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| 如果ak＝b（a＞o，a≠1），k就叫做以a為底的b的對數，記作logab＝k。其中a叫做底數，簡稱底；b叫做真數。 |
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| 為使某數等於一給定數而必須取的乘幂的幂指數。數學名詞 |
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| 數學名詞。根據對數的基本性質，可把乘、除、乘方、開方的運算分別以加、減、乘、除來代替。以10為底的對數稱為常用對數，簡記為lgb。以超越數e(＝2.71828…)為底的對數，稱為自然對數，簡記為lnb。 |
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英語名詞：logarithms
如果a^n=b，那麽log(a)(b)=n。其中，a叫做“底數”，b叫做“真數”，n叫做“以a為底b的對數”。
log(a)(b)函數叫做對數函數。對數函數中b的定義域是b>0，零和負數沒有對數；a的定義域是a>0且a≠1。 |
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定義：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推導
1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因為a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指數的性質
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
兩種方法衹是性質不同,采用方法依實際情況而定
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、與（3）類似處理
MN=M÷N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、與（3）類似處理
M^n=M^n
由基本性質1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指數的性質
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性質4推廣
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下：
由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
換底公式的推導：
設e^x=b^m,e^y=a^n
則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性質及推導 完） |
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1.對數函數的圖象都過(1,0)點.
2.對於y=log(a)(n)函數,
①,當0<a<1時,圖象上函數顯示為(0,+∞)單減.隨着a 的增大,圖象逐漸以(1,0)點為軸順時針轉動,但不超過X=-1.
②當a>1時,圖象上顯示函數為(0,+∞)單增,隨着a的增大,圖象逐漸以(1.0)點為軸逆時針轉動,但不超過X=1.
3.與其他函數與反函數之間圖象關係相同,對數函數和指數函數的圖象關於直綫y=x對稱. |
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性質一：換底公式
log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推導如下：
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因為N=b^[log(b)(N)]
所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {這步不明白或有疑問看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下：
由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b為底的對數
log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 還可變形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1
在實用上，常采用以10為底的對數，並將對數記號簡寫為lgb,稱為常用對數，它適用於求十進伯製整數或小數的對數。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可見衹要對某一範圍的數編製出對數表，便可利用來計算其他十進製數的對數的近似值。在數學理論上一般都用以無理數e=2.7182818……為底的對數，並將記號 loge。簡寫為ln，稱為自然對數，因為自然對數函數的導數表達式特別簡潔，所以顯出了它比其他對數在理論上的優越性。歷史上，數學工作者們編製了多種不同精確度的常用對數表和自然對數表。但隨着電子技術的發展，這些數表已逐漸被現代的電子計算工具所取代。
100以內的對數表
log0123456789100000004300860128017002120253029403340374110414045304920531056906070645068207190755120792082808640899093409691004103810721106131139117312061239127113031335136713991430141461149215231553158416141644167317031732151761179018181847187519031931195919872014162041206820952122214821752201222722532279172304233023552380240524302455248025042529182553257726012625264826722695271827422765192788281028332856287829002923294529672989203010303230543075309631183139316031813201213222324332633284330433243345336533853404223424344434643483350235223541356035793598233617363636553674369237113729374737663784243802382038383856387438923909392739453962253979399740144031404840654082409941164133264150416641834200421642324249426542814298274314433043464362437843934409442544404456284472448745024518453345484564457945944609294624463946544669468346984713472847424757304771478648004814482948434857487148864900314914492849424955496949834997501150245038325051506550795092510551195132514551595172335185519852115224523752505263527652895302345315532853405353536653785391540354165428355441545354655478549055025514552755395551365563557555875599561156235635564756585670375682569457055717572957405752576357755786385798580958215832584358555866587758885899395911592259335944595559665977598859996010406021603160426053606460756085609661076117416128613861496160617061806191620162126222426232624362536263627462846294630463146325436335634563556365637563856395640564156425446435644464546464647464846493650365136522456532654265516561657165806590659966096618466628663766466656666566756684669367026712476721673067396749675867676776678567946