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指高中數學三角函數部分的一組恆等式
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
以上四組公式可以由積化和差公式推導得到
證明過程
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程
因為
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
將以上兩式的左右兩邊分別相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
設 α+β=θ，α-β=φ
那麽
α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin(θ+φ)/2 cos(θ-φ）/2 |
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tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附證明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
證明：左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊
∴等式成立 |
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在應用和差化積時，必須是一次同名三角函數方可實行。若是異名，必須用誘導公式化為同名；若是高次函數，必須用降幂公式降為一次
口訣
正加正，正在前，餘加餘，餘並肩
正減正，餘在前，餘減餘，負正弦
反之亦然
生動的口訣：（和差化積）
帥+帥=帥哥
帥-帥=哥帥
咕+咕=咕咕
哥-哥=負嫂嫂
反之亦然 |
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- : Hechahuaji
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