| | | 在直角三角形中，兩直角邊平方的和等於斜邊的平方。在中國古代，稱直角三角形中較短的一條直角邊為勾，較長的一條直角邊為股，斜邊為弦，定理因而得名。古代算書《周髀算經》所載商高的談話中曾提出勾股定理的特例勾三股四弦五”，故又稱商高定理”。在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理”。 | gōu gǔ dìng lǐ gōu gǔ dìng lǐ | | 《周髀算經》記載:西周初年商高提出的“勾三股四弦五”。這是勾股定理的一個特例。勾股定理就是直角三角形斜邊上的正方形面積,等於兩直角邊上的正方形面積之和。中國古代稱兩直角邊為勾和股,斜邊為弦。勾三股四弦五就是:勾三的平方九,加股四的平方十六,等於弦五的平方二十五。說明我國很早就掌握勾股定理,西方的希臘到公元前六世紀的畢達哥拉斯時,纔發現這一定理 | | 勾股定理勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達哥拉斯定理（pythagoras theorem）．
在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麽a²+b²=c²
據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的第一章,就有這條定理的相關內容：周公問：“竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高答：“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”就是說，矩形以其對角相折所稱的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長直角邊）為4，那麽弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要的數學原理了。
在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史傢的懷疑。比如說，美國的數學史傢m·剋萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專傢們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為 30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專傢們還發現，在另一塊泥板上面刻着一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載着15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫傢，也有業餘數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國傢總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，纔使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾裏得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等。
【附錄】
一、【《《周髀算經》·》簡介】
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀註》一書的《勾股圓方圖註》中給出的。
《周髀算經》使用了相當繁復的分數算法和開平方法。
二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】
1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走着走着，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論着什麽，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲嚮兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麽。衹見一個小男孩正俯着身子用樹枝在地上畫着一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麽？那個小男孩頭也不擡地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麽斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那麽這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。”小男孩又說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裏很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回傢，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
解：勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a²+b²=c²
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關係。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c2= a2+b2=9+16=25
則說明斜邊為5。
勾股定理第一章 勾股定理一、 勾股定理的內容，勾股定理是怎樣得到的，從定理的證明過程中你得到了什麽啓示？練習：如圖字母b所代表的正方形的面積是 ( ) a. 12 b. 13 c. 144 d. 194 1、在△abc中,∠c =rt∠. (1) 若a =2,b =3則以c為邊的正方形面積 = (2) 若a =5,c =13.則b = . (3) 若c =61,b =11.則a = . (4) 若a∶c =3∶5且c =20則 b = . (5) 若∠a =60°且ac =7cm則ab = cm，bc 2 = cm2. 2、直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等於 cm. 3、等腰三角形的周長是20cm,底邊上的高是6cm,則底邊的長為 cm. 4、△abc中,ab=ac,∠bac=120°,ab=12cm,則bc邊上的高ad = cm. 5、已知：△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，bc= ,db=2cm ,則bc cm, ab= cm, ac= cm. 6、如圖，某人欲橫渡一條河，由於水流的影響，實際上岸地點c偏離欲到達點b200m，結果他在水中實際遊了520m，求該河流的寬度為_______。 7、在一棵樹的10米高處有兩衹猴子，一隻猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的a處。另一隻爬到樹頂d後直接躍到a處，距離以直綫計算，如果兩衹猴子所經過的距離相等，則這棵樹高________米。
8、已知一個rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）
a、25 b、14 c、7 d、7或25
9、小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸的說法中正確的是
a. 小豐認為指的是屏幕的長度; b. 小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度;
c. 小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長;d. 售貨員認為指的是屏幕對角綫的長度
10、
二、 你有幾種證明一個三角形是直角三角形的方法？
練習：
三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是( )
a. 等邊三角形; b. 鈍角三角形;c. 直角三角形; d. 銳角三角形.
1、在Δabc中,若ab2 + bc2 = ac2,則∠a + ∠c＝ °。
2、如圖，正方形網格中的△abc，若小方格邊長為1，則△abc是（ ）
（a） 直角三角形 (b)銳角三角形
（b） (c)鈍角三角形(d)以上答案都不對
已知三角形的三邊長分別是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n為正整數）則最大角等於_________度.