803486812682168306839684868576866687568846893496902691169206928693769466955696469726981506990699870077016702470337042705070597067517076708470937101711071187126713571437152527160716871777185719372027210721872267235537243725172597267727572847292730073087316547324733273407348735673647372738073887396557404741274197427743574437451745974667474567482749074977505751375207528753675437551577559756675747582758975977604761276197627587634764276497657766476727679768676947701597709771677237731773877457752776077677774607782778977967803781078187825783278397846617853786078687875788278897896790379107917627924793179387945795279597966797379807987637993800080078014802180288035804180488055648062806980758082808980968102810981168122658129813681428149815681628169817681828189668195820282098215822282288235824182488254678261826782748280828782938299830683128319688325833183388344835183578363837083768382698388839584018407841484208426843284398445708451845784638470847684828488849485008506718513851985258531853785438549855585618567728573857985858591859786038609861586218627738633863986458651865786638669867586818686748692869887048710871687228727873387398745758751875687628768877487798785879187978802768808881488208825883188378842884888548859778865887188768882888788938899890489108915788921892789328938894389498954896089658971798976898289878993899890049009901590209025809031903690429047905390589063906990749079819085909090969101910691129117912291289133829138914391499154915991659170917591809186839191919692019206921292179222922792329238849243924892539258926392699274927992849289859294929993049309931593209325933093359340869345935093559360936593709375938093859390879395940094059410941594209425943094359440889445945094559460946594699474947994849489899494949995049509951395189523952895339538909542954795529557956295669571957695819586919590959596009605960996149619962496289633929638964396479652965796619666967196759680939685968996949699970397089713971797229727949731973697419745975097549759976397689773959777978297869791979598009805980998149818969823982798329836984198459850985498599863979868987298779881988698909894989999039908989912991799219926993099349939994399489952999956996199659969997499789983998799919996 |
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對數方法是蘇格蘭的 Merchiston 男爵約翰·納皮爾1614年在書《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公開提出的，(Joost Bürgi 獨立的發現了對數；但直到 Napier 之後四年纔發表)。這個方法對科學進步有所貢獻，特別是對天文學，使某些繁難的計算成為可能。在計算器和計算機發明之前，它持久的用於測量、航海、和其他實用數學分支中。
約翰·納皮爾/約翰·奈皮爾/約翰·內皮爾（John Napier，1550～1617），蘇格蘭數學家、神學家，對數的發明者。
Napier出身貴族，於1550年在蘇格蘭愛丁堡附近的小鎮梅奇斯頓（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有過正式的職業。
年輕時正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉嚮新教，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒（主要文章於1593年寫成）。其時傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊來攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等）準備與其拚命。雖然Napier的兵器還沒製成，英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。
他一生研究數學，以發明對數運算而著稱。那時候天文學家Tycho Brahe（第𠔌，1546～1601）等人做了很多的觀察，需要很多的計算，而且要算幾個數的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，運用了獨特的方法構造出對數方法。這讓他在數學史上被重重地記上一筆，然而完成此對數卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對數專著《奇妙的對數表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中闡明了對數原理，後人稱為納皮爾對數：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布裏格斯，1561 - 1630）去拜訪納皮爾，建議將對數改良一下以十為基底的對數表最為方便，這也就是後來常用的對數了。可惜納皮爾隔年於1617年春天去世，後來就由Briggs以畢生精力繼承納皮爾的未竟事業，以10為底列出一個很詳細的對數表。並且於1619年發表了《奇妙對數規則的結構》，於書中詳細闡述了對數計算和造對表的方法。
納皮爾對數字計算特別有研究，他的興趣在於球面三角學的運算，而球面三角學乃因應天文學的活動而興起的。他重新建立了用於解球面直角三角形的10個公式的巧妙記法——圓的部分法則（"納皮爾圓部法則"）和解球面非直角三角形的兩個公式——"納皮爾比擬式"，以及做乘除法用的"納皮爾算籌"。此外，他還發明了納皮爾尺，這種尺子可以機械地進行數的乘除運算和求數的平方根。 |
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對數
logarithm
對數〔l嗯附助.;哪即。恤]，數N以“為底的
為使之等於N，數a(對數的底(加義of此bg-
面山m))必須取的幂指數m，記作fog。N;這表明
m=los。N意味着a曰=N.對每個正數N和給定的
底a>0，a護1，對應唯一的實對數(負數的對數是
復數).對數的主要性質是:
1og，(MN)=log。M+log。N，
M
log。子=1og口M一log。N，
一。aN一口口-一“a-，
1Og。N無=klog。N，
，二。N’“一責los·“
這些性質使得把數的乘法和除法簡化為對數的加法和
減法，把數的幂與開方簡化為幂或根的指數乘、除對
數成為可能.
