綫性代數 > 嚮量空間



目錄 ·No. 1 ·No. 2 ·百科辭典 ·相關詞 ·包含詞 ·更多結果... No. 1 　　嚮量空間（vectorspace），綫性代數概念，解析幾何中平面v2，空間v3的推廣。在取定坐標係後，平面上的點可由實數對（a，b）表示，空間的點可由三元實數組(a，b，c)表示。推廣之，考慮數域f的n元數組集fn＝｛（a1，…，an）｜ai∈f，i＝1，2，…，n｝，fn對矩陣的加法及數乘做成的代數係稱為f上的一個n維嚮量空間或n維綫性空間，fn中的元素稱為嚮量。類似於在v3的任一坐標係下，每個嚮量有唯一的坐標，fn中每個嚮量a＝（a1，…，an）可由e1＝（1，0，…，0），e2＝（0，1，…，0），…，en＝（0，0，…，1）唯一地表示：a＝a1e1＋…＋anen。e1，…，en稱為fn的一個基，n稱為fn的維數，（a1，…，an）稱為a關於基e1，…，en的坐標。嚮量空間的定義還可以一般化，若v是一個非空集合，v有加法，數域f對v有數乘法，且這兩種運算滿足一定條件，則稱v是f上的嚮量空間，v的元素稱為嚮量。若a1，…，an，β∈v，l1，…，ln∈f，β＝l1α1＋…＋lnan，則稱β可由a1，…，an綫性表示，若存在不全為0的l1，…，ln，使l1a1＋…＋lnan，為零嚮量，則稱a1，…，an綫性相關，否則，稱a1，…，an綫性無關。若v中每個嚮量可由a1，…，an唯一地表示，則稱a 1，…，an為v的一個基，n稱v的維數。f上每個n維嚮量空間與fn有相同的代數性質，即它們同構。嚮量空間討論嚮量間綫性關係，子空間及空間分解等。數學中凡討論綫性問題時，可利用嚮量空間的觀點。 No. 2 　　嚮量空間 　　（或稱綫性空間）是現代數學中的一個基本概念。是綫性代數研究的基本對象。 　　嚮量空間的一個直觀模型是嚮量幾何，幾何上的嚮量及相關的運算即嚮量加法，標量乘法，以及對運算的一些限製如封閉性，結合律，已大致地描述了“嚮量空間”這個數學概念的直觀形象。 　　在現代數學中，“嚮量”的概念不僅限於此，符合下列公理的任何數學對象都可被當作嚮量處理。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成嚮量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成嚮量空間，研究此類函數嚮量空間的數學分支稱為泛函分析。 　　公理化定義 　　給定域 F，一個嚮量空間是個集合 V 並規定兩個運算： 　　嚮量加法：V × V → V 記作 v + w, ∃ v, w ∈ V， 　　標量乘法：F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　嚮量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w. 　　嚮量加法交換律: v + w = w + v. 　　嚮量加法的單位元: V 裏有一個叫做零嚮量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v. 　　嚮量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 導致 v + w = 0. 　　標量乘法分配於嚮量加法上: a(v + w) = a v + a w. 　　標量乘法分配於域加法上: (a + b)v = a v + b v. 　　標量乘法一致於標量的域乘法: a(b v) = (ab)v。 　　標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裏 1 指示域 F 的乘法單位元. 　　有些教科書還強調以下兩個閉包公理： 　　V 閉合在嚮量加法下：v + w ∈ V. 　　V 閉合在標量乘法下: a v ∈ V. 　　簡而言之，嚮量空間是一個F-模。 　　V的成員叫作嚮量而F的成員叫作標量 　　若F是實數域R，V稱為實數嚮量空間. 　　若F是復數域C，V稱為復數嚮量空間. 　　若F是有限域，V稱為有限域嚮量空間 　　對一般域F，V稱為F-嚮量空間 　　基礎特性 　　首5個公理是說明嚮量V在嚮量加法中是個可換群.餘下的5個公理應用於標量乘法. 　　這些都是一些特性很容易從嚮量空間公理推展出來的.如下: 　　零嚮量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的. 　　a 0 = 0 ∀ a ∈ F. 　　0 v = 0 ∀ v ∈ V 這裏 0 是F的加法單位元. 　　a v = 0 ，則可以推出要麽 a = 0 ，要麽 v = 0. 　　可加的逆元嚮量 v (公理4) 是唯一的. (寫成−v). 這個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的. 　　(−1)v = −v ∀ v ∈ V. 　　(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V. 　　 例子 　　參見 嚮量空間例子 　　子空間及基 　　一個嚮量空間 V 的一個非空子集合 W 在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為 V 的綫性子空間。 　　給出一個嚮量集合 B，那麽包含它的最小子空間就稱為它的擴張，紀作 span(B)。 　　給出一個嚮量集合 B，若它的擴張就是嚮量空間 V， 則稱 B 為 V 的生成集。 　　一個嚮量空間 V 最大的綫性獨立子集，稱為這個空間的基。若 V=0，唯一的基是空集。對非零嚮量空間 V，基是 V 最小的生成集。 　　如果一個嚮量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那麽就稱 V 是一個有限維空間。嚮量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如,實數嚮量空間：R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中， Rn 的維度就是 n。 　　