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| 亦作"分形連氣"。 |
謂呈現各種形態 Showed that various forms of |
| 謂呈現各種形態。《文選·張衡＜西京賦＞》：“奇幻儵忽，易貌分形。” 薛綜 註：“易貌分形，變化異也。” 南朝 宋 鮑照 《舞鶴賦》：“態有遺妍，貌無停趣，奔機逗節，角睞分形。”《花月痕》第七回：“羌託跡之靡常，遂分形而各寄。” |
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| 分離。 南朝 宋 鮑照 《贈故人馬子喬》詩之六：“雙劍將別離，先在匣中鳴，煙雨交將夕，從此遂分形。” 唐 韓愈 《答張徹》詩：“首敘始識面，次言後分形。” |
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| “誰不知道熵概念就不能被認為是科學上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識。”——物理學家 惠勒 |
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1973年，曼德勃羅（b.b.mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。分形（fractal）一詞，是曼德勃羅創造出來的，其願意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以後，很快就引起了許多學科的關註，這是由於它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。
分形幾何與傳統幾何相比有什麽特點：
⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸綫和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的。
⑵在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸綫和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們並不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現象的，還有一些是用來描述混沌和非綫性係統的。 |
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在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直綫或麯綫看成一維。也可以梢加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個綫段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的綫度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若幹個相似的圖形。其綫段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等於與圖形相應的經驗維數。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：
a^d=b, d=logb/loga
的關係成立，則指數d稱為相似性維數，d可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫一根直綫，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直綫中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直綫中不包含平面。那麽，用怎樣的尺度來量它纔會得到有限值哪？看來衹有用與其同維數的小綫段來量它纔會得到有限值，而這裏直綫的維數為1（大於0、小於2）。與此類似，如果我們畫一個koch麯綫，其整體是一條無限長的綫摺叠而成，顯然，用小直綫段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此麯綫中不包含平面），那麽衹有找一個與koch麯綫維數相同的尺子量它纔會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那麽衹能是小數（即分數）了，所以存在分維。其實，koch麯綫的維數是1.2618……。 |
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| 據曼德勃羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之餘偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源於拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“産生無規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統歐幾裏德幾何學所不能描述的一大類復雜無規的幾何對象。例如，彎彎麯麯的海岸綫、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮雲，九麯回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點是，極不規則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。 |
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曼德勃羅曾經為分形下過兩個定義：
（1）滿足下式條件
dim(a)>dim(a)
的集合a，稱為分形集。其中，dim(a)為集合a的hausdoff維數（或分維數），dim(a)為其拓撲維數。一般說來，dim(a)不是整數，而是分數。
（2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。
然而，經過理論和應用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對於什麽是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一係列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。
（ii）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大於它相應的拓撲維數。
（v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代産生。 |
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分形誕生在以多種概念和方法相互衝擊和融合為特徵的當代。分形混沌之旋風，橫掃數學、理化、生物、大氣、海洋以至社會學科，在音樂、美術間也産生了一定的影響。
分形所呈現的無窮玄機和美感引發人們去探索。即使您不懂得其中深奧的數學哲理，也會為之感動。
分形使人們覺悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美上的統一，使昨日枯燥的數學不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術創作，分形搭起了科學與藝術的橋梁。
“分形藝術”與普通“電腦繪畫”不同。普通的“電腦繪畫”概念是用電腦為工具從事美術創作，創作者要有很深的美術功底。而“分形藝術”是純數學産物，創作者要有很深的數學功底，此外還要有熟練的編程技能。 |
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康托爾三分集——最簡單的分形在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直綫或麯綫看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個綫段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的綫度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若幹個相似的圖形。其綫段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等於與圖形相應的經驗維數。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：