3、已知，如圖，四邊形abcd中，ab=3cm，ad=4cm，bc=13cm，cd=12cm，且∠a=90°，求四邊形abcd的面積。
閱讀材料：
三角學裏有一個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形a、b。將a分成六部分，將b分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這裏b中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。b圖就是我國《周髀算經》中的“弦圖”。
下圖是h．珀裏加爾（perigal）在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的一種證法，是h•e•杜登尼（dudeney）在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法，據說是l•達•芬奇（da vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾裏得（euclid）在他的《原本》第一捲的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：
(ac)2=2△jab=2△cad=adkl。
同理，(bc)2=kebl
所以
(ac)2+(bc)2=adkl+kebl=(bc)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家j．沃利斯(wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有着微妙聯繫。g•華盛頓曾經是一個著名的測量員。t•傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。a．林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統j．a．加菲爾德（garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是衆議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面嚮同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形abc的外側作正方形abde，acfg，bchk，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們衹要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過c引cm‖bd，交ab於l，連接bc，ce。因為
ab=ae，ac=ag ∠cae=∠bag，
所以 △ace≌△agb
而
所以
saeml=sacfg (1)
同法可證
sblmd=sbkhc (2)
(1)+(2)得
sabde=sacfg+sbkhc，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形abc拼成一個大的正方形cfgh，它的邊長是a+b，在它的內部有一個內接正方形abed，它的邊長為c，由圖可知。
scfgh=sabed+4×sabc，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△abc的斜邊ab上嚮外作正方形abde，在直角邊ac上又作正方形acgf。可以證明（從略），延長gf必過e；延長cg到k，使gk=bc=a，連結kd，作dh⊥cf於h，則dhck是邊長為a的正方形。設
五邊形ackde的面積=s
一方面，
s=正方形abde面積+2倍△abc面積
=c2+ab (1)
另一方面，
s=正方形acgf面積+正方形dhgk面積
+2倍△abc面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形abc的斜邊上作正方形abde，又以直角三角形abc的兩個直角邊ca，cb為基礎完成一個邊長為b的正方形bfgj（圖26-5）。可以證明（從略），gf的延長綫必過d。延長ag到k，使gk=a，又作eh⊥gf於h，則ekgh必為邊長等於a的正方形。
設五邊形ekjbd的面積為s。一方面
s=sabde+2sabc=c2+ab (1)
另一方面，
s=sbefg+2•s△abc+sghfk
=b2+ab+a2
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
楊作枚圖；
何夢瑤圖；
陳傑圖；
華蘅芳圖
都是用面積來進行驗證：一個大的面積等於幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
【各具特色的證明方法】
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬於古希臘數學家歐幾裏得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》裏。
在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創製了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形abde是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2
化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2
亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2)
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。
以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01f9d756be31ce31f761a75cacc1410c.gif
以後的數學家大多繼承了這一風格並且有發展， 衹是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解决了問題。
以下網址為劉徽的“青朱出入圖”：http://cimg.163.com/catchpic/a/a7/a7070d771214459d67a75e8675aa4dcb.gif 勾3股4 | | 勾股定理:
在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定古埃及人利用打結作RT三角形理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。
定理：
如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麽 a^2+b^2=c^2； 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2，如：一條直角邊是3，一條直角邊是4，斜邊就是3×3+4×4=X×X，X=5。那麽這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
勾股定理的來源：
畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
有關勾股定理書籍
《數學原理》人民教育出版社
《探究勾股定理》同濟大學出版社
《優因培教數學》北京大學出版社
《勾股模型》 新世紀出版社
《九章算術一書》
《優因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
畢達哥拉斯樹
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重複的圖形。又因為重複數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。
直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。
兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。
利用不等式A2+B2≥2AB
三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。 | | 從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現“勾股定理”的，這裏衹舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為“有一根長為5米的木梁（AB）竪直靠在墻上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離墻根（B）多遠？”他們解此題就是用了勾股定理，如圖
設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。 | | 《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。
首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日”（《周髀算經》上捲二）
而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上捲一 ——
昔者周公問於商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”
商高曰：“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。”
周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。
《周髀算經》證明步驟“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。”：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。”：開始做圖——選擇一個 勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連綫應為5（徑隅五）。
“②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。”：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫一個矩（麯尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環繞復製形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方 三個正方形。
“兩矩共長③二十有五，是謂積矩。”：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是 大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。
註意：
① 矩，又稱麯尺，L型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代“矩”指L型麯尺，“矩形”纔是“矩”衍生的長方形。
② “既方之，外半其一矩”此句有爭議。清代四庫全書版定為“既方其外半之一矩”，而之前版本多為“既方之外半其一矩”。經陳良佐、李國偉、李繼閔、麯安京等學者研究，“既方之，外半其一矩”更符合邏輯。
③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱“長”。趙爽註稱:“兩矩者, 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。
由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本衹印了趙爽弦圖（造紙術在漢代纔發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（衹是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽纔給出證明。
其實不然，摘錄趙爽註釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》——“句股各自乘, 並之為弦實, 開方除之即弦。案: 弦圖又可以句股相乘為朱實二, 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實, 加差實亦成弦實。”
趙爽弦圖註意“案”中的“弦圖又可以”、“亦成弦實”，“又”“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。
下為趙爽證明——
青朱出入圖三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放並成弦方。依其面積關係有a^2+b^2=c^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。
以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補虛，衹要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c……2 ）．由此便可證得a^+b^2=c^2; | | 1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走着走着，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論着什麽，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲嚮兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麽。衹見一個小男孩正俯着身子用樹枝在地上畫着一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麽？那個小男孩頭也不擡地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麽斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那麽這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裏很不是滋味。，伽菲爾德不再散步，立即回傢，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:
解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的的正方形面積。
勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a的平方+b的平方=c的平方;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關係。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
則說明斜邊為5。 | | 這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學衆多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。
【證法1】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直綫上. 過C作AC的延長綫交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直綫上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴ .
【證法2】（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直綫上.
過點Q作QP∥BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【證法3】（趙浩傑證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直綫上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直綫上，
【證法4】（歐幾裏得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直綫上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證，矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
【證法5】歐幾裏得的證法
《幾何原本》中的證明
在歐幾裏得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直綫至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此綫把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行綫。此綫將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是綫性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是綫性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同綫性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾裏得《幾何原本》一書第1.47節所提出的 | | 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有着極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國傢之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”．因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”．在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關係即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。
在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國傢稱勾股定理為“平方定理”。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國傢都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理．為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．
前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。 | | - n.: Pythagorean theorem
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