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射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。曾經也叫做投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處於一個特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯繫起來。
射影幾何的某些內容在公元前就已經發現了，基於繪圖學和建築學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。但直到十九世紀纔形成獨立體係，趨於完備。
1822年法國數學家彭賽列發表了射影幾何的第一部係統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。
射影幾何學在航空、測量、繪圖、攝影等方面有廣泛的應用。 |
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| 射影幾何的最早起源是繪畫。歐洲文藝復興時期透視學的蓬勃發展，給射影幾何的成長準備了良好的條件。懂得一點美術知識的同志都知道什麽是透視。在圖26中兩條鐵軌本來是互相平行的。通過透視，它們越到遠處超級是靠攏。最後在無窮遠的地方相交於一點。在射影幾何裏，兩條平行直綫在無窮遠處相交，該點稱為無窮遠點。無窮遠點的軌跡是一條無窮遠直綫，這些與我們學過的歐氏幾何是不相同的。現在來談談什麽是射影幾何。我們學過的歐氏幾何，它的所有圖形通過剛體變換（如平移、旋轉）以後，綫段的長短、角度的大小、圖形和形狀和面積等都不會改變。研究平面或空間幾何圖形在剛體變換下有哪些不變性質的幾何學，就是歐氏幾何學。如果從中心o發出一個光綫的投射錐，矩形abcd在平面p上的截景是a′b′c′d′。截景 a′b′c′d′ 示必還是一個矩形。從直觀上很容易看到與abcd在大小和開頭上都發生了變化。那麽圖形a′b′c′d′ 與abcd通過這種射影變換後，還有什麽共同的幾何性質呢？研究圖形在射影變換下有哪些不變的性質的幾何學就叫做射影幾何學。射影幾何裏最基本的概念之一就是交比。好聽在圖28左邊一個圖中，s為中心點，從s畫出四條射綫組成一個固定的綫束。另一條直綫與綫束分別交於a、b、c、d。 ab/cd：ad/bc 或ab·cd/bc·ad 叫做這個綫束上的交比。不論直綫l怎樣取法（如 l′ ），衹要綫束固定，交比的什總是不變的。交比的不變性，就是射影變換下不變性質中最基本一種性質。射影幾何裏許多重要的性質都是從交比性質推導出來的。 |
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十七世紀，當笛卡兒和費馬（pierre de fermat，一譯費爾馬）創立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學同時出現在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關係，它的某些概念早在古希臘時期就曾經引起一些學者的註意，歐洲文藝復興時期透視學的興起，給這門幾何學的産生和成長準備了充分的條件。這門幾何學就是射影幾何學。
基於繪圖學和建築學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次麯綫作為正圓錐面的截綫來研究。在4世紀帕普斯的著作中，出現了帕普斯定理。
在文藝復興時期，人們在繪畫和建築藝術方面非常註意和大力研究如何在平面上表現實物的圖形。那時候，人們發現，一個畫傢要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然後再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關係，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸産生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。
射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，開普勒最早引進了無窮遠點概念。稍後，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數學家——笛沙格（或譯作德紮格）和布萊士·帕斯卡。
笛沙格是一個自學成纔的數學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，後來鑽研工程技術，成了一名工程師和建築師，他很不贊成為理論而搞理論，决心用新的方法來證明圓錐麯綫的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐麯綫和平面的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐麯綫理論的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中，把直綫看作是具有無窮大半徑的圓，而麯綫的切綫被看作是割綫的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連綫共點，那麽對應邊的交點共綫，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。
帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發現了一條定理：“內接於二次麯綫的六邊形的三雙對邊的交點共綫。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了《圓錐麯綫論》一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方面的研究，並且建議他要把圓錐麯綫的許多性質簡化成少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。後來他寫了許多有關射影幾何方面的小册子。
不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，衹涉及關聯性質而不涉及度量性質(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致産生一個新的幾何體係射影幾何。他們所用的是綜合法，隨着解析幾何和微積分的創立，綜合法讓位於解析法，射影幾何的探討也中斷了。 |
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射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。由於迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不瞭解，不得不重新再做。
1822年，彭賽列發表了射影幾何的第一部係統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應並用它來確立對偶原理。稍後，施泰納研究了利用簡單圖形産生較復雜圖形的方法，綫素二次麯綫概念也是他引進的。為了擺脫坐標係對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直綫上的點坐標係，進而使交比也不依賴於長度概念。由於忽視了連續公理的必要性，他建立坐標係的做法還不完善，但卻邁出了决定性的一步。
另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創建一種齊次坐標係，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出綫束中四條綫交比的度量公式等。接着，普呂剋引進丁另一種齊次坐標係，得到了平面上無窮遠綫的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了綫坐標概念，於是從代數觀點就自然得到了對偶原理，並得到了關於一般綫素麯綫的一些概念。
在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免藉助於代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體係，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體係。
射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關係，特別是“群”的概念産生以後，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。
把各種幾何和變換群相聯繫的是剋萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得十分明朗。這個綱領産生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。後來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。 |
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概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關係的，也是專門用來討論在把點投影到直綫或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。
在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直綫再加上一個無窮點就是無窮遠直綫，如果一個平面內兩條直綫平行，那麽這兩條直綫就交於這兩條直綫共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直綫平行。
在引入無窮遠點和無窮遠直綫後，原來普通點和普通直綫的結合關係依然成立，而過去衹有兩條直綫不平行的時候才能求交點的限製就消失了。
由於經過同一個無窮遠點的直綫都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。
射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直綫變直綫，綫束變綫束，點和直綫的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應。
在射影幾何裏，把點和直綫叫做對偶元素，把“過一點作一直綫”和“在一直綫上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直綫組成，把其中一圖形裏的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容衹是關於點、直綫和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。
這就是射影幾何學所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個命題成立，那麽它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間裏，如果一個命題成立，那麽它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。
研究在射影變換下二次麯綫的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內容。
如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學< 仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學裏可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學裏不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學裏也不能討論圖形的度量性質。
1872年，德國數學家f剋萊因(felix klein)在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計劃書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學裏，主要研究在相應的變換下的不變量和不變性。 |
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