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| ①〈書〉多少價值～？ㄧ曾～時。②幾何學的簡稱。 |
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| ∶多少(用於反問) |
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| 年幾何矣。——《戰國策·趙策》 |
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| 羅敷年幾何。——《樂府詩集·陌上桑》 |
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| 所殺幾何。——唐· 李朝威《柳毅傳》 |
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| 相去能幾何。——明· 劉基《誠意伯劉文成公文集》 |
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| 價值幾何。 |
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| ∶幾何學簡稱 |
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| 猶若幹，多少。《詩·小雅·巧言》：“為猶將多，爾居徒幾何？” 馬瑞辰 通釋：“爾居徒幾何，即言爾徒幾何也。”《史記·白起王翦列傳》：“於是 始皇 問 李信 ：‘吾欲攻取 荊 ，於將軍度用幾何人而足？’”《新唐書·李多祚傳》：“﹝ 張柬之 ﹞乃從容謂曰：‘將軍居北門幾何？’曰：‘三十年矣。’” 清 劉獻廷 《廣陽雜記》捲四：“小子費亦不貲矣！傢私幾何，乃如此鬍為耶！”《老殘遊記》第三回：“ 高公 又問：‘藥金請教幾何？’” 郭小川 《春歌》之二：“戰鬥的詩情能裝千筐萬籮，而我的筆墨呢，又有幾何！” |
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| 數學中的一門分科。詳“ 幾何學 ”。 |
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幾何(ｊǐ-) : ①多少：其成就能有幾何｜不知費用尚需幾何?
②數學中的一門分科。詳“幾何學”。 |
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1 多少(用於反問)
年幾何矣。——《戰國策·趙策》
羅敷年幾何。——《樂府詩集·陌上桑》
所殺幾何。——唐·李朝威《柳毅傳》
相去能幾何。——明·劉基《誠意伯劉文成公文集》
價值幾何。
“幾何”名稱的由來——科學家徐光啓
2.學過數學的人，都知道它有一門分科叫作“幾何學”，然而卻不一定知道“幾何”這個名稱是怎麽來的。在我國古代，這門數學分科並不叫“幾何”，而是叫作“形學”。“幾何”二字，在中文裏原先也不是一個數學專有名詞，而是個虛詞，意思是“多少”。比如三國時曹操那首著名的《短歌行》詩，有這麽兩句：“對酒當歌，人生幾何？”這裏的“幾何”就是多少的意思。那麽，是誰首先把“幾何”一詞作為數學的專業名詞來使用的，用它來稱呼這門數學分科的呢？這是明末傑出的科學家徐光啓。
徐光啓（1562－1633年）出生在上海縣法華匯（今上海市徐傢匯）一個小商人的傢裏。當時的法華匯還不是城市而是鄉村，四周都是種滿莊稼的農田。徐光啓小時候進學堂讀書，就很留心觀察周圍的農事，對農業生産有着濃厚的興趣。二十歲考中秀纔以後，他在家乡和廣東、廣西教書，白天給學生上課，晚上常常默對孤燈，廣泛閱讀古代的農書，鑽研農業生産技術。由於農業生産同天文歷法、水利工程的關係非常密切，而天文歷法、水利工程又離不開數學，他又進一步博覽古代的天文歷法、水利和數學著作
嚮下滾動上下滾動
1594年，徐光啓在韶州（今廣東韶關）教書的時候，認識了一個來中國傳播天主教的耶穌會土郭靜居。在郭靜居那兒，他第一次見到一幅世界地圖，知道在中國之外竟有那麽大的一個世界；又第一次聽說地球是圓的，有個叫麥哲倫的西洋人乘船繞地球環行了一周；還第一次聽說意大利科學家伽利略製造了天文望遠鏡，能清楚地觀測天上星體的運行。所有這些，對他來說，都是聞所未聞的新鮮事。從此，他又開始接觸西方近代的自然科學，知識更加豐富了。
明朝末年，宦官專權，政治黑暗，人民的生活非常痛苦，農民起義到處發生；正在東北崛起的滿洲貴族，又不時對明朝發動進攻，整個社會處在動蕩不安的狀態。象所有正直的知識分子一樣，徐光啓富於愛國的熱忱，他希望能夠利用科學技術幫助國傢富強起來，使天下的黎民過上“豐衣食，絶饑寒”的安定富裕的生活。因此，他認為不僅應該認真總結我國古代的科學成就，還應該很好地學習西方先進的自然科學，取長補短，使我國的科學技術得到進一步的發展。
在同郭靜居交往的時候，徐光啓聽說到中國來傳教的耶穌會會長利瑪竇精通西洋的自然科學，就到處打聽他的下落，想當面嚮他請教。1600年，他得到了利瑪竇正在南京傳教的消息，即專程前往南京拜訪。
利瑪竇是意大利人，原名叫瑪太奧·利奇。他從小勤奮好學，對數學、物理學、天文學、醫學都很有造詣，而且擅長製作鐘錶、日晷（gui鬼，日晷是古代一種測定時間的儀器），善於繪製地圖和雕刻。三十歲從神學院畢業，利瑪竇被耶穌會派到中國來傳教。他為了便於同中國人交往，刻苦學習中國的語言、文字和古代文化，換上中國的服裝，按照中國的禮節和風俗習慣進行活動，還為自己取了利瑪竇這樣一個中國名字。
徐光啓見到利瑪竇，對他表示了仰慕之情，希望嚮他學習西方的自然科學。利瑪竇看他是個讀書人，也想嚮他學習中國古代的文化典籍，並熱衷發展他為天主教徒，就同他交談起來。他們從天文談到地理，又談到中國和西方的數學。臨別的時候，利瑪竇對徐光啓學習西方自然科學的請求未置可否，卻送給他兩本宣傳天主教的小册子。一本是《馬可福音》，講的是耶穌的故事，另一本是《天主實義》，是利瑪竇用中文寫的解釋天主教義的書。徐光啓心裏明白，這是要他先加入天主教，然後纔肯嚮他傳播西方的科學知識。後來，他經過三年之久的慎重考慮，為了學習西方的自然科學，就全家加入了天主教。
加入天主教的第二年，四十二歲的徐光啓考中進士，擔任翰林院庶吉士的官職，在北京住了下來。而利瑪竇在同徐光啓見面的第二年，也來到了北京。他嚮明神宗貢獻禮品，得到明神宗的批準，在宣武門外置了一處住宅，長期留居下來，進行傳教活動。徐光啓在公餘之暇，常常去拜訪利瑪竇，你來我往，彼此慢慢熟悉了，開始建立起較深的友誼。1606年，徐光啓再次請求利瑪竇傳授西方的科學知識，利瑪竇爽快地答應了。他用公元前三世紀左右希臘數學家歐幾裏得的著作《原本》做教材，對徐光啓講授西方的數學理論。利瑪竇每兩天講授一次，徐光啓總是準時到達，不論是朔風怒吼，還是大雪紛飛，從不間斷。
經過一段時間的學習，徐光啓完全弄懂了歐幾裏得這部著作的內容，深深地為它的基本理論和邏輯推理所折服，認為這些正是我國古代數學的不足之處。他感到，我國的古代數學雖然也取得了極其輝煌的成就，但千百年來一直受到經驗實證的限製，未能很好地運用邏輯推理的方法。如果能把歐幾裏得的這部著作介紹過來，對我國數學的發展將是很有好處的。於是，徐光啓建議利瑪竇同他合作，一起把它譯成中文。開始，利瑪竇對這個建議頗感猶豫，因為歐幾裏得的這部著作是用拉丁文寫的，拉丁文和中文語法不同，詞彙也很不一樣，書裏的許多數學專業名詞在中文裏都沒有相應的現成詞彙。要譯得準確、流暢而又通俗易懂，是很不容易的。早先曾有一個姓蔣的舉人同利瑪竇合作試譯過，就因為這個緣故而不得不半途而廢。但是徐光啓卻很有信心，他認為衹要肯下功夫，多動腦筋，仔細推敲，反復修改，總是可以譯成的。在他的一再勸說下，利瑪竇也就同意了。
