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目錄 ·No. 1 ·發現者和發現過程 ·形式定義 ·例子 ·序理論的性質 ·對偶原理 ·其他記號 ·同態和同構 ·布爾的環、理想和濾子 ·表示布爾代數 ·公理化布爾代數 ·布爾代數的基本規則 ·發現者和發現過程 ·形式定義 ·布爾代數的基本規則 ·百科大全 ·英文解釋 ·包含詞 ·更多結果... No. 1 　　即“邏輯代數”(645頁)。 發現者和發現過程 　　booleanalgebra 　　英國數學家g.布爾為了研究思維規律（邏輯學、數理邏輯)於1847和1854年提出的數學模型。此後r.戴德金把它作為一種特殊的格。所謂一個布爾代數，是指一個有序的四元組〈b，∨，∧，*〉，其中b是一個非空的集合，∨與∧是定義在b上的兩個二元運算，*是定義在b上的一個一元運算，並且它們滿足一定的條件。 　　布爾代數由於缺乏物理背景，所以研究緩慢，到了20世紀30～40年代纔又有了新的進展，大約在 1935年， m.h.斯通首先指出布爾代數與環之間有明確的聯繫，他還得到了現在所謂的斯通表示定理：任意一個布爾代數一定同構於某個集上的一個集域；任意一個布爾代數也一定同構於某個拓撲空間的閉開代數等，這使布爾代數在理論上有了一定的發展。布爾代數在代數學（代數結構）、邏輯演算、集合論、拓撲空間理論、測度論、概率論、泛函分析等數學分支中均有應用；1967年後，在數理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中也起着一定的作用。近幾十年來，布爾代數在自動化技術、電子計算機的邏輯設計等工程技術領域中有重要的應用。 　　1835年，20歲的喬治·布爾開辦了一所私人授課學校。為了給學生們開設必要的數學課程，他興趣濃厚地讀起了當時一些介紹數學知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數學嗎？實在令人難以置信。於是，這位衹受過初步數學訓練的青年自學了艱深的《天體力學》和很抽象的《分析力學》。由於他對代數關係的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發現了不變量，並把這一成果寫成論文發表。這篇高質量的論文發表後，布爾仍然留在小學教書,但是他開始和許多第一流的英國數學家交往或通信，其中有數學家、邏輯學家德·摩根。摩根在19世紀前半葉捲入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，於是在1848年出版了一本薄薄的小册子來為朋友辯護。這本書是他6年後更偉大的東西的預告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開闢了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經在研究邏輯代數，即布爾代數。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數。在這種代數中，適當的材料上的“推理 ”，成了公式的初等運算的事情，這些公式比過去在中學代數第二年級課程中所運用的大多數公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數學的支配。為了使自己的研究工作趨於完善，布爾在此後6年的漫長時間裏，又付出了不同尋常的努力。1854年，他發表了《思維規律》這部傑作，當時他已39歲，布爾代數問世了，數學史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生一樣，布爾代數發明後沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數學家蔑視地稱它為沒有數學意義的，哲學上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數學家能在數學上做出獨特貢獻。布爾在他的傑作出版後不久就去世了。20世紀初，羅素在《數學原理》中認為，“純數學是布爾在一部他稱之為《思維規律》的著作中發現的。”此說一出，立刻引起世人對布爾代數的註意。今天，布爾發明的邏輯代數已經發展成為純數學的一個主要分支。 　　在離散數學中，布爾代數(有時叫布爾格)是有補分配格（可參考格的定義)可以按各種方式去認為元素是什麽；最常見的是把它們當作一般化的真值。