的研究有密切關係的還有在60年代由格雷哈姆建立的膠體科學。所謂膠體是由粒度介於宏觀粒子和微觀分子之間的微粒形成的分散體係，布朗運動 正是膠體粒子在液體介質中表現的運動。
布朗運動 的研究，1900年是個重要的分界綫。至此，布朗運動 的適當的物理模型已經顯明，剩下的問題是需要作出定量的理論描述了。
布朗運動 理論
布朗運動 的理論。就在差不多同時，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運動 的本質問題。
布朗運動 服從分子熱運動規律的必然結果。
布朗運動 均方位 得到原子和分子的絶對質量。愛因斯坦曾用前人測定的糖在水中的擴散係數，估算的na值為3.3×1023，一年後(1906)又修改為6.56×1023。
布朗運動 的根源及其規律性。下面的工作就是要用充足的實驗來檢驗這一理論的可靠性。愛因斯坦說：“我不想在這裏把可供我使用的那些稀少的實驗資料去同這理論的結果進行比較，而把它讓給實驗方面掌握這一問題的那些人去做”。“但願有一位研究者能夠立即成功地解决這裏所提出的、對熱理論關係重大的這個問題！”愛因斯坦提出的這一任務不久之後就由貝蘭(1870——1942)和斯維德伯格分別出色的完成了。這裏還應該提到本世紀初在研究布朗運動 方面一個重大的實驗進展是1902年齊格蒙第(1865——1929)發明了超顯微鏡，用它可直接看到和測定膠體粒子的布朗運動 ，這也就是證實了膠體粒子的真實性，為此，齊格蒙第曾獲1925年諾貝爾化學奬。斯維德伯格測定布朗運動 就是用超顯微鏡進行的。
布朗運動 的微粒可以看成是進行熱運動的巨大分子，它們就應該遵循分子運動的規律，因此衹要找到微粒的一種可用實驗觀測的性質，這種性質與氣體定律在邏輯上是等效的，就可以用來測定阿伏加德羅常數。1908年，他想到液體中的懸浮微粒相當於“可見分子的微型大氣”，所以微粒濃度(單位體積中的數目)的高度分佈公式應與氣壓方程有相同的形式，衹是對粒子受到的浮力應加以校正。這一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波爾茲曼常數，自k和na的關係，公式也可寫成ln(n／n0)=-na mgh(1-ρ／ρ0)／rt。根據此公式，從實驗測定的粒子濃度的高度分佈數據就可以計算k和na。
布朗運動 ，可以說這是對分子熱運動理論的更直接證明。根據前述的愛因斯坦對球形粒子導出的公式，衹要實驗液，在選定的一段時間內用顯微鏡觀察粒子的水平投影，測得許多位移數值，再進行統計平均。貝蘭改變各種實驗條件，得到的na值是(5.5-7.2)×1023。貝蘭還用過一些其它方法，用各種方法得到的na值是：
布朗運動 ，
布朗運動 。
布朗運動 ，在測定阿伏加德羅常數和驗證愛因斯坦理論上也作出了出色的工作。可以說他們是最先稱得原子質量的人，所以在1926年，貝蘭和斯維德伯格分別獲得了諾貝爾物理學奬和化學奬。
布朗運動 自發現之後，經過多半個世紀的研究，人們逐漸接近對它的正確認識。到本世紀初，先是愛因斯坦和斯莫盧霍夫斯基的理論，然後是貝蘭和斯維德伯格的實驗使這一重大的科學問題得到圓滿地解决，並首次測定了阿伏加德羅常數，這也就是為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據，這對基礎科學和哲學有着巨大的意義。從這以後，科學上關於原子和分子真實性的爭論即告終結。正如原先原子論的主要反對者奧斯特瓦爾德所說：“布朗運動 和動力學假說的一致，已經被貝蘭十分圓滿地證實了，這就使那怕最挑剔的科學家也得承認這是充滿空間的物質的原子構成的一個實驗證據”。數學家和物理學家彭加勒在1913年總結性地說道：“貝蘭對原子數目的光輝測定完成了原子論的勝利”。“化學家的原子論現在是一個真實存在”。