從1606年的鼕天開始，他們兩人開始了緊張的翻譯工作。每天晚上，他們坐在燈燭之下，先由利瑪竇用中文逐字逐句地口頭翻譯，再由徐光啓草錄下來。譯完一段，徐光啓再字斟句酌地作一番推敲修改，然後由利瑪竇對照原著進行核對。遇有譯得不妥當的地方，利瑪竇就把原著再仔細地講述一遍，讓徐光啓重新修改。如此反復數次，直到認為滿意了，再接着譯下一段。徐光啓對翻譯非常認真，常常是到了深夜，利瑪竇休息了，他還獨自坐在燈下加工、修改譯稿。有時為了確定一個譯名，他不斷地琢磨、推敲，不知不覺地就忙到天亮。譯文裏的“平行綫”、“三角形”、“對角”、“直角”、“銳角”、“鈍角”、“相似”等等中文的名詞術語，都是經過他嘔心瀝血的反復推敲而確定下來的。
從大雪紛飛的鼕季忙到來年桃李花開的春天，徐光啓和利瑪竇譯出了這部著作的前六捲。徐光啓想一鼓作氣，接着往下譯，爭取在年內譯完後九捲，但利瑪竇卻主張先將前六捲刻印出版，聽聽反映再說。付印之前，徐光啓又獨自一人將譯稿加工、潤色了三遍，盡可能把譯文改得準確。然後他又同利瑪竇一起，共同敲定書名的翻譯問題。這部著作的拉丁文原名叫《歐幾裏得原本》，如果直譯成中文，不大象是一部數學著作。如果按照它的內容，譯成《形學原本》，又顯得太陳舊了。利瑪竇說，中文裏的“形學”，英文叫作“geo”，它的原意是希臘的土地測量的意思，能不能在中文的詞彙裏找個同它發音相似、意思也相近的詞。徐光啓查考了十幾個詞組，都不理想。後來他想起了“幾何”一詞，覺得它與“geo”音近意切，建議把書名譯成《幾何原本》，利瑪竇感到很滿意。1607年，《幾何原本》前六捲正式出版，馬上引起巨大的反響，成了明末清初從事數學工作的人的一部必讀書，對發展我國的近代數學起了很大的作用。
後來，徐光啓雖然沒有能夠再和利瑪竇一起譯出《幾何原本》的後九捲，但他又陸續寫了許多其他的科學著作，特別是《農政全書》這部巨著，在我國和世界科學史上都具有重要的地位。後世的人們，為了紀念徐光啓在科學上的卓越貢獻，就把他的家乡法華匯改名為徐傢匯。
＝＝古代幾何學＝＝
幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的復雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。
中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。
＝＝名稱的來歷＝＝
幾何這個詞最早來自於希臘語“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρε ĭν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啓合譯《幾何原本》時，由徐光啓所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語geo的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。
1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在着另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》9捲出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候纔有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勳就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有“形學”一次的使用出現。
＝＝分支學科＝＝
平面幾何
立體幾何
非歐幾何
羅氏幾何
黎曼幾何
解析幾何
射影幾何
仿射幾何
代數幾何
微分幾何
計算幾何
拓撲學
分形幾何
【知識拓展】
古希臘幾何作圖的三大問題是:①化圓為方,求作一正方形,使其面積等於一已知圓；②三等分任意角;③倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體的兩倍。這些問題的難處，是作圖衹許用直尺（沒有刻度，衹能作直綫的尺）和圓規。經過兩千多年的探索，最後纔證明在尺規的限製下，根本不可能作出所要求的圖形。
希臘人強調作圖衹能用直尺圓規，有下列原因。①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設）出發，推導出盡可能多的命題。對於作圖工具，自然也相應地限製到不能再少的程度。②受柏拉圖哲學思想的影響。柏拉圖片面強調數學在訓練智力方面的作用而忽視其實用價值。他主張通過幾何學習達到訓練邏輯思維的目的，因此工具要有所限製，正象體育競賽要有器械的限製一樣。③以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，圓和直綫是幾何學最基本的研究對象。有了尺規，圓和直綫已經能夠作出，因此就規定衹使用這兩種工具。歷史上最早明確提出尺規限製的是伊諾皮迪斯，以後逐漸成為一種公約，最後總結在歐幾裏得的《幾何原本》之中。
圓和正方形都是常見的圖形，怎樣用尺規作一個正方形與已知圓等積？在歷史上，也許沒有任何一個幾何問題象這個"化圓為方"問題那樣強烈地引起人們的興趣。早在公元前5世紀就有許多人研究這個問題,希臘人對於這種活動用一個專門的字""來表示,意思是“獻身於化圓為方問題”，可見事情相當普遍。這問題的最早研究者是安納薩戈拉斯，他因"不敬神"的罪名被捕入獄，在獄中潛心研究化圓為方問題。以後著名的研究者有希波剋拉底、安提豐、希皮亞斯等人。安提豐提出一種“窮竭法”，是近代極限論的雛形。先作圓內接正方形（或正6邊形）,然後每次將邊數加倍，得內接8、16、32、…邊形,他相信“最後”的正多邊形必與圓周重合。這樣就可以化圓為方了。結論是錯誤的，然而卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導。與中國劉徽的割圓術不謀而合。
用尺規二等分一個角是輕而易舉的,對於某些角,如90°、135°、180°，三等分也不難。自然會提出三等分任意角的問題。如能將60°角三等分，就可以作出正18邊形和正9邊形,三等分角問題就是由這一類問題引起的。關於倍立方問題的起源，有兩個神話傳說。第一個說鼠疫襲擊提洛島（愛琴海上小島），一個預言者說已經得到神的諭示，必須將立方形的阿波羅祭壇體積加倍，瘟疫方能停息。一個工匠簡單地將壇的各邊加倍（體積變成原來的8倍），這並不符合神的意旨,因此瘟疫更加猖獗。錯誤發現後，希臘人將這個”提洛問題”去請教柏拉圖。柏拉圖說：神的真正意圖是想使希臘人為忽視幾何學而感到羞愧。另一個故事說剋裏特王米諾斯為兒子修墳，命令將原來設計的體積加倍，但仍保持立方的形狀。
公元前5世紀,雅典的“智人學派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因為不能用尺規來解决，常常使人闖入新的領域中去。例如激發了圓錐麯綫、割圓麯綫以及三、四次代數麯數的發現。