作為一個簡單的例子，假設有三個條件是獨立的為真或為假。布爾代數的元素可以接着精確指定那些為真；那麽布爾代數自身將是所有八種可能性的一個搜集，和與之在一起的組合它們的方式。 　　有時也被稱為布爾代數的一個相關主題是布爾邏輯，它可以被定義為是所有布爾代數所公有的東西。它由在布爾代數的元素間永遠成立的關係組成，而不管你具體的那個布爾代數。因為邏輯門和某些電子電路的代數在形式上也是這樣的，所以同在數理邏輯中一樣，布爾邏輯也在工程和計算機科學中研究。 　　在布爾代數上的運算被稱為and(與)、or(或)和not(非)。代數結構要是布爾代數，這些運算的行為就必須和兩元素的布爾代數一樣(這兩個元素是true(真)和false(假))。 形式定義 　　布爾代數是一個集合 a，提供了兩個二元運算 <math>land</math> (邏輯與)、<math>lor</math> (邏輯或)，一個一元運算 <math>lnot</math> / ~ (邏輯非)和兩個元素 0(邏輯假)和 1(邏輯真)，此外，對於集合 a 的所有元素 a、b 和 c，下列公理成立: 　　<math> a lor (b lor c) = (a lor b) lor c </math><math> a land (b land c) = (a land b) land c </math>結合律 　　<math> a lor b = b lor a </math><math> a land b = b land a </math>交換律 　　<math> a lor (a land b) = a </math><math> a land (a lor b) = a </math>吸收律 　　<math> a lor (b land c) = (a lor b) land (a lor c) </math><math> a land (b lor c) = (a land b) lor (a land c) </math>分配律 　　<math> a lor lnot a = 1 </math><math> a land lnot a = 0 </math>互補律 　　上面的前三對公理: 結合律、交換律和吸收律，意味着 (a, <math>land</math>, <math>lor</math>) 是一個格。所以布爾代數也可以定義為一個分配的有補格。 　　從這些公理，你可以展示出最小元素 0、最大元素 1 和任何元素 a 的補 &not;a 都是唯一確定的。對於 a 中的所有的 a 和 b，下列恆等式也成立: 　　<math> a lor a = a</math><math> a land a = a </math>幂等律 　　<math> a lor 0 = a </math><math> a land 1 = a </math>有界律 　　<math> a lor 1 = 1 </math><math> a land 0 = 0 </math> 　　<math> lnot 0 = 1 </math><math> lnot 1 = 0 </math>0 和 1 是互補的 　　<math> lnot (a lor b) = lnot a land lnot b</math><math> lnot (a land b) = lnot a lor lnot b</math>de morgan 定律 　　<math> lnot lnot a = a </math> 對合律 例子 　　最簡單的布爾代數衹有兩個元素 0 和 1，並通過如下規則定義: 　　∧01 　　000 　　101 　　∨01 　　001 　　111 　　它應用於邏輯中，解釋 0 為假，1 為真，∧ 為與，∨ 為或，&not; 為非。 涉及變量和布爾運算的表達式代表了陳述形式，兩個這樣的表達式可以使用上面的公理證實為等價的，當且僅當對應的陳述形式是邏輯等價的。 　　兩元素的布爾代數也是在電子工程中用於電路設計；這裏的 0 和 1 代表數字電路中一個位的兩種不同狀態，典型的是高和低電壓。電路通過包含變量的表達式來描述，兩個這種表達式對這些變量的所有的值是等價的，當且僅當對應的電路有相同的輸入-輸出行為。此外，所有可能的輸入-輸出行為都可以使用合適的布爾表達式來建摸。 　　兩元素布爾代數在布爾代數的一般理論中也是重要的，因為涉及多個變量的等式是在所有布爾代數中普遍真實的，當且僅當它在兩個元素的布爾代數中是真實的(這總是可以通過平凡的蠻力算法證實)。