命題 1：空集是任意集合的子集。
證明：給定任意集合 A，要證明Φ是 A 的子集。這要求給出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ沒有元素。
對有經驗的數學家們來說，推論 "Φ沒有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。 因為Φ沒有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？ 換一種思維將有所幫助。
為了證明Φ不是 A 的子集，必須找到一個元素，屬於Φ，但不屬於 A。 因為Φ沒有元素，所以這是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。
這個命題說明：包含是一種偏序關係。
命題 2：若 A，B，C 是集合，則：
自反性: A ⊆ A
反對稱性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 當且僅當 A = B
傳遞性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 則 A ⊆ C
這個命題說明：對任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。
命題 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，則：
存在一個最小元和一個最大元：
Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 1 above.)
存在並運算:
A ⊆ A∪B
若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 則 A∪B ⊆ C
存在交運算:
A∩B ⊆ A
若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 則 C ⊆ A∩B
這個命題說明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體係中是多餘的。
命題 4: 對任意兩個集合 A 和 B，下列表述等價：
A ⊆ B
A ∩ B = A
A ∪ B = B
A − B =
B′ ⊆ A′