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非綫性場方程所具有的一類空間局域範圍內不彌散的解。1834 年 J. S.羅素在一篇報告中提到他觀察到一種奇特的自然現象，當一艘快速行駛的船突然停下來，船頭出現一圓形平滑、輪廓分明的孤立波峰急速離去，滾滾嚮前，行進中形狀和速度保持不變 。1895年 D.J.柯脫維格和 G.德維纍斯研究淺水波時建立一個非綫性波動方程（ 稱為KdV方程 ）得出類似的解，纔在理論上作出說明。通常綫性的波動方程具有行波解，時間和空間坐標不是各自獨立的變量，而是以它們的綫性組合作為變量，隨着時間推移，波形嚮前傳播。由於存在色散效應，波的各組成部分具有不同的頻率，它們以不同的速度傳播，行進一定距離之後，波形逐漸擴散而消失 。對於非綫性波動方程，其中出現非綫性項，非綫性效應會使較高頻率不斷纍積，波在前進過程中變得越來越陡削而最終達到破碎的地步，猶如岸邊見到的白帽波破碎一樣。當非綫性項和色散項同時存在，兩種效應恰能相互抵消，則出現孤立波解。
20世紀 60～70 年代 ，通過計算機計算和關於淺水波的實驗觀測，表明孤立波碰撞後仍保持各自原來的形狀和速度，猶如粒子，因而稱為孤立子，隨着研究的深入 ，發現除KdV方程外，還有一係列在應用中十分重要的非綫性演化方程 ，孤立子解反映了自然界的一種相當普遍的非綫性現象；並發展了一套求解這類非綫性微分方程的強有力的解法，因而受到廣泛的重視。孤立子被應用於粒子物理、固體物理以及各種非綫性物理問題中，取得不少成功，也還存在不少睏難 。
1834年秋，英國科學家、造船工程師羅素在運河河道上看到了由兩匹駿馬拉着的一隻迅速前進的船突然停止時，被船所推動的一大團水卻不停止，它積聚在船頭周圍激烈地擾動，然後形成一個滾園、光滑而又輪廓分明的大水包，高度約為0.3～0.5米，長約10米，以每小時約13公裏的速度沿着河面嚮前滾動。羅素騎馬沿運河跟蹤這個水包時發現，它的大小、形狀和速度變化很慢，直到3～4公裏後，纔在河道上漸漸地消失。羅素馬上意識到，他所發現的這個水包决不是普通的水波。普通水波由水面的振動形成，振動沿水平面上下進行，水波的一半高於水面，另一半低於水面，並且由於能量的衰減會很快消失。他所看到的這個水包卻完全在水面上，能量的衰減也非常緩慢(若水無阻力，則不會衰減並消失)。並且由於它具有圓潤、光滑的波形，所以它也不是激波。羅素將他發現的這種奇特的波包稱為孤立波，並在其後半生專門從事孤立波的研究。他用大水槽模擬運河，並模擬當時情形給水以適當的推動，再現了他所發現的孤立波。羅素認為孤立波應是流體力學的一個解，並試圖找到這種解，但沒有成功。
羅素十年後嚮英國科學促進會報告了自己的觀點，但卻沒能說服他的同事們，羅素所發現的孤立波現象也未能引起人們的註意。
50年以後，即1895年，兩位數學家科特維格與得佛裏斯從數學上導出了有名的淺水波KdV方程，並給出了一個類似於羅素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在纔得到普遍承認。
在羅素逝世100周年即1982年,人們在羅素發現孤立波的運河河邊樹起了一座羅素像紀念碑，以紀念148年前他的這一不尋常的發現。 | | 孤立波解衹存在於非綫性色散方程之中，亦即非綫性與色散是孤立波存在的必要條件。色散即波的傳播速度依賴於波的頻率和波長，它導致波包散開，而非綫性卻導致波陣面捲縮，兩者共同作用的結果便形成穩定的波包，即孤立波。
起初人們認為雖然單個孤立波在行進中非常穩定，但在孤立波相互碰撞時，就可被撞得四分五裂，穩定波包將不復存在。但通過計算機對孤立波進行研究的結果表明，兩個孤立波相互碰撞後，仍然保持原來的形狀不變，並與物質粒子的彈性碰撞一樣，遵守動量守恆和能量守恆。孤立波還具有質量特徵，甚至在外力作用下其運動還服從牛頓第二定律。因此，完全可以把孤立波當做原子或分子那樣的粒子看待，人們將這種具有粒子特性的孤立波稱為孤立子，有時又簡稱為孤子。
孤立子的高度穩定性和粒子性引起了人們對孤立子的極大興趣。人們還發展了一套研究孤立子的係統方法—反散射方法或逆問題方法。找出了一批非綫性方程的普遍解法，並通過計算機實驗和解析方法相結合，發現很多非綫性偏微分方程都存在孤立子解，這些純粹數學上的孤立子，很快在流體物理、固體物理、等離子體物理和光學實驗中被發現。更令人振奮的是，這些似乎是純數學的發現，不僅為實驗所證實，而且還找到了實際應用。例如光纖通訊中傳輸信息的低強度光脈衝由於色散變形，不僅信息傳輸量低、質量差，而且須在綫路上每隔一定距離加設波形重複器，花費很大，70年代從理論上首先發現“光學孤子”可以剋服這些缺點，並可大大提高信息傳輸量，目前這一成果已進入實用階段。
對孤立子的更深入研究發現，孤立子不僅像原子或分子，而且更像基本粒子，這表現在：
１．孤立子不僅具有質量、能量和動量特徵，而且還具有電荷特徵。
２．孤立子有的像光子、電子、質子那樣，穩定而不衰變，有的像中子、πo介子、μ子那樣可以衰變，具有衰變性不穩定性。