17世紀解析幾何建立以後，尺規作圖的可能性纔有了準則。1837年p.l.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規作圖的證明,1882年c.l.f.von林德曼證明了 π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年（c.）f.剋萊因總結了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本,1930)一書,給出三大問題不可能用尺規來作圖的簡明證法，徹底解决了兩千多年的懸案。
雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解决了三大問題中的某一個，實際上他們並不瞭解所設的條件和不可解的道理。三大問題不能解决，關鍵在工具的限製，如果不限工具，那就根本不是什麽難題，而且早已解决。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敘述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點p，命尺端為o。設所要三等分的角是∠acb，以c為心，op為半徑作半圓交角邊於a、b；使o點在ca延綫上移動,p點在圓周上移動，當尺通過b時，聯opb（見圖）。由於op=pc=cb，易知
。
∠cob=1/3∠acb
這裏使用的工具已不限於尺規，而且作圖方法也與公設不合。另外兩個問題也可以用別的工具解决。 |
1 多少(用於反問) A number (for ask) |
年幾何矣。——《戰國策·趙策》
羅敷年幾何。——《樂府詩集·陌上桑》
所殺幾何。——唐·李朝威《柳毅傳》
相去能幾何。——明·劉基《誠意伯劉文成公文集》
價值幾何。 |
“幾何”名稱的由來——科學家徐光啓 "Geometric" origin of the name - scientists Xu |
學過數學的人，都知道它有一門分科叫作“幾何學”，然而卻不一定知道“幾何”這個名稱是怎麽來的。在我國古代，這門數學分科並不叫“幾何”，而是叫作“形學”。“幾何”二字，在中文裏原先也不是一個數學專有名詞，而是個虛詞，意思是“多少”。比如三國時曹操那首著名的《短歌行》詩，有這麽兩句：“對酒當歌，人生幾何？”這裏的“幾何”就是多少的意思。那麽，是誰首先把“幾何”一詞作為數學的專業名詞來使用的，用它來稱呼這門數學分科的呢？這是明末傑出的科學家徐光啓。
徐光啓（1562－1633年）出生在上海縣法華匯（今上海市徐傢匯）一個小商人的傢裏。當時的法華匯還不是城市而是鄉村，四周都是種滿莊稼的農田。徐光啓小時候進學堂讀書，就很留心觀察周圍的農事，對農業生産有着濃厚的興趣。二十歲考中秀纔以後，他在家乡和廣東、廣西教書，白天給學生上課，晚上常常默對孤燈，廣泛閱讀古代的農書，鑽研農業生産技術。由於農業生産同天文歷法、水利工程的關係非常密切，而天文歷法、水利工程又離不開數學，他又進一步博覽古代的天文歷法、水利和數學著作。
1594年，徐光啓在韶州（今廣東韶關）教書的時候，認識了一個來中國傳播天主教的耶穌會土郭靜居。在郭靜居那兒，他第一次見到一幅世界地圖，知道在中國之外竟有那麽大的一個世界；又第一次聽說地球是圓的，有個叫麥哲倫的西洋人乘船繞地球環行了一周；還第一次聽說意大利科學家伽利略製造了天文望遠鏡，能清楚地觀測天上星體的運行。所有這些，對他來說，都是聞所未聞的新鮮事。從此，他又開始接觸西方近代的自然科學，知識更加豐富了。
明朝末年，宦官專權，政治黑暗，人民的生活非常痛苦，農民起義到處發生；正在東北崛起的滿洲貴族，又不時對明朝發動進攻，整個社會處在動蕩不安的狀態。象所有正直的知識分子一樣，徐光啓富於愛國的熱忱，他希望能夠利用科學技術幫助國傢富強起來，使天下的黎民過上“豐衣食，絶饑寒”的安定富裕的生活。因此，他認為不僅應該認真總結我國古代的科學成就，還應該很好地學習西方先進的自然科學，取長補短，使我國的科學技術得到進一步的發展。
在同郭靜居交往的時候，徐光啓聽說到中國來傳教的耶穌會會長利瑪竇精通西洋的自然科學，就到處打聽他的下落，想當面嚮他請教。1600年，他得到了利瑪竇正在南京傳教的消息，即專程前往南京拜訪。
利瑪竇是意大利人，原名叫瑪太奧·利奇。他從小勤奮好學，對數學、物理學、天文學、醫學都很有造詣，而且擅長製作鐘錶、日晷（guĭ，日晷是古代一種測定時間的儀器），善於繪製地圖和雕刻。三十歲從神學院畢業，利瑪竇被耶穌會派到中國來傳教。他為了便於同中國人交往，刻苦學習中國的語言、文字和古代文化，換上中國的服裝，按照中國的禮節和風俗習慣進行活動，還為自己取了利瑪竇這樣一個中國名字。
徐光啓見到利瑪竇，對他表示了仰慕之情，希望嚮他學習西方的自然科學。利瑪竇看他是個讀書人，也想嚮他學習中國古代的文化典籍，並熱衷發展他為天主教徒，就同他交談起來。他們從天文談到地理，又談到中國和西方的數學。臨別的時候，利瑪竇對徐光啓學習西方自然科學的請求未置可否，卻送給他兩本宣傳天主教的小册子。一本是《馬可福音》，講的是耶穌的故事，另一本是《天主實義》，是利瑪竇用中文寫的解釋天主教義的書。徐光啓心裏明白，這是要他先加入天主教，然後纔肯嚮他傳播西方的科學知識。後來，他經過三年之久的慎重考慮，為了學習西方的自然科學，就全家加入了天主教。
加入天主教的第二年，四十二歲的徐光啓考中進士，擔任翰林院庶吉士的官職，在北京住了下來。而利瑪竇在同徐光啓見面的第二年，也來到了北京。他嚮明神宗貢獻禮品，得到明神宗的批準，在宣武門外置了一處住宅，長期留居下來，進行傳教活動。徐光啓在公餘之暇，常常去拜訪利瑪竇，你來我往，彼此慢慢熟悉了，開始建立起較深的友誼。1606年，徐光啓再次請求利瑪竇傳授西方的科學知識，利瑪竇爽快地答應了。他用公元前三世紀左右希臘數學家歐幾裏得的著作《原本》做教材，對徐光啓講授西方的數學理論。利瑪竇每兩天講授一次，徐光啓總是準時到達，不論是朔風怒吼，還是大雪紛飛，從不間斷。
經過一段時間的學習，徐光啓完全弄懂了歐幾裏得這部著作的內容，深深地為它的基本理論和邏輯推理所折服，認為這些正是我國古代數學的不足之處。他感到，我國的古代數學雖然也取得了極其輝煌的成就，但千百年來一直受到經驗實證的限製，未能很好地運用邏輯推理的方法。如果能把歐幾裏得的這部著作介紹過來，對我國數學的發展將是很有好處的。於是，徐光啓建議利瑪竇同他合作，一起把它譯成中文。開始，利瑪竇對這個建議頗感猶豫，因為歐幾裏得的這部著作是用拉丁文寫的，拉丁文和中文語法不同，詞彙也很不一樣，書裏的許多數學專業名詞在中文裏都沒有相應的現成詞彙。要譯得準確、流暢而又通俗易懂，是很不容易的。早先曾有一個姓蔣的舉人同利瑪竇合作試譯過，就因為這個緣故而不得不半途而廢。但是徐光啓卻很有信心，他認為衹要肯下功夫，多動腦筋，仔細推敲，反復修改，總是可以譯成的。在他的一再勸說下，利瑪竇也就同意了。
從1606年的鼕天開始，他們兩人開始了緊張的翻譯工作。每天晚上，他們坐在燈燭之下，先由利瑪竇用中文逐字逐句地口頭翻譯，再由徐光啓草錄下來。譯完一段，徐光啓再字斟句酌地作一番推敲修改，然後由利瑪竇對照原著進行核對。遇有譯得不妥當的地方，利瑪竇就把原著再仔細地講述一遍，讓徐光啓重新修改。如此反復數次，直到認為滿意了，再接着譯下一段。徐光啓對翻譯非常認真，常常是到了深夜，利瑪竇休息了，他還獨自坐在燈下加工、修改譯稿。有時為了確定一個譯名，他不斷地琢磨、推敲，不知不覺地就忙到天亮。譯文裏的“平行綫”、“三角形”、“對角”、“直角”、“銳角”、“鈍角”、“相似”等等中文的名詞術語，都是經過他嘔心瀝血的反復推敲而確定下來的。
