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多目標規劃
multiple objectives programming
數學規劃的一個分支，研究多於一個的目標函數在給定區域上被同等地最優化（極小化或極大化）的問題（稱為多目標最優化或嚮量極值）。
多目標極小化問題通常記為(VMP) □,其中 □是給定的一個嚮量值目標函數，T表示轉置,□表示在區域 □上的函數□□(□),□□(□),…,□m(□)被同等地極小化。
若(VMP)中的□(□)是□□的綫性(嚮量)函數，□是□□中的多面體，則相應的問題稱為多目標綫性規劃問題。若(VMP)中的□□(□)是□的非綫性(嚮量)函數，或□不是□□中的一個多面體，則稱為多目標非綫性規劃問題。對於多目標規劃，解的定義是一個非常重要的問題。
有效性 亦稱帕雷托最優性，有時也稱為非劣性或非受控性或可采納性,是T.C庫普曼斯於1951年引入的。命名為帕雷托最優性是為了紀念法國經濟學家V.帕雷托首先提出多目標最優化的思想。由於嚮量序不是完全序，因而對於問題(VMP)一般不存在□□□□□使所有的□□(□)(□=1,2,…,□)同時達到極小。因此,單目標問題的最優解概念在這裏已不適用，而代替它的則有有效解、弱有效解和非劣解等概念。如果□□□□□,且不存在其他的可行點□使得□(□)□□(□),則稱□為（VMP）的有效解（這裏“□”表示嚮量的每一分量間都是“□”且至少有一個分量間是“ 一個多目標規劃問題通常存在許多個有效解。在自然序意義下，因各有效解之間相互不能進行比較。因而要在它們之中加以選擇，就需要引入一個偏愛序。這相當於要從决策者那裏得到另外的信息。如何選取這種另外的信息以提煉成一種偏愛模式，並且在某種偏愛關係的基礎上建立起有關的數學理論，是多目標規劃研究的一個重要課題。
1968年A.M.日夫裏翁引進了真有效解概念:如果□是(VMP)的有效解,且存在一數值М>0,使得對於滿足□□(□)□(□□)的□(1□□□□)有[□□(□)-□□(□)]/[□□(□)-□□(□)]□М,則□稱為問題(VMP)的真有效解。在多目標規劃的研究中,還引入了一些其他意義下的解的概念,如局部有效解、庫恩-塔剋爾意義下的有效解等。對這些解的性質及其相互關係已進行了若幹探討，例如，對偽單調多目標規劃、凸多目標規劃已研究了有效解的性質，並建立了一些關於有效解和弱有效解的判別準則。在多目標規劃的研究中,目標空間並不限於歐氏空間□□，例如,目標函數是表示一國經濟增長的一個動態模型的所有軌綫，則目標空間就是一個希爾伯特空間。目前，目標空間是抽象的巴拿赫空間或希爾伯特空間的情形，已有不少研究。
一個與多目標問題(VMP)相關聯的單目標問題(P□) □是引人重視的,其中□□叫做權係數,□叫做權嚮量。通常要求權係數滿足□或‖□‖=1(依□□中任意選定的模)使之規範化。記□□,□，則有以下的基本定理：
設□□□□□是(P□)的最優解，□□□□Λ，則□是(VMP)的弱有效解；若□是凸集,□(□)是□上的凸函數，且□是(VMP)的弱有效解,則存在某一□□□□Λ使□是(P□)的最優解。若□□□□Λ+，□是(P□)的最優解,則□是(VMP)的真有效解;若□是凸集，□(□)是□上的凸函數,且□是(VMP)的真有效解，則存在某一□□□□Λ+使□是(P□)的最優解。
通過帶權係數的問題(P□)，可以把非綫性規劃的許多結果移置到多目標規劃中來。權係數是一種類型的拉格朗日乘子，利用綫性泛函來分離集合的一切理論都可用於此處。對無限維的情形,對鞍點和對偶定理都可進行研究。從計算方法上來說,求(VMP)的有效解或弱有效解,可歸為求參數規劃問 |