布朗運動 代表了一種隨機漲落現象，它的理論在其他領域也有重要應用。如對測量儀器的精度限度的研究；高倍放大電訊電路中的背景噪聲的研究等
布朗運動 又稱分子熱運動，與溫度和粒子個數有關，溫度越高，布朗運動 越劇烈，粒子越少，分子熱運動越劇烈。 the Brownian movement 懸浮微粒不停地做無規則運動的現象叫做布朗運動
布朗運動 的粒子非常微小，直徑約1~10納米， 在周圍液體或氣體分子的碰撞下，産生一種漲落不定的淨作用力，導致微粒的布朗運動 。如果布朗粒子相互碰撞的機會很少，可以看成是巨大分子組成的理想氣體，則在重力場中達到熱平衡後，其數密度按高度的分佈應遵循玻耳茲曼分佈。J.B.佩蘭的實驗證實了這一點，並由此相當精確地測定了阿伏伽德羅常量及一係列與微粒有關的數據。1905年A.愛因斯坦根據擴散方程建立了布朗運動 的統計理論。布朗運動 的發現、實驗研究和理論分析間接地證實了分子的無規則熱運動，對於氣體動理論的建立以及確認物質結構的原子性具有重要意義，並且推動統計物理學特別是漲落理論的發展。由於布朗運動 代表一種隨機漲落現象，它的理論對於儀表測量精度限製的研究以及高倍放大電訊電路中背景噪聲的研究等有廣泛應用。
布朗運動 。不衹是花粉和小炭粒，對於液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運動 。
布朗運動 是怎麽産生的呢？在顯微鏡下看起來連成一片的液體，實際上是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規則的運動，不斷地抓高年級微粒。懸浮的微粒足夠小時，受到的來自各個方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間，微粒在另一個方向受到的撞擊作用強，致使微粒又嚮其它方向運動。這樣，就引起了微粒的無規則的布朗運動 。
布朗運動 。人們長期都不知道其中的原理。50年後，J·德耳索提出這些微小顆粒是受到周圍分子的不平衡的碰撞而導致的運動。後來得到愛因斯坦的研究的證明。布朗運動 也就成為分子運動論和統計力學發展的基礎。
布朗運動 越劇烈。布朗運動 代表了一種隨機漲落現象，它不僅反映了周圍流體內部分子運動的無規則性，關於它的理論在其他許多領域也有重要應用，如對測量儀表測量精度限度的研究、對高倍放大的電訊電路中背景噪聲的研究等等。 19世紀中對布朗運動 的研究
布朗運動 起源於分子的振動，他還公佈了首次對微粒速度與粒度關係的觀察結果。不過他的分子模型還不是現代的模型，他看到的實際上是微粒的位移，並不是振動。
布朗運動 是由於微觀範圍的流動造成的，他沒有說明這種流動的根源，但他看到在加熱和光照使液體粘度降低時，微粒的運動加劇了。就這樣，維納和S·埃剋斯納都把布朗運動 歸結為物係自身的性質。這一時期還有康托尼，他試圖在熱力理論的基礎上解釋布朗運動 ，認為微粒可以看成是巨大分子，它們與液體介質處於熱平衡，它們與液體的相對運動起源於滲透作用和它們與周圍液體之間的相互作用。
布朗運動 歸結為液體分子撞擊微粒的結果，這些學者有卡蓬內爾、德爾索和梯瑞昂，還有耐格裏。植物學家耐格裏(1879)從真菌、細菌等通過空氣傳播的現象，認為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯繫到物理學中氣體分子以很高速度嚮各方向運動的結論，他推測在陽光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結果。他說：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來擲去，結果如同分子本身一樣能保持長久的懸浮。”不過耐格裏又放棄了這一可能達到正確解釋的途徑，他計算了單個氣體分子和塵埃微粒發生彈性碰撞時微粒的速度，結果要比實際觀察到的小許多數量級，於是他認為由於氣體分子運動的無規則性，它們共同作用的結果不能使微粒達到觀察速度值，而在液體中則由於介質和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運動的設想不能成為合適的解釋。