從大雪紛飛的鼕季忙到來年桃李花開的春天，徐光啓和利瑪竇譯出了這部著作的前六捲。徐光啓想一鼓作氣，接着往下譯，爭取在年內譯完後九捲，但利瑪竇卻主張先將前六捲刻印出版，聽聽反映再說。付印之前，徐光啓又獨自一人將譯稿加工、潤色了三遍，盡可能把譯文改得準確。然後他又同利瑪竇一起，共同敲定書名的翻譯問題。這部著作的拉丁文原名叫《歐幾裏得原本》，如果直譯成中文，不大象是一部數學著作。如果按照它的內容，譯成《形學原本》，又顯得太陳舊了。利瑪竇說，中文裏的“形學”，英文叫作“Geo”，它的原意是希臘的土地測量的意思，能不能在中文的詞彙裏找個同它發音相似、意思也相近的詞。徐光啓查考了十幾個詞組，都不理想。後來他想起了“幾何”一詞，覺得它與“Geo”音近意切，建議把書名譯成《幾何原本》，利瑪竇感到很滿意。1607年，《幾何原本》前六捲正式出版，馬上引起巨大的反響，成了明末清初從事數學工作的人的一部必讀書，對發展我國的近代數學起了很大的作用。
後來，徐光啓雖然沒有能夠再和利瑪竇一起譯出《幾何原本》的後九捲，但他又陸續寫了許多其他的科學著作，特別是《農政全書》這部巨著，在我國和世界科學史上都具有重要的地位。後世的人們，為了紀念徐光啓在科學上的卓越貢獻，就把他的家乡法華匯改名為徐傢匯。 |
＝＝古代幾何學＝＝ Ancient geometry == == |
幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的復雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。
中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。 |
＝＝名稱的來歷＝＝ == == Origin of the name |
幾何這個詞最早來自於希臘語“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρε ĭν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啓合譯《幾何原本》時，由徐光啓所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。
1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在着另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》9捲出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候纔有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勳就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有“形學”一詞的使用出現。 |
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平面幾何
立體幾何
球面幾何
非歐幾何
羅氏幾何
黎曼幾何
解析幾何
射影幾何
仿射幾何
代數幾何
微分幾何
計算幾何
拓撲學
分形幾何 |
知識拓展 Knowledge Development |
古希臘幾何作圖的三大問題是:①化圓為方,求作一正方形,使其面積等於一已知圓；②三等分任意角;③倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體的兩倍。這些問題的難處，是作圖衹許用直尺（沒有刻度，衹能作直綫的尺）和圓規。經過兩千多年的探索，最後纔證明在尺規的限製下，根本不可能作出所要求的圖形。
希臘人強調作圖衹能用直尺圓規，有下列原因。①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設）出發，推導出盡可能多的命題。對於作圖工具，自然也相應地限製到不能再少的程度。②受柏拉圖哲學思想的影響。柏拉圖片面強調數學在訓練智力方面的作用而忽視其實用價值。他主張通過幾何學習達到訓練邏輯思維的目的，因此工具要有所限製，正象體育競賽要有器械的限製一樣。③以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，圓和直綫是幾何學最基本的研究對象。有了尺規，圓和直綫已經能夠作出，因此就規定衹使用這兩種工具。歷史上最早明確提出尺規限製的是伊諾皮迪斯，以後逐漸成為一種公約，最後總結在歐幾裏得的《幾何原本》之中。
圓和正方形都是常見的圖形，怎樣用尺規作一個正方形與已知圓等積？在歷史上，也許沒有任何一個幾何問題象這個"化圓為方"問題那樣強烈地引起人們的興趣。早在公元前5世紀就有許多人研究這個問題,希臘人對於這種活動用一個專門的字""來表示,意思是“獻身於化圓為方問題”，可見事情相當普遍。這問題的最早研究者是安納薩戈拉斯，他因"不敬神"的罪名被捕入獄，在獄中潛心研究化圓為方問題。以後著名的研究者有希波剋拉底、安提豐、希皮亞斯等人。安提豐提出一種“窮竭法”，是近代極限論的雛形。先作圓內接正方形（或正6邊形）,然後每次將邊數加倍，得內接8、16、32、…邊形,他相信“最後”的正多邊形必與圓周重合。這樣就可以化圓為方了。結論是錯誤的，然而卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導。與中國劉徽的割圓術不謀而合。
用尺規二等分一個角是輕而易舉的,對於某些角,如90°、135°、180°，三等分也不難。自然會提出三等分任意角的問題。如能將60°角三等分，就可以作出正18邊形和正9邊形,三等分角問題就是由這一類問題引起的。關於倍立方問題的起源，有兩個神話傳說。第一個說鼠疫襲擊提洛島（愛琴海上小島），一個預言者說已經得到神的諭示，必須將立方形的阿波羅祭壇體積加倍，瘟疫方能停息。一個工匠簡單地將壇的各邊加倍（體積變成原來的8倍），這並不符合神的意旨,因此瘟疫更加猖獗。錯誤發現後，希臘人將這個”提洛問題”去請教柏拉圖。柏拉圖說：神的真正意圖是想使希臘人為忽視幾何學而感到羞愧。另一個故事說剋裏特王米諾斯為兒子修墳，命令將原來設計的體積加倍，但仍保持立方的形狀。 三等分角不能的原因是三次方程的實數根無法用尺規作出。
公元前5世紀,雅典的“智人學派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因為不能用尺規來解决，常常使人闖入新的領域中去。例如激發了圓錐麯綫、割圓麯綫以及三、四次代數麯數的發現。
17世紀解析幾何建立以後，尺規作圖的可能性纔有了準則。1837年P.L.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規作圖的證明,1882年C.L.F.von林德曼證明了 π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年（C.）F.剋萊因總結了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本,1930)一書,給出三大問題不可能用尺規來作圖的簡明證法，徹底解决了兩千多年的懸案。
雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解决了三大問題中的某一個，實際上他們並不瞭解所設的條件和不可解的道理。三大問題不能解决，關鍵在工具的限製，如果不限工具，那就根本不是什麽難題，而且早已解决。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敘述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點p，命尺端為O。設所要三等分的角是∠ACB，以C為心，Op為半徑作半圓交角邊於A、B；使O點在CA延綫上移動,p點在圓周上移動，當尺通過B時，聯OpB（見圖）。由於Op=pC=CB，易知
。
∠COB=1/3∠ACB
這裏使用的工具已不限於尺規，而且作圖方法也與公設不合。另外兩個問題也可以用別的工具解决。
幾何的起源
幾何的發展史（即："幾何"這個名字從何而來?）幾何學和算術一樣産生於實踐，也可以說幾何産生的歷史和算術是相似的。在遠古時代，人們在實踐中積纍了十分豐富的各種平面、直綫、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，並且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關係跟數量關係之間的關係，這些後來就成了幾何學的基本概念。
正是生産實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數是經驗性的，但是幾何學就是建立在這些零散、經驗性的、粗淺的幾何知識之上的。
幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域裏最基礎的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。
大量出土文物證明，在我國的史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪製，一些簡單設計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多麽豐富了。
幾何之所以能成為一門係統的學科，希臘學者的工作曾起了十分關鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業繁榮，生産比較發達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣的內容，在這裏應當提及的是哲學家、幾何學家柏拉圖和哲學家亞裏士多德對發展幾何學的貢獻。
柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學的指導逐步趨嚮於係統和嚴密的方向發展。柏拉圖在雅典給他的學生講授幾何學，已經運用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞裏士多德被公認是邏輯學的創始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對於幾何學的發展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學中，仍是運用三段論的形式來進行推理。
但是，儘管那時候已經有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不係統的。真正把幾何總結成一門具有比較嚴密理論的學科的，是希臘傑出的數學家歐幾裏得。
歐幾裏得在公元前300年左右，曾經到亞歷山大城教學，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育傢。他酷愛數學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當時所能知道的一切幾何事實，按照柏拉圖和亞裏士多德提出的關於邏輯推理的方法，整理成一門有着嚴密係統的理論，寫成了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。
《幾何原本》的偉大歷史意義在於，它是用公理法建立起演繹的數學體係的最早典範。在這部著作裏，全部幾何知識都是從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發表開始，幾何纔真正成為了一個有着比較嚴密的理論係統和科學方法的學科。
歐幾裏得的《幾何原本》
歐幾裏得的《幾何原本》共有十三捲，其中第一捲講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關係，平行綫理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二捲講如何把三角形變成等積的正方形；第三捲講圓；第四捲討論內接和外切多邊形；第六捲講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十捲講述比例和算術得裏論；最後講述立體幾何的內容。
從這些內容可以看出，目前屬於中學課程裏的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》裏了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾裏得幾何學，或簡稱為歐式幾何。
《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體係，在這個體係中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一捲列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於“平行綫理論”的討論，並最終誕生了非歐幾何。）
這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如後面出現的每一個定理都寫明什麽是已知、什麽是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。
關於幾何論證的方法，歐幾裏得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
歐幾裏得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。它標志着幾何學已成為一個有着比較嚴密的理論係統和科學方法的學科。
從歐幾裏得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，儘管科學技術日新月異，但是歐幾裏得幾何學仍舊是中學生學習數學基礎知識的好教材。
由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有着嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。
