quanlianxu suanzi
全連續算子
completely continuous operator
又稱緊算子，是最接近於有限維空間上綫性算子的一類重要算子。
在綫性代數中，關於綫性變換所相應的綫性方程組的求解問題已被完全解决了，其主要結果是：非齊次綫性方程組有惟一解，當且僅當相應的齊次方程組衹有零解；如果齊次方程是退化的，那麽共軛方程也是退化的，非齊次方程組可解當且僅當自由項必與共軛的齊次方程組非零解相正交，並且在可解時，還可寫出它的解的一切形式（即通解）。20世紀初，在討論第二類綫性積分方程時，也得到了和綫性方程組完全類似的弗雷德霍姆理論。後來，人們發現這種理論對（綫性）全連續算子也是成立的。
全連續綫性算子 設□為巴拿赫空間， □為□到自身的綫性算子,如果對□中一切有界序列{□□}，存在子序列{□□)，使□□□收斂，就稱□為全連續算子(或緊算子)。如果□中某子集內的每個序列都有收斂子序列,就稱這個集為列緊集。全連續算子的定義可以改述為:把□中有界集映為列緊集的算子。如果對□中集М,定義М的非緊性測度為
□
□式中□,那麽全連續算子□□的定義又可以改述為：對一切有界集М，滿足□(□М)＝0的算子。
□ 上的有限秩算子（即值域是有限維的有界綫性算子）就是一類重要的全連續算子。在希爾伯特空間中，每個全連續算子必為有限秩算子的一致極限（見綫性算子）。這個性質在巴拿赫空間中是否成立一直為人們所註意。後來，P.恩夫洛舉了一個反例，對此作了否定的回答，由此更引起人們對巴拿赫空間結構研究的興趣。
全連續算子的另一個重要的典型例子是□2[0，1]上的積分算子：如果□(□，□)為正方形□＝{(□，□)｜0≤□,□≤1}上平方可積函數，則稱由□確定的□2[0,1]到自身的算子□是以□(□,□)為核的積分算子，它是□2[0,1]上的全連續算子。特別，如果當□ 巴拿赫空間□上全連續算子□有下述重要性質：①全連續算子的共軛算子是全連續算子;②□的值域不能包含無限維閉綫性子空間；③對任何復數□□≠0,□□□□-□（□為單位算子）的值域必是閉綫性子空間。
全連續算子譜分析 下面是由F.裏斯和J.P.紹德爾完成的所謂巴拿赫空間上全連續算子的弗雷德霍姆理論：設□是巴拿赫空間□上的全連續算子，①當□是無限維時，零必是□的譜點，且□的譜的極限點衹可能是零；②如果□□□≠0是□的譜點，則它必是□的特徵值,也是□□的特徵值，而且□和 □□相應於□□□的特徵子空間是兩個維數相同的有限維子空間；③如果□□1,□□□2,…,□□□□是□的任意有限個不同的特徵值,□1,□2,…,□□為相應的特徵嚮量,則□1,□2,…,□□必綫性無關;④如果□□□,□分別是□,□□的譜點,並且□□≠□時,則□相應於□□的特徵嚮量□與□□相應於□的特徵嚮量□必“正交”,即□(□)=0;⑤設□□□≠0,則方程(□□□□-□)□＝□對一切□□□□□可解的充要條件是(□□-□)□=0衹有零解；⑥如果□□□是□的非零特徵值,則方程(□□-□)□=□可解的充要條件是□與□□相應於□□□的一切特徵嚮量□正交;⑦如果□□□0是□的非零特徵值，則在□□□0的某個鄰域中，(□□□-□)-1必有P.A.洛朗展開：
□式中□是 □上有界綫性算子。
跡算子 對希爾伯特空間上的全連續算子□,則進一步還可以找到兩個就範正交係{□□}和{□□}以及一列非負實數□□□→0，使
□稱{□□□｜□＝1,2…}為□的奇異數。如果奇異數滿足
□就稱□為□□類全連續算子,而其中□1類算子又稱為跡類算子， |