布朗運動 進行過大量的實驗觀察。古伊對分子行為的描述並不比卡蓬內爾等人高明，他也沒有弄清漲落的見解。不過他的特別之處是他強調的不是對布朗運動 的物理解釋，而是把布朗運動 作為探究分子運動性質的一個工具。他說：“布朗運動 表明，並不是分子的運動，而是從分子運動導出的一些結果能嚮我們提供直接的和可見的證據，說明對熱本質假設的正確性。按照這樣的觀點，這一現象的研究承擔了對分子物理學的重要作用。”古伊的文獻産生過重要的影響，所以後來貝蘭把布朗運動 正確解釋的來源歸功於古伊。
布朗運動 前期研究的最後工作。他用了許多懸濁液進行了和他的父親S·埃剋斯納30年前作過的同類研究。他測定了微粒在1min內的位移，與前人一樣，證實了微粒的速度隨粒度增大而降低，隨溫度升高而增加。他清楚地認識到微粒作為巨大分子加入了液體分子的熱運動，指出從這一觀點出發“就可以得出微粒的動能和溫度之間的關係。”他說：“這種可見的運動及其測定值對我們清楚瞭解液體內部的運動會有進一步的價值”。
布朗運動 研究的基本情況。自然，這些研究與分子運動論的建立是密切相關的。由麥剋斯威和玻爾茲曼在60——70年代建立的氣體分子運動論在概念上的一個重大發展是拋棄了對單個分子進行詳細跟蹤的方法，而代之以對大量分子的統計處理，這為弄清布朗運動 的根源打下了基礎。與布朗運動 的研究有密切關係的還有在60年代由格雷哈姆建立的膠體科學。所謂膠體是由粒度介於宏觀粒子和微觀分子之間的微粒形成的分散體係，布朗運動 正是膠體粒子在液體介質中表現的運動。
布朗運動 的研究，1900年是個重要的分界綫。至此，布朗運動 的適當的物理模型已經顯明，剩下的問題是需要作出定量的理論描述了。
布朗運動 理論
布朗運動 的理論。就在差不多同時，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運動 的本質問題。
布朗運動 服從分子熱運動規律的必然結果。
布朗運動 均方位 得到原子和分子的絶對質量。愛因斯坦曾用前人測定的糖在水中的擴散係數，估算的NA值為3.3×10^23，一年後(1906)又修改為6.56×10^23。
布朗運動 的根源及其規律性。下面的工作就是要用充足的實驗來檢驗這一理論的可靠性。愛因斯坦說：“我不想在這裏把可供我使用的那些稀少的實驗資料去同這理論的結果進行比較，而把它讓給實驗方面掌握這一問題的那些人去做”。“但願有一位研究者能夠立即成功地解决這裏所提出的、對熱理論關係重大的這個問題！”愛因斯坦提出的這一任務不久之後就由貝蘭(1870——1942)和斯維德伯格分別出色的完成了。這裏還應該提到本世紀初在研究布朗運動 方面一個重大的實驗進展是1902年齊格蒙第(1865——1929)發明了超顯微鏡，用它可直接看到和測定膠體粒子的布朗運動 ，這也就是證實了膠體粒子的真實性，為此，齊格蒙第曾獲1925年諾貝爾化學奬。斯維德伯格測定布朗運動 就是用超顯微鏡進行的。
布朗運動 的微粒可以看成是進行熱運動的巨大分子，它們就應該遵循分子運動的規律，因此衹要找到微粒的一種可用實驗觀測的性質，這種性質與氣體定律在邏輯上是等效的，就可以用來測定阿伏加德羅常數。1908年，他想到液體中的懸浮微粒相當於“可見分子的微型大氣”，所以微粒濃度(單位體積中的數目)的高度分佈公式應與氣壓方程有相同的形式，衹是對粒子受到的浮力應加以校正。這一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波爾茲曼常數，自k和NA的關係，公式也可寫成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根據此公式，從實驗測定的粒子濃度的高度分佈數據就可以計算k和NA。