空間內的每個嚮量都有唯一的方法表達成基中元素的綫性組合。把基中元素排列，嚮量便可以座標係統來呈現。 　　綫性映射 　　給兩個嚮量空間 V 和 W 在同一個F場, 設定由V到W的綫性變換或“綫性映射” . 這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數.這個集合包含所有由V到W的綫性映射,以 L(V, W) 來描述, 也是一個F場裏的嚮量空間. 當 V 及 W 被確定後, 綫性映射可以用矩陣來表達. 　　同構是一對一的一張綫性映射.如果在V 和W之間存在同構, 我們稱這兩個空間為同構;他們根本上是然後相同的。 　　一個在F場的嚮量空間加上綫性映射就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。 　　 概念化及額外結構 　　研究嚮量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下： 　　一個實數或復數嚮量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範嚮量空間。 　　一個實數或復數嚮量空間加上長度和角度的概念，稱為 內積空間。 　　一個嚮量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲嚮量空間。 　　一個嚮量空間加上雙綫性算子（定義為嚮量乘法）是個域代數。 　　 嚮量空間的同構 　　在域F上的兩個嚮量空間V與V' ，如果存在一個雙射φ：V→V'並且φ(aμ+bν)=aφ(μ)+bφ(ν)，a，b∈F，μ，ν∈V．這樣V與V' 便是同構。 百科辭典 　　xiangliang kongjian 　　嚮量空間 　　vector space 　　　　又稱綫性空間。在解析幾何學裏引入嚮量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯繫的嚮量空間概念。嚮量空間是綫性代數的中心內容和基本概念之一。它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。 　　　　設□是一個非空集合,□是一個域。在□的元素之間定義了所謂加法,即對於□ 的任意一對元素□、□,□ 中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為□與□的和，記作□+□。在□ 的元素與□的元素之間定義了所謂乘法，即對於□的任意元素□與□的任意元素□,□中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為□與□的積，記作□□。如果所述的加法和乘法滿足以下規則，那麽集合□稱為域□上一個嚮量空間。 　　　　加法的四條規則①結合律,即□+(□+□)=(□+□)+□□;②交換律,即□+□=□+□□;③在□中存在一個“零元素”,記作0,對於□的任意元素□□都有0+□=□;④對於□的每一個元素□，在□中存在負元素－□，使得(-□)+□=0。 　　　　乘法的兩條規則　⑤結合律，即(□□)□=□(□□)；⑥□是□中的任意元素，1是□的單位元素，1□=□。 　　　　加法和乘法的兩條規則 ⑦□(□+□)=□□+□□;⑧(□+□)□=□□+□□，以上各式中的□、□、□ 是□的任意元素,□、□□是□的任意元素。 　　　　域□上嚮量空間V 的元素，稱為嚮量。□中的零元素，稱為零嚮量。□的元素□的負元素-□,稱為□的負嚮量。域□中的元素，稱為純量。 　　　　嚮量空間的加法和乘法表達出嚮量之間的基本關係。隨着所考慮的對象不同，這兩種運算的定義也不同。例如,令□是實數域，□□是一切三元實數組所成的集合，即□，加法的定義是 □□,乘法的定義是□，這裏□都是□□中元素,□是□中元素。於是□□□是實數域上一個嚮量空間。設F是一個域，□□是任意取定的一個正整數，□□定義加法為□+□=(□□+□□,□□+□□,…,□□+□□)，定義乘法為□□＝(□□□,□□□,…,□□□)，這裏□＝(□□,□□,…,□□),□＝(□□,□□,…,□□)都是□□中元素,□是□的元素,□則□□是域□□上一個嚮量空間。□□是R 3的推廣。在某一閉區間上連續的實函數全體所成的集合，對於函數的加法和實數與函數的乘法，是實數域上一個嚮量空間。次數不超過某一給定的非負整數 □的復係數多項式的全體與零多項式所成的集合□,對於多項式的加法和復數與多項式的乘法，是復數域上一個嚮量空間。 　　　　子空間　如果域□上一個嚮量空間□的非空子集W,對□的加法和乘法也構成□□上一個嚮量空間，那麽W 稱為□的一個綫性子空間，簡稱子空間。如果□的任一嚮量□可惟一的表為其子空間W□的嚮量□u□(□=1,2,…,□)的和,即□ =□□+□□+…+□□,那麽□稱為其子空間W□,W□,…,W□的直和，記為□□的一個非空子集是□的子空間的充分必要條件為：對於□的任意嚮量□、□以及□的任意純量□□、□，有□□+□□在W中。例如，嚮量空間□本身以及由一個零嚮量所成的集合{0}，都是□的子空間，稱為□的平凡子空間。□嚮量空間□□□的子集W＝{(□□,…,□□-1,0)|□□□□□□,1≤□≤□-1},是□□的一個子空間。係數在域□中的□□元齊次綫性方程組的所有的解，是□□□的一個子空間，並稱為所給齊次綫性方程組的解空間。 　　　　基、坐標和維數 設□□□,□□,…,□□是域□上一個嚮量空間□的嚮量,□□,□□,…,□□是域□的元素。□表示式□□□□+□□□□+ … +□□□□，稱為□□, □□,…,□□□的綫性組合。如果存在□□中不全為零的元素□□,□□, 相關詞 矩陣 映射 數學 百科大全 包含詞 雙嚮量空間 右嚮量空間 切嚮量空間 復嚮量空間 實嚮量空間 零嚮量空間 賦範嚮量空間 拓撲嚮量空間 嚮量空間模型 有理嚮量空間 二維嚮量空間 嚮量空間直和 對偶嚮量空間 嚮量空間的基 數組嚮量空間 嚮量空間的復化 右拓撲嚮量空間 有限維嚮量空間 域上的嚮量空間 嚮量空間上的張量 歐幾裏得嚮量空間 拓撲嚮量空間中的測度 有限可生成嚮量空間