a^D=b, D=logb/loga
Koch麯綫的關係成立，則指數D稱為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫一根直綫，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直綫中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直綫中不包含平面。那麽，用怎樣的尺度來量它纔會得到有限值哪？看來衹有用與其同維數的小綫段來量它纔會得到有限值，而這裏直綫的維數為1（大於0、小於2）。與此類似，如果我們畫一個Koch麯綫，其整體是一條無限長的綫摺叠而成，顯然，用小直綫段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此麯綫中不包含平面），那麽衹有找一個與Koch麯綫維數相同的尺子量它纔會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那麽衹能是小數（即分數）了，所以存在分維。Koch麯綫的每一部分都由4個跟它自身比例為1:3的
形狀相同的小麯綫組成，那麽它的豪斯多夫維數(分維數)為d=log(4)/log(3)=1.26185950714... |
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在傳統的幾何學中，人們研究一個幾何對象，總是習慣於在Euclid空間(Rn,Euclidean)對其研究和度量，其中字母n表示空間的維數，通常為整數，如n分別為1、2、3時，對應的空間為綫性空間、平面空間、立體空間，在相應的空間中，我們可以測得幾何對象的長度、面積、體積等。但是大約在1個世紀前，在數學領域，相繼出現了一些被稱為數學怪物(mathematical monsters)的東西，在傳統的Euclid領域，人們無法用幾何語言去表述其整體或局部性質，其中，比較著名的Von Koch麯綫數學怪物包括：
Von Koch麯綫 此麯綫在一維下測量任意段長度為無窮大（想象中，考慮到能測量原子的維度）；在二維下測量面積為零
Sierpinski三角形 此圖形面積為零
Cantor集
這些數學怪物睏擾數學家許多年，直至20世紀，被美國數學家Benoit B. Mandelbrot創立的分形幾何學(fractal geometry)徹底解决。Mandelbrot提出：我們之所以無法用幾何語言去描述這些數學怪物，是因為我們是在維數為整數的空間中，用維數同樣是整數的“尺子”對其丈量、描述；而維數不應該僅僅是整數，可以是任何一個正實數；衹有在幾何對象對應的維數空間中，才能對該幾何體進行合理的整體或局部描述。 以上圖的Koch麯綫為例，其維數約為1.26，我們應用同樣為1.26維的尺子對其進行描述，比如取該麯綫前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個幾何體，此幾何體長度為4。也正是因其維數介於1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長度為無窮大，2維下面積為零。
Fractal這個詞是由Mandelbrot於1975創造的，來源於拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國《Science》雜志上發表題目為《英國的海岸綫有多長》的劃時代論文，標志着其分形思想萌芽的出現。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,1977年，在美國出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機遇和維數》）,同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)，但是這三本書還未對社會和學術界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)第二版纔得到歐美社會的廣泛關註，並迅速形成了“分形熱”，此書也被分形學界視為分形“聖經”。
分形學發展史上的重要里程碑
1872年 Cantor集合被創造
1895年 Weierstrass麯綫被創造，此麯綫特點是“處處連續，點點不可微”
1906年 Koch麯綫被創造
1914年 Sierpinski三角形被創造
1919年 描述復雜幾何體的Hausdorff維問世
1951年 英國水文學家Hurst通過多年研究尼羅河，總結出Hurst定律
1967年 Mandelbrot在《Science》雜志上發表論文《英國的海岸綫有多長》
1975年 Mandelbrot創造“Fractals”一詞
1977年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
1977年 Mandelbrot在美國出版英文著作《Fractals:From,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，並引發“分形熱”
1991年 英國的Pergman出版社創辦《Chaos，Soliton and Fractal》雜志
1993年 新加坡世界科學出版社創辦《Fractal》雜志
1998年 在馬耳他(Malta)的瓦萊塔(Valletta)召開了“分形98年會議”(5th International Multidisciplinary Conference)
1999年， 鄧宇等推出《中醫分形集》
2003年 在德國的Friedrichroda召開了“第三屆分形幾何和推測學國際會議”
2004年 在加拿大(Canada)的溫哥華(Vancouver)召開了“分形2004年會議”(8th International Multidisciplinary Conference) |
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最古老的樸素分形集（幾千年歷史，最簡單的分形集陰陽集），1999年，鄧宇等。
從自相似性看,可追溯到古老的宗教和中醫<<黃帝內經>>等典籍.
陰陽集，分維D＝1
五行集，分維D＝1.4650
陰陽五行-髒腑（藏象：五髒五腑）的分維D=2.0959. |
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逃逸時間係統：復迭代的收斂限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形
迭代函數係統：這些形狀一般可以用簡單的幾何“替換”來實現。例如：康托集合、Koch雪花、謝爾賓斯基三角形、Peano麯綫等等。
吸引子：點在迭代的作用下得到的結構。一般可以用微分方程確立。例如：Lorenz吸引子。 |
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Ultra Fractal
Visions of Chaos
Fraciant
Apophysis |
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1999年，鄧宇等
陰陽分形集
五行分形集 |
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分形的特點是整體與局部具有自相似特性，而全息則是整體的特徵包含在局部之中，每一個局部都可以上升為相似性的整體，所以，分形可以看作是全息的一部分。
分形的自相似在概括分形的特性上似乎有局限性，但已經將分形具有的特徵表達出來了。嚴格的說，這種自相似是一種層次化的自相似，而分形的概念就可以表達為：物體存在形式上的有序層次化的自相似特徵。 |
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| 分形同氣, 分形共氣, 分形連氣 |
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