少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裏買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列臺奬學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。
近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，並且應用幾何學的思想方法，開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候“幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象”。後來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啓示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。
在幾何學發展的歷史中，歐幾裏得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的“根據”和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。
但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名傢，都不可能把問題全部解决。由於歷史條件的限製，歐幾裏得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題並沒有得到徹底的解决，他的理論體係並不是完美無缺的。比如，對直綫的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麽作用。又如，歐幾裏得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。
現代幾何公理體係
人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷嚮前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體係。這個公理體係就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體係，並且還提出了建立一個公理係統的原則。就是在一個幾何公理係統中，采取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理係統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一係統中。
第二，獨立性，公理體係中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體係中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。
這種用公理係統來定義幾何學中的基本對象和它的關係的研究方法，成了數學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾裏得在《幾何原本》提出的體係叫做古典公理法。
公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麽，衹專門研究抽象的對象之間的關係、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、綫、面代表具體的事物，衹要這些具體事物之間滿足公理中的結合關係、順序關係、合同關係等，使這些關係滿足公理係統中所規定的要求，這就構成了幾何學。
因此，凡是符合公理係統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止衹有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。
就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾裏得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。 |
一個世界聞名的初等幾何命題 A world-famous in Elementary Geometry |
衆所周知，一個三角形，如果它是等腰三角形，那麽它兩個底角的角平分綫相等。一個數學真命題的提出，人們往往喜歡追問它的逆命題的真偽，現在問：一個三角形，它有兩個角的平分綫相等，它是否是等腰三角形呢？回答是肯定的，但是要證明它卻不那麽簡單，最好的方法是用反證法。
如：
在△ABC中角平分綫BD,CD交於點D，BD=CD.試證明△ABC是等腰三角形。
證：∵BD=CD
∴∠DBC=∠DCB
∵BD,CD是∠ABC和∠ACB的角平分綫
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 |
一些平面幾何的著名定理 Some well-known theorem of plane geometry |
1、勾股定理（畢達哥拉斯定理）
2、射影定理（歐幾裏得定理）
3、三角形的三條中綫交於一點，並且，各中綫被這個點分成2：1的兩部分
4、四邊形兩邊中心的連綫與兩條對角綫中心的連綫交於一點
5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。
6、三角形各邊的垂直一平分綫交於一點。
7、三角形的三條高綫交於一點
8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從OBC邊引垂綫，設垂足為L，則AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直綫（歐拉綫）上。
10、（九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊中心、從各頂點嚮其對邊所引垂綫的垂足，以及垂心與各頂點連綫的中點，這九個點在同一個圓上，
11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位於同一直綫（歐拉綫）上
12、庫立奇*大上定理：（圓內接四邊形的九點圓）
圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。
13、（內心）三角形的三條內角平分綫交於一點，內切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的一半
14、（旁心）三角形的一個內角平分綫和另外兩個頂點處的外角平分綫交於一點
15、中綫定理：（巴布斯定理）設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角綫互相垂直時，連接AB中點M和對角綫交點E的直綫垂直於CD
18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n（值不為1）的點P，位於將綫段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上
19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接於圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD
20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別嚮外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，
21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由綫段AD、BE、CF的中心構成的三角形也是正三角形。
22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。
23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長綫和一條不經過它們任一頂點的直綫的交點分別為P、Q、R則有
BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅勞斯定理的逆定理：（略）
25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分綫交邊CA於Q、∠C的平分綫交邊AB於R，、∠B的平分綫交邊CA於Q，則P、Q、R三點共綫。
26、梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切綫，分別和BC、CA、AB的延長綫交於點P、Q、R，則P、Q、R三點共綫
27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長綫上的一點S連接面成的三條直綫，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長綫交於點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的應用定理：設平行於△ABC的邊BC的直綫與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交於S，則AS一定過邊BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：（略）
30、塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中綫交於一點
31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切於點R、S、T，則AR、BS、CT交於一點。
32、西摩鬆定理：從△ABC的外接圓上任意一點P嚮三邊BC、CA、AB或其延長綫作垂綫，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共綫，（這條直綫叫西摩鬆綫）
33、西摩鬆定理的逆定理：（略）
34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關於△ABC的點P的西摩鬆綫通過綫段PH的中心。
35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩鬆綫平行的）直綫上。這條直綫被叫做點P關於△ABC的鏡象綫。
36、波朗傑、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關於△ABC交於一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).
37、波朗傑、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關於△ABC的西摩鬆綫交於一點，則A、B、C三點關於△PQR的的西摩鬆綫交於與前相同的一點
38、波朗傑、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩鬆綫的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其餘三點所作的三角形的垂心的連綫段的中點。
39、波朗傑、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關於△ABC的西摩鬆綫，如設QR為垂直於這條西摩鬆綫該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關於△ABC的西摩鬆綫交於一點
40、波朗傑、騰下定理推論4：從△ABC的頂點嚮邊BC、CA、AB引垂綫，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關於關於△ABC的西摩鬆綫交於一點。
41、關於西摩鬆綫的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關於該三角形的西摩鬆綫互相垂直，其交點在九點圓上。
42、關於西摩鬆綫的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西摩鬆綫，這些西摩鬆綫交於一點。
43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同嚮的等角的直綫PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共綫。
44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直綫，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長綫的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共綫
45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異於A、B、C的兩點，P點的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長綫的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共綫
46、他拿定理：設P、Q為關於△ABC的外接圓的一對反點，點P的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長綫的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共綫。（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長綫的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關於圓O互為反點）
47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關於這4個三角形的西摩鬆綫，再從P嚮這4條西摩鬆綫引垂綫，則四個垂足在同一條直綫上。
48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點［連結三角形各頂點與垂心所得三綫段的中點］九點共圓［通常稱這個圓為九點圓［nine-point circle］,或歐拉圓,費爾巴哈圓.