布朗運動 ，可以說這是對分子熱運動理論的更直接證明。根據前述的愛因斯坦對球形粒子導出的公式，衹要實驗液，在選定的一段時間內用顯微鏡觀察粒子的水平投影，測得許多位移數值，再進行統計平均。貝蘭改變各種實驗條件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。貝蘭還用過一些其它方法，用各種方法得到的NA值是：
布朗運動 ，
布朗運動 。
布朗運動 ，在測定阿伏加德羅常數和驗證愛因斯坦理論上也作出了出色的工作。可以說他們是最先稱得原子質量的人，所以在1926年，貝蘭和斯維德伯格分別獲得了諾貝爾物理學奬和化學奬。
布朗運動 自發現之後，經過多半個世紀的研究，人們逐漸接近對它的正確認識。到本世紀初，先是愛因斯坦和斯莫盧霍夫斯基的理論，然後是貝蘭和斯維德伯格的實驗使這一重大的科學問題得到圓滿地解决，並首次測定了阿伏加德羅常數，這也就是為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據，這對基礎科學和哲學有着巨大的意義。從這以後，科學上關於原子和分子真實性的爭論即告終結。正如原先原子論的主要反對者奧斯特瓦爾德所說：“布朗運動 和動力學假說的一致，已經被貝蘭十分圓滿地證實了，這就使那怕最挑剔的科學家也得承認這是充滿空間的物質的原子構成的一個實驗證據”。數學家和物理學家彭加勒在1913年總結性地說道：“貝蘭對原子數目的光輝測定完成了原子論的勝利”。“化學家的原子論現在是一個真實存在”。
布朗運動 代表了一種隨機漲落現象，它的理論在其他領域也有重要應用。如對測量儀器的精度限度的研究；高倍放大電訊電路中的背景噪聲的研究等
布朗運動 與分子熱運動不一樣，與溫度和粒子個數有關，溫度越高，布朗運動 越劇烈，粒子越少，分子熱運動越劇烈。
布朗運動 、擴散現象都說明了任何物質的分子，不論在什麽狀態下，都在做永不停息的無規則運動。分子的無規則運動與物質的溫度有關，溫度越高，分子的無規則運動越劇烈。 按經典熱力學的觀點，布朗運動 嚴格來說屬於機械運動，因此它表現出的是一種機械能。這種機械能是自發由內能轉化而來，而與同時，它又在嚮內能轉化而去，當這兩種轉化的速率相同時，客觀上就達到了一種動態平衡，表現為顆粒做布朗運動 。此時兩種能自發地不停地相互轉化，而不引起其它變化。
布朗運動 是一種特殊的機械運動，做布朗運動 的顆粒正好處於宏觀與微觀的分界點上，所以布朗運動 中機械能同時具有一般意義上的宏觀機械能與微觀分子動能的雙重特性，它的能量集中程度介於兩者之間，無序性也介於兩者之間。
布朗運動 的問題，實際上反映了經典物理學“宏觀”與“微觀”概念的模糊性，也反映了經典物理學的局限。而這種特殊的運動能否像人們希望的那樣把人類從滅頂於熵的悲劇中拯救出來，衹能從量子物理學中尋求答案。 Brownian motion {B(t)}布朗運動 (brownian motion)也稱為維納過程，是一個隨機過程，若果滿足一下性質：
將布朗運動 與股票價格行為聯繫在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創新，在現代金融數學中占有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態。