比如證實下列定律(合意(consensus)定理)在所有布爾代數中是普遍有效的: 　　(a ∨ b) ∧ (&not;a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (&not;a ∨ c) 　　(a ∧ b) ∨ (&not;a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (&not;a ∧ c) 　　任何給定集合 s 的幂集(子集的集合)形成有兩個運算 ∨ := ∪ ()和 ∧ := ∩ (交)的布爾代數。最小的元素 0 是空集而最大元素 1 是集合 s 自身。 　　有限的或者 cofinite 的集合 s 的所有子集的集合是布爾代數。 　　對於任何自然數 n，n 的所有正約數的集合形成一個分配格，如果我們對 a | b 寫 a ≤ b。這個格是布爾代數當且僅當 n 是無平方因子的。這個布爾代數的最小的元素 0 是自然數 1；這個布爾代數的最大元素 1 是自然數 n。 　　布爾代數的另一個例子來自拓撲空間: 如果 x 是一個拓撲空間，它既是開放的又是閉合的，x 的所有子集的搜集形成有兩個運算 ∨ := ∪ ()和 ∧ := ∩ (交)的布爾代數。 　　如果 r 是一個任意的環，並且我們定義中心幂等元(central idempotent)的集合為 　　a = { e ∈ r : e2 = e, ex = xe, ∀x ∈ r } 　　則集合 a 成為有兩個運算 e ∨ f := e + f + ef 和 e ∧ f := ef 的布爾代數。 序理論的性質 　　image:hasse diagram of powerset of 3.png 　　子集的布爾格同任何格一樣，布爾代數 (a, <math>land</math>, <math>lor</math>) 可以引出偏序集 (a, ≤)，通過定義 　　a ≤ b 當且僅當 a = a <math>land</math> b (它也等價於 b = a <math>lor</math> b)。 　　事實上你還可以把布爾代數定義為有最小元素 0 和最大元素 1 的分配格 (a, ≤) (考慮為偏序集合)，在其中所有的元素 x 都有補 &not;x 滿足 　　x <math>land</math> &not;x = 0 並且 x <math>lor</math> &not;x = 1 　　這裏的 <math>land</math> 和 <math>lor</math> 用來指示兩個元素的下確界(交)和上確界()。還有，如果上述意義上的補存在，則它們是可唯一確定的。 　　代數的和序理論的觀點通常可以交替的使用，並且二者都是有重要用處的，可從泛代數和序理論引入結果和概念。在很多實際例子中次序關係、合取(邏輯與)、析取(邏輯或)和否定(邏輯非)都是自然的可獲得的，所以可直接利用這種聯繫。 對偶原理 　　你還可以把來自序理論的對偶性的普遍認識應用於布爾代數。特別是，所有的布爾代數的次序對偶，或者等價的說通過對換 <math>land</math> 與 <math>lor</math> 所獲得的代數，也是布爾代數。一般的說，布爾代數的任何有效的規律都可以變換成另一個有效的對偶規律，通過對換 0 與 1，<math>land</math> 與 <math>lor</math>，和 ≤ 與 ≥。 其他記號 　　布爾代數的運算符可以用各種方式表示。它們經常簡單寫成 and、or 和 not。在描述電路時，還可以使用 nand (not and)、nor (not or) 和 xor (排斥的 or)。數學家、工程師和程序員經常使用 + 表示 or 和 · 表示 and (因為在某些方面這些運算類似於在其他代數結構中的加法和乘法，並且這種運算易於對普通代數熟悉的人得到積之和範式)，和把 not 表示為在要否定的表達式頂上畫一條橫綫。 　　這裏我們使用另一種常見記號，"交" <math>land</math> 表示 and，"" <math>lor</math> 表示 or，和 &not; 表示 not。(使用衹有文本的瀏覽器的讀者將見到 latex 代碼而不是他們表示的楔形符號。) 同態和同構 　　在布爾代數 a 和 b 之間的同態是一個函數 f : a → b，對於在 a 中所有的 a, b 都有: 　　f(a <math>lor</math> b) = f(a) <math>lor</math> f(b) 　　f(a <math>land</math> b) = f(a) <math>land</math> f(b) 　　f(0) = 0 　　f(1) = 1 　　接着對於在 a 中所有的 a，f(&not;a) = &not;f(a) 同樣成立。