49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，嚮該圓周的在其餘一點處的切綫所引的垂綫都交於一點。
50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心嚮餘下兩點的連綫所引的垂綫共點。
51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關於四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩鬆的交點在同一直綫上。這條直綫叫做M、N兩點關於四邊形ABCD的康托爾綫。
52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾綫、L、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾綫、M、L兩點的關於四邊形ABCD的康托爾綫交於一點。這個點叫做M、N、L三點關於四邊形ABCD的康托爾點。
53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關於四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直綫上。這條直綫叫做M、N、L三點關於五邊形A、B、C、D、E的康托爾綫。
54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。
55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角綫相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。
56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長綫的交點所連綫段的中點和兩條對角綫的中點，三條共綫。這條直綫叫做這個四邊形的牛頓綫。
57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角綫的中點，及該圓的圓心，三點共綫。
58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連綫交於一點，這時如果對應邊或其延長綫相交，則這三個交點共綫。
59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連綫交於一點，這時如果對應邊或其延長綫相交，則這三個交點共綫。
60、布利安鬆定理：連結外切於圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三綫共點。
60、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長綫的）交點共綫。 |
世界名人對幾何的看法 Geometric view of the world's celebrities |
1.堅信代數纔是真實的。
----高斯(Gauss)
2.數形結合，數缺形少直觀，形缺數難入微。
-----華羅庚
3.“我國科學家王菊珍對待實驗失敗有句格言，叫做“幹下去還有50％成功的希望，不幹便是100％的失敗。”
------王菊珍
4.“一個人就好像一個分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母。分母越大，則分數的值就越小。” -----托爾斯泰
5."數學的本質在於它的自由.”---- 康扥爾(Cantor)
6.“在數學的領域中, 提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.”---- 康扥爾(Cantor)
7."沒有任何問題可以嚮無窮那樣深深的觸動人的情感, 很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智産生富有成果的思想, 然而也沒有任何其他的概念能嚮無窮那樣需要加以闡明.”---- 希爾伯特(Hilbert)
8.“數學是無窮的科學”----赫爾曼外爾
9."問題是數學的心髒”---- P.R.Halmos
10.“衹要一門科學分支能提出大量的問題, 它就充滿着生命力, 而問題缺乏則預示着獨立發展的終止或衰亡.” ----Hilbert
11.“數學中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深.”---- 高斯
12.“時間是個常數，但對勤奮者來說，是個‘變數’。用‘分’來計算時間的人比用‘小時’來計算時間的人時間多59倍。” ----雷巴柯夫
13.“在學習中要敢於做減法，就是減去前人已經解决的部分，看看還有那些問題沒有解决，需要我們去探索解决。” ----華羅庚
14.“天才=2％的靈感+98％的血汗。”－－－－ 愛迪生
15.“要利用時間，思考一下一天之中做了些什麽，是‘正號’還是‘負號’，倘若是‘+’，則進步；倘若是‘-’，就得吸取教訓，采取措施。” －－－－季米特洛夫
16.“近代最偉大的科學家愛因斯坦在談成功的秘訣時，寫下一個公式：A=x+y+z。並解釋道：A代表成功，x代表艱苦的勞動，y代表正確的方法，Z代表少說空話。” －－－－愛因斯坦
17.“數學中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深. 數學是科學之王.” －－－－高斯
18.“在數學的領域中, 提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.” －－－－康扥爾
19.“衹要一門科學分支能提出大量的問題, 它就充滿着生命力, 而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡.”
－－－－希爾伯特
20.“在數學的天地裏，重要的不是我們知道什麽，而是我們怎麽知道什麽.” －－－－畢達哥拉斯
21.“一門科學，衹有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步.” －－－－馬剋思
22.“一個國傢的科學水平可以用它消耗的數學來度量.” －－－－拉奧
23.“數學——科學不可動搖的基石，促進人類事業進步的豐富源泉。” ---- 巴羅
24.“在奧林匹斯山上統治著的上帝，乃是永恆的數。” ----雅可比
25.“如果沒有數所製造的關於宇宙的永恆的仿造品，則人類將不能繼續生存。” ----尼采
26.“不懂幾何者免進。” ----柏拉圖
27.“幾何無王者之道！” ---- 歐幾裏得
28.“數學家實際上是一個著迷者，不迷就沒有數學。” ---- 諾瓦利斯
29.“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發現。” ---- 牛頓
30.“數統治着宇宙。”－－－－畢達哥拉斯
31.“數學，科學的女皇；數論，數學的女皇。”－－－－高斯
32.“上帝創造了整數，所有其餘的數都是人造的。” ----剋隆內剋
33.“上帝是一位算術傢” －－－－雅剋比
34.“一個沒有幾分詩人氣的數學家永遠成不了一個完全的數學家。”－－－－維爾斯特拉斯
35.“純數學這門科學再其現代發展階段，可以說是人類精神之最具獨創性的創造。”－－－－懷德海
36.“可以數是屬統治着整個量的世界，而算數的四則運算則可以看作是數學家的全部裝備。”－－－－麥剋斯韋 |
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- : geometry, adj of geometry, of or like the lines, figures, etc used in geometry, geometric
- n.: quadrivial, quadrivium, how much; how many, how much
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- n. géométrie
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