適應於十進數製，最常用的對數是十進對數(a二
ro)，記作lgN.對於不等於10人(k為整數)的有
理數，其十進對數是超越數(仃田咫cen(業ntal甘Lnnber)，
它可用有限十進分數近似表示.十進對數的整數部分
稱為它的首數(eharacte山tie)，小數部分稱為它的尾
數(服n往資a).由於fog(10“N)=k+lgN，所以相
互之比為10“的不同的數的十進對數具有相同的尾
數，它們之間衹是首數不同.這一性質是製作對數表
的基礎，對數表中衹列出整數的對數的尾數.
自然對數伽成切舊!】。，石山m)也具有很大意義，
其底是超越數e=2.71828…;記作InN.從一個底
的對數嚮另一個底的對數的轉換公式是los。N=
109。N/109。執其中的因子1/105。b稱為從底a到底
b的換底模(湘記川璐oftra斑ition).自然對數與十進
對數之間的轉換公式是:
，__、:_lN，、，hN
hiN=書於，lgN二書拎，
lge’~一In 10
言一2.302，一擊一0·~‘’二
亦見對數函數(10步幣山而c fun ction).B。一3
【補註】西方寫作微積分後續課程的數學家幾乎總是
用IosN來代替inN以表示N的自然對數(底為
e).數e由e=恤。_。(l+l/。)·和e=藝篡。l/n!給
出(見e(數)(e(ntllnber))).
另一方面，微積分和微積分預備教材的作者以及
計算器製造廠傢總是用logN表示十進對數(常用對
數)，用inN表示自然對數.亦見對數函數(10斷tri-
山rc丘metion).瀋永歡譯 |
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我們先考慮函數 y=ln (1+x)，則有dy/dx=1/(1+x)
因而∫下限0 上限u 1/（1+x）dx=ln (1+u)-ln 1=ln （1+u） (1)
把(1)展開為幾何級數為1/（1+u）=1-u+u^2-u^3+……+（-1)^(n-1)*u^(n-1)+(-1)^n*u^n/(1+u).
註意這不是無窮級數。
將其帶入（1），利用逐項積分的法則，得到
ln (1+u)=u-1/2*u^2+1/3*u^3-1/4*u^4+……+(-1)^(n-1)*1/n*u^n+Tn （2）
這裏Tn=(-1)^n*∫下限0 上限u x^n /(1+x) dx
我們看到，衹要u∈（-1，1］，那麽n遞增時Tn趨於0. 因此，我們得到在u∈（-1，1]成立的無窮級數
ln (1+u)=u-1/2*u^2+1/3*u^3-1/4*u^4+……
這個級數實際應用時無多大意義，因為它收斂的太慢，且僅能計算0到2之間的對數值。但是我們可以用-u代替u，則
ln (1-u)=-u-1/2*u^2-1/3*u^3-1/4*u^4+……
再利用公式ln a-ln b =ln (a/b)
得到ln ((1+u)/(1-u)) = 2(u+1/3*u^3+1/5*u^5+1/7*u^7+……）（3）
這個級數不僅收斂的快得多，且對於任意正數z 總有一個在（-1，1］之間的解u，使得((1+u)/(1-u))=z
作為一個例子，可以用（3）計算 ln 3，令u=0.5，則
ln 3 =2(1/(1*2)+1/(3*2^3)+1/(5*2^5)+1/(7*2^7)+1/(9*2^9)+……)
衹取前6項，另最後一項為2/(11*2^11),求得ln 3=1.0986,精確到五位數 |
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- n.: logarithm, logarithms, log
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