所有布爾代數的類，和與之在一起的態射(morphism)的概念，形成了一個範疇。從 a 到 b 的同構是雙射的從 a 到 b 的同態。同態的逆也是同態，我們稱兩個布爾代數 a 和 b 為同態的。從布爾代數理論的立場上，它們是不能區分的；它們衹在它們的元素的符號上有所不同。 布爾的環、理想和濾子 　　每個布爾代數 (a, <math>land</math>, <math>lor</math>) 都引出一個環 (a, +, *)，通過定義 a + b = (a <math>land</math> &not;b) <math>lor</math> (b <math>land</math> &not;a) (這個運算在集合論中叫做"對稱差"在邏輯中叫做xor(異或)) 和 a * b = a <math>land</math> b。這個環的零元素符合布爾代數的 0；環的乘法單位元素是布爾代數的 1。這個環有對於 a 中的所有的 a 保持 a * a = a 的性質；有這種性質的環叫做布爾環。 　　反過來，如果給出布爾環 a，我們可以把它轉換成布爾代數，通過定義 x <math>lor</math> y = x + y + xy 和 x <math>land</math> y = xy。因為這兩個運算是互逆的，我們可以說每個布爾環引發一個布爾代數，或反之。此外，映射 f : a → b 是布爾代數的同態，當且僅當它是布爾環的同態。布爾環和代數的範疇是等價的。 　　布爾代數 a 的理想是一個子集 i，對於在 i 中的所有 x, y 我們有 x <math>lor</math> y 在 i 中，並且對於在 a 中的所有 a 我們有 a <math>land</math> x 在 i 中。理想的概念符合在布爾環 a 中環理想的概念。a 的理想 i 叫做素理想，如果 i ≠ a；並且如果 a <math>land</math> b 在 i 中總是藴涵 a 在 i 中或 b 在 i 中。a 的理想 i 叫做極大理想，如果 i ≠ a 並且真正包含 i 的唯一的理想是 a 自身。這些概念符合布爾環 a 中的素理想和極大理想的環理論概念。 　　理想的對偶是濾子。 布爾代數 a 的濾子是子集 p，對於在 p 中的所有 x, y 我們有 x <math>land</math> y 在 p 中，並且對於在 a 中的所有 a，如果 a <math>lor</math> x = a 則 a 在 p 中。 表示布爾代數 　　可以證實所有的有限的布爾代數都同構於這個有限集合的所有子集的布爾代數。此外，所有的有限的布爾代數的元素數目都是二的幂。 　　stone 的著名的布爾代數的表示定理陳述了所有的布爾代數 a 都在某個(緊湊的完全不連通的 hausdorff)拓撲空間中同構於所有閉開集的布爾代數。 公理化布爾代數 　　在 1933 年，美國數學家 edward vermilye huntington (1874-1952) 展示了對布爾代數的如下公理化: 　　交換律: x + y = y + x。 　　結合律: (x + y) + z = x + (y + z)。 　　huntington 等式: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x。 　　一元函數符號 n 可以讀做'補'。 　　herbert robbins 接着擺出下列問題: huntington 等式能否縮短為下述的等式，並且這個新等式與結合律和交換律一起成為布爾代數的基礎? 通過一組叫做 robbins 代數的公理，問題就變成了: 是否所有的 robbins 代數都是布爾代數? 　　robbins 代數的公理化: 　　交換律: x + y = y + x。 　　結合律: (x + y) + z = x + (y + z)。 　　robbins 等式: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x。 　　這個問題自從 1930 年代一直是公開的，並成為 alfred tarski 和他的學生最喜好的問題。 　　在 1996 年，william mccune 在 argonne 國傢實驗室，建造在 larry wos、steve winker 和 bob veroff 的工作之上，肯定的回答了這個長期存在的問題: 所有的 robbins 代數都是布爾代數。