３．和基本粒子都存在其反粒子一樣，孤立子也都存在其相應的反孤立子。
４．對應於運動方程的種種對稱性，孤立子也存在相應的守恆定律，如動量守恆、能量守恆和“粒子數”守恆等等。
孤立子原本是波，但卻具有粒子的特性，而物質粒子原本是粒子，但卻具有波的特性。兩者原本風馬牛不相及，但卻具有共同的屬性—“波粒二象性”。人們曾確信，孤立子和物質粒子之間一定存在某種必然聯繫，並預料孤立子必將在基本粒子研究中起到獨特的作用。但是，由於孤立子解衹存在於非綫性微分方程中，而非綫性微分方程沒有一般解法,孤立子解很難找到,尤其對於多維孤立子的研究目前還衹是剛剛起步，並且對多維孤立子的研究更加睏難，人們對基本粒子的瞭解遠多於孤立子，因而，藉用孤立子理論還難以對基本粒子作出完備的描述。
但是情況也有例外，人們對於速度低於光速的物質粒子瞭解甚多，而對速度高於光速的物質粒子—快子卻知之甚少。人們通過對狹義相對論的進一步研究發現，速度原本就超過光速的快子的存在並不違背狹義相對論，但到目前人們對快子的特性並不清楚，也不知道為什麽不能發現快子。而孤立子理論卻得到了快子解，在本書第二章“虛子論”中，我們將藉助這種快子解，分析研究快子的基本特性，並說明它們為什麽不能被發現。我們還將進一步證明，快子在地球上是普遍存在的，並在人體生命現象中起着極其重要的作用。 | | gulizi
孤立子
soliton
又稱孤立子波，是非綫性波動方程的一類脈衝狀的行波解。它們的波形和速度在相互碰撞後仍能保持不變或者衹有微弱的變化。一個著名的例子是KdV(Korteweg-de Vries) 方程 □ 的解 □□。方程解的圖形（見圖KdV方程孤立子解的圖形）像一個孤立的脈衝,波峰高2□□，速度為4□□。當兩個這樣的脈衝波沿同一方向運動時,峰高的波速度快會趕上前面峰低的波而發生碰撞。1965年M.D.剋魯斯卡爾和N.J.紮布斯基在電子計算機上作數值試驗後，意外地發現兩個這樣的波在碰撞後，居然都能保持各自的波形和速度不變。這一性質使人聯想起粒子，因之將這樣的波稱為孤立子(波)。早在1934年,J.S.羅素已在河流中觀察到這種非綫性波。現在人們已經發現很多在應用中十分重要的非綫性波方程, 如正弦-戈登方程(SG方程)□□□=sin□,非綫性薛定諤方程□□□等等都具有這種孤立子解。近年來,發現在等離子體光纖通信中都有孤立子現象，科學家們還認為神經細胞軸突(axon)上傳導的衝動、木星上的紅斑等都可以看作是孤立子。孤立子反映了自然界中一類相當普遍的非綫性現象。由於孤立子同時具有波和粒子兩重性質，引起了理論物理學家的極大關註，他們嘗試用它來描寫基本粒子。但在應用中，上述的孤立子的定義，在各種不同意義上有所放寬。
為了求解這些具有孤立子解的特殊非綫性方程，自1967年起發展了一種散射反演方法。該方法的特色是將這類非綫性問題的解轉化為綫性問題來求解，最初是C.S.伽德納等人於1967年首先對KdV方程提出的。他們發現KdV方程和常微分算子的特徵值問題 □有密切的關係。特別，若微分算子□中所含□（稱為位勢）取為KdV方程的解時，算子的特徵值□與時間□無關。於是，求解KdV方程的初值問題可以轉化為求解上述特徵值問題的正問題和反問題。其正問題是指已知初值□(□,0)=□(□)求出與算子□的特徵值等相關的一組量。這一組量稱為散射量。其反問題是指已知□時刻的散射量來復原位勢□(□,□)。散射量本身隨時間□的演化規律十分簡單，關鍵的步驟是求解反問題，而這一步歸結為求解一個綫性積分方程。伽德納等人用這種方法成功地求出了KdV方程的單個孤立子解以及由□個孤立子疊加起來的□重孤立子解。1968年 P.D.拉剋斯對伽德納等人的思想從泛函分析的角度作了十分清楚的表述，指出KdV方程可以寫成□□=[□,□]形式,其中[□,□]=□□-□□，□和 A為與□有關的綫性常微分算子。由於它在孤立子理論中的重要作用，後人便將它稱作拉剋斯方程，並將其□和□稱為拉剋斯對。此後又有許多人考察了一類二階矩陣常微分算子的特徵值問題，導出了與之相連的一族廣泛的非綫性演化方程，並建立了與該特徵值問題的反問題相關連的綫性積分方程。自此以後，散射反演方法逐漸發展成一種求解非綫性方程初值問題的係統方法，引起了數學界的廣泛重視。
除散射反演方法外，還有一種方法是利用貝剋隆變換,這是一種將方程的一個解變至另一個解的變換。利用它常可從方程的平凡解(如□=0)出發,經簡單積分或代數運算導出方程的一係列特解。一個經典例子是□□：□0→□1，這裏□1是由□，□□確定的。衹要□0是SG方程的解，則由上式可解出□1,它也是SG方程的解。式中□為自由參數。特別，取平凡解□0=0，可解得□,這是SG方程的一種孤立子解,稱之為扭,解中的正負號分別代表兩種相反的旋轉方向(正扭與反扭)。貝剋隆變換的一個重要性質是它的可交換性□,其中□□表示參數為□的貝剋隆變換。由此性質可以導出解的非綫性疊加公式:□,其中□,□，□。取□0=0時的□1,□2即為上述 | | - : soliton
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