布朗運動 假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這裏的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反復。隨機現象的數學定義是：在個別試驗中其結果呈現出不確定性；在大量重複試驗中其結果又具有統計規律性的現象。描述股價行為模型之一的布朗運動 之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現象。所以隨機行為是一種具有統計規律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明衹有變量的當前值與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到現在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始采用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動 ，而是服從更為一般的分數布朗運動 。
Bulang yundong
布朗運動
布朗運動 （如圖）。1905年,A.愛因斯坦求出了粒子的轉移密度。1923年，美國數學家N.維納從數學上嚴格地定義了一個隨機過程來描述布朗運動 。布朗運動 的起因是由於液體的所有分子都處在運動中，且相互碰撞，從而粒子周圍有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用於它,使它被迫作不規則運動。若以□(□)表示粒子在時刻□所處位置的一個坐標,如果液體是均勻的，自然設想自時間□□到□□的位移□(□□)-□(□□)是許多幾乎獨立的小位移之和，因而根據中心極限定理，可以合理地假定□(□□)-□(□□)遵從正態分佈，而且對任何0□□□ 設□＝{□(□)，□□□□□+}為定義在概率空間(□,□,□)(見概率）上,取值於□維實空間□□中的隨機過程,若滿足①□(0)=0；②獨立增量性：對任意的0□□□0,增量□(□+□)-□(□)服從密度為□的□維正態分佈，式中□，表示□ 到原點的距離；④□的一切樣本函數連續。這樣的□稱為（數學上的）布朗運動 或維納過程。
布朗運動 的性質中有特色的是其樣本函數（見隨機過程)的性狀。雖然□的所有樣本函數處處連續, 但幾乎所有(即概率為1)的樣本函數:①處處不可微分；②在任一區間中非有界變差，當然更不單調；③局部極大點在□+=[0,□)中形成一個可列稠集,而且每一個局部極大值都是嚴格極大的；④二次變差□-□當區間[0,□]的加密分割□□的直徑□趨於0時，以概率 1收斂（見概率論中的收斂）到□;⑤零點集□□(□)={□□□□□+,□(□,□)=0}是勒貝格測度（見測度論）為零的無界完全集。此外，□ 限於區間[0,1]上的軌道在□[0,1]中具有下述意義的稠密性:任給[0,1]上的一個滿足□(0)=0的連續函數□和任給□>0,總有□。
布朗運動 的級數表示：設{ξ□,□□0}為獨立同分佈的標準正態隨機變量序列，令
布朗運動 。
布朗運動 有一個依賴於維數的有趣性質，就是常返性。當□=1,2時,布朗運動 是常返的：即從任何一點□□□□□□出發,且任意指定一個□的鄰域A，則過程或遲或早地返回A的概率等於1。當□□3時，此性質不再保留，這時自□ 出發作布朗運動 的粒子將以概率 1趨於無窮，即□，這裏□□(□)=□+□(□)表示自□出發的布朗運動 。因而自某一時刻以後,粒子不再回到□的附近，而且□(□3)越大，粒子趨於無窮的速度也越快。設□□是以□為中心，以□為半徑的球，定義粒子最後一次離開□□的時刻為□□=sup{□>0:□(□)□□□□□},□□稱為□□的“末離時”。從□出發的布朗運動 □首達□□的點與末離□□的點在球面上都有相同的均勻分佈，而且□□的概率分佈密度函數為
布朗運動 與拉普拉斯算子□有密切聯繫，從而使著名的狄利剋雷問題可以用概率方法求解。例如設□為平面上的有界區域，其邊界□□充分光滑。在□□上給定連續函數□(□)，考慮下列狄利 : brownian movement n.: Brownian motion 轉動布朗運動 微觀布朗運動 宏觀布朗運動 奧爾豆坦烏倫貝剋布朗運動