這項工作是使用 mccune 的自動推理程序 eqp 完成的。 布爾代數的基本規則 　　代入法則 它可描述為邏輯代數式中的任何變量a，都可用另一個函數z代替，等式仍然成立。 　　對偶法則 它可描述為對任何一個邏輯表達式f，如果將其中的“+”換成“*”，“*”換成“+”“1”換成“0”，“0”換成“1”，仍保持原來的邏輯優先級，則可得到原函數f的對偶式g，而且f與g互為對偶式。我們可以看出基本公式是成對出現的，二都互為對偶式。 　　反演法則 有原函數求反函數就稱為反演（利用摩根定律）， 　　我們可以把反演法則這樣描述：將原函數f中的“*”換成“+”，“+”換成“*”，“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量，長非號即兩個或兩個以上變量的非號不變，就得到原函數的反函數。 發現者和發現過程 　　Boolean algebra 　　英國數學家G.布爾為了研究思維規律（邏輯學、數理邏輯)於1847和1854年提出的數學模型。此後R.戴德金把它作為一種特殊的格。所謂一個布爾代數，是指一個有序的四元組〈B，∨，∧，*〉，其中B是一個非空的集合，∨與∧是定義在B上的兩個二元運算，*是定義在B上的一個一元運算，並且它們滿足一定的條件。 　　布爾代數由於缺乏物理背景，所以研究緩慢，到了20世紀30～40年代纔有了新的進展，大約在 1935年， M.H.斯通首先指出布爾代數與環之間有明確的聯繫，他還得到了現在所謂的斯通表示定理：任意一個布爾代數一定同構於某個集上的一個集域；任意一個布爾代數也一定同構於某個拓撲空間的閉開代數等，這使布爾代數在理論上有了一定的發展。布爾代數在代數學（代數結構）、邏輯演算、集合論、拓撲空間理論、測度論、概率論、泛函分析等數學分支中均有應用；1967年後，在數理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中，也起着一定的作用。近幾十年來，布爾代數在自動化技術、電子計算機的邏輯設計等工程技術領域中有重要的應用。 　　1835年，20歲的喬治·布爾開辦了一所私人授課學校。為了給學生們開設必要的數學課程，他興趣濃厚地讀起了當時一些介紹數學知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數學嗎？實在令人難以置信。於是，這位衹受過初步數學訓練的青年自學了艱深的《天體力學》和很抽象的《分析力學》。由於他對代數關係的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發現了不變量，並把這一成果寫成論文發表。這篇高質量的論文發表後，布爾仍然留在小學教書,但是他開始和許多第一流的英國數學家交往或通信，其中有數學家、邏輯學家德·摩根。摩根在19世紀前半葉捲入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，於是在1848年出版了一本薄薄的小册子來為朋友辯護。這本書是他6年後更偉大的東西的預告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開闢了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經在研究邏輯代數，即布爾代數。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數。在這種代數中，適當的材料上的“推理 ”，成了公式的初等運算的事情，這些公式比過去在中學代數第二年級課程中所運用的大多數公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數學的支配。為了使自己的研究工作趨於完善，布爾在此後6年的漫長時間裏，又付出了不同尋常的努力。1854年，他發表了《思維規律》這部傑作，當時他已39歲，布爾代數問世了，數學史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數發明後沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數學家蔑視地稱它為沒有數學意義的、哲學上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數學家能在數學上做出獨特貢獻。布爾在他的傑作出版後不久就去世了。20世紀初，羅素在《數學原理》中認為，“純數學是布爾在一部他稱之為《思維規律》的著作中發現的。”此說一出，立刻引起世人對布爾代數的註意。今天，布爾發明的邏輯代數已經發展成為純數學的一個主要分支。 　　在離散數學中，布爾代數(有時叫布爾格)是有補分配格（可參考格的定義)可以按各種方式去認為元素是什麽；最常見的是把它們當作一般化的真值。作為一個簡單的例子，假設有三個條件是獨立的為真或為假。布爾代數的元素可以接着精確指定那些為真；那麽布爾代數自身將是所有八種可能性的一個搜集，和與之在一起的組合它們的方式。 　　有時也被稱為布爾代數的一個相關主題是布爾邏輯，它可以被定義為是所有布爾代數所公有的東西。它由在布爾代數的元素間永遠成立的關係組成，而不管你具體的那個布爾代數。因為邏輯門和某些電子電路的代數在形式上也是這樣的，所以同在數理邏輯中一樣，布爾邏輯也在工程和計算機科學中研究。 　　在布爾代數上的運算被稱為AND(與)、OR(或)和NOT(非)。代數結構要是布爾代數，這些運算的行為就必須和兩元素的布爾代數一樣(這兩個元素是TRUE(真)和FALSE(假))。 形式定義 　　布爾代數是一個集合 A，提供了兩個二元運算 land (邏輯與)、lor (邏輯或)，一個一元運算 lnot / ~ (邏輯非)和兩個元素 0(邏輯假)和 1(邏輯真)，此外，對於集合 A 的所有元素 a、b 和 c，下列公理成立: 　　a lor (b lor c) = (a lor b) lor c a land (b land c) = (a land b) land c 結合律 　　a lor b = b lor a a land b = b land a 交換律 　　a lor (a land b) = a a land (a lor b) = a 吸收律 　　a lor (b land c) = (a lor b) land (a lor c) a land (b lor c) = (a land b) lor (a land c) 分配律 　　a lor lnot a = 1 a land lnot a = 0 互補律 　　上面的前三對公理: 結合律、交換律和吸收律，意味着 (A, land, lor) 是一個格。所以布爾代數也可以定義為一個分配的有補格。 　　從這些公理，你可以展示出最小元素 0、最大元素 1 和任何元素 a 的補 &not;a 都是唯一確定的。對於 A 中的所有的 a 和 b，下列恆等式也成立: 　　a lor a = a a land a = a 幂等律 　　a lor 0 = a a land 1 = a 有界律 　　a lor 1 = 1 a land 0 = 0 　　lnot 0 = 1 lnot 1 = 0 0 和 1 是互補的 　　lnot (a lor b) = lnot a land lnot b lnot (a land b) = lnot a lor lnot b de Morgan 定律 　　lnot lnot a = a 對合律 布爾代數的基本規則 　　代入法則 它可描述為邏輯代數式中的任何變量A，都可用另一個函數Z代替，等式仍然成立。 　　對偶法則 它可描述為對任何一個邏輯表達式F，如果將其中的“+”換成“*”，“*”換成“+”“1”換成“0”，“0”換成“1”，仍保持原來的邏輯優先級，則可得到原函數F的對偶式G，而且F與G互為對偶式。我們可以看出基本公式是成對出現的，二都互為對偶式。 　　反演法則 有原函數求反函數就稱為反演（利用摩根定律）， 　　我們可以把反演法則這樣描述：將原函數F中的“*”換成“+”，“+”換成“*”，“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量，長非號即兩個或兩個以上變量的非號不變，就得到原函數的反函數。 　　布爾代數定律： 　　互補律： 　　第一互補律： 若A=0，則~A=1,若A=1，則~A=0 註：~A =ＮＯＴ　Ａ 　　第二互補律： A*~A=0 　　第三互補律： A+~A=1 　　雙重互補律： /<~A>=//A=A 　　交換律： 　　AND交換律： A*B=B*A 　　OR交換律： A+B=B+A 　　結合律： 　　AND結合律： Ａ＜Ｂ*Ｃ＞＝Ｃ*＜Ａ*Ｂ＞ 　　ＯＲ結合律：　Ａ＋＜Ｂ＋Ｃ＞＝Ｃ＋＜Ａ＋Ｂ＞ 　　分配率： 　　第一分配率：　Ａ*＜Ｂ＋Ｃ＞＝＜Ａ*Ｂ＞＋＜Ａ*Ｃ＞ 　　第二分配率：　Ａ＋＜Ｂ*C>=<A+B>*<A+C> 　　重言律： 　　第一重言律： A*A=A 若A=1，則A*A=1；若A=0，則A*A=0。因此表達式簡化為A 　　第二重言律： A+A=A 若A=1，則1+1=1；若A=0，則0+0=0。因此表達式簡化為A 　　帶常數的重言律： 　　A+!=A 　　A*1=A 　　A*0=0 　　A+0=A 　　吸收率： 　　第一吸收率： A*<A+B>=A 　　第二吸收率： A+<A*B>=A 百科大全 　　Bu’er daishu 　　布爾代數 　　Boolean algebra 　　　　首先是G.布爾為了研究思維規律（邏輯學、數理邏輯）於1847年和1854年提出的。它作為一種特殊的格則是J.W.R.戴德金之後的事情。所謂一個布爾代數，是指一個有序的四元組〈□,∨,∧,□ 〉,其中□是一個非空的集合，∨與∧ 是定義在□上的兩個二元運算,□是定義在□上的一個一元運算, 並且它們滿足以下條件:A1.□∨□=□∨□,□∧□=□∧□；A2.(□∨□)∨□=□∨(□∨□), (□∧□)∧□=□∧(□∧□); A3.(□∧□)∨□=□, (□∨□)∧□=□; A4.□∧(□∨□) = (□∧□)∨(□∧□)，□∨(□∧□)=(□∨□)∧(□∨□);A5.(□∧□□)∨□=□,(□∨□□)∧□=□,對於任意的□、□、□□□□□均成立。或者,布爾代數定義為具有最大元和最小元的有餘（有補）的分配格。 　　　　設□□={0,1}是由兩個元素0與1所組成的集合。它的兩個二元運算和一個一元運算定義如下：0∨0=0,0∨1=1∨0=1∨1=1；0∧0=0∧1=1∧0=0，1∧1=1；0□=1,1□=0。可以驗證，□□是一個布爾代數。 　　　　設□={1,2,3,5,6,10,15,30}是30的正因子的集合。規定∨是取它們的最小公倍數，∧是取它們的最大公因數:□是：1□=30,2□=15,3□=10,5□=6,6□=5, 10□=3,15□=2,30□=1，容易驗證□對於所定義的運算成為一布爾代數。 　　　　如果一個環□＝〈□,+,□〉具有單位元1,並且對任意的□□□□□，有□□=□，那麽□稱為布爾環。令□是布爾環,若定義□∨□=□+□+□·□,□∧□=□·□,□□=1+□，則□在所定義的運算下成為一個布爾代數。 　　　　設 □是由所有的實數組成的集合。由單元集和區間的有限並所組成的集合□,在集合的並(∪)、交(∩)、(□)運算之下是一個布爾代數。所謂單元集,是指僅由一個實數所組成的集合。區間可以是有界的或無界的，閉的或開的或半開（閉）的。 　　　　令□是一個固定的集合。□的所有子集組成的集合稱為□的幂集,記為□(□)={□│□□□}。設□是□(□)的子集,並且{□,□}□□□□(□)。如果□在集合論的並(∪)、交(∩)、(□)有限次運算下是封閉的，那麽這樣的□在把有限次並、交、餘作為∨、∧、□運算時,是一個布爾代數。這種布爾代數,常常稱為集域（集場）。特殊地，取□=□□={□,□},□=□(□),□={□□□□□(□)│□為有限集或有限集的餘集},……,均為集域。當□={□□,□□,…,□□}是有限集時，則□(□)={□│□□□}={{□□1,□□2,…,□□□}│□□,□□,…,□□是1,2,…,□中取□個的組合，0□□□□}=2□=2□也是一個集域。它是由有限個元素所組成的布爾代數（有限布爾代數）。 　　　　令〈□,□〉是一個拓撲空間，□是 X上的一個拓撲，□={□□□│□ 既是開集,□同時又是閉集}。在集合論的並、交、餘運算下□是一個布爾代數,並稱之為閉開代數。若取□B={□□□│□的邊界是無處稠密的｝，則此時□也是一個布爾代數。 　　　　令〈□,□〉是一個拓撲空間,□的子集□是正規的閉集，當且僅當□的內部的閉包等於□，即□。若□={□□□│□是正規的閉集｝，二元運算∨是指集合的並運算，二元運算∧是指經集合的交運算後再取其內部的閉包，即□,□□、□□□□□。一元運算□是指經集合的餘運算後再取閉包，即□，則□是一個布爾代數,也稱為拓撲空間 〈□, □〉的正規閉集代數。類似地，當取□={□□□│□是正規的開集}。所謂正規的開集□,是指□。再定義運算:□,□∧□=□∩□；□，則此時 □也是一個布爾代數,也稱為正規開集代數。 　　　　在概率論中,設□=｛□│□是隨機事件｝,即所有隨機事件的全體。不可能事件及必然事件均視作隨機事件。這 英文解釋 :  Boolean algebra,  Boolean Algebra (BA) 包含詞 布爾代數定律 表示布爾代數 廣義布爾代數 公理化布爾代數 弱分配布爾代數 泛布爾代數公理體係 布爾代數的基本規則