伽利略變換的完美證明
摘要：
愛因斯坦在創立相對論之初，對牛頓力學中使用伽利略變換研究慣性係理論提出了質疑，理由是：伽利略變換中默認了兩慣性係采用相同的時間標準即t’ =t，如果沒有這個默認，就會有t’≠t，於是愛因斯坦提出並證明了另一個變換即洛侖茲變換，作為否定和替代伽利略變換的唯一正確的變換。愛因斯坦對牛頓力學的指責一直成為牛頓力學的隱痛，成為人們懷疑牛頓理論的出發點，也成為相對論的立足點。本文證明了滿足慣性係平權原理的變換衹有伽利略變換，在伽利略變換中，t’=t可以被證明，從而消除了蒙在牛頓力學上的陰影。
愛因斯坦用其光速不變假設證明了洛侖茲變換，並得到了一個錯誤結論即“光速是最大速度”，這一錯誤結論深刻地印在了接觸和學習相對論的人們的意識裏。人們普遍認為在相對論裏或在物理學裏，討論大於光速c的速度是沒有意義的，一些認識到相對論是一個荒謬理論的人也總是試圖尋找一種超光速運動粒子以期得到相對論的反證據，這些錯誤觀念都是對洛侖茲變換及相對論盲目接受而造成的。我在《洛侖茲變換的睏難》一文中論證了洛侖茲變換中的速度可以大於光速以至於無窮大，洛侖茲變換與伽利略變換的區別不在於它們所使用的速度的有限與無限，而在於粒子在一個慣性係中的速度趨於無限時，它在另一個慣性係中的速度有限還是無限。如果粒子在一個慣性係中的速度趨於無窮大，而在另一個慣性係中的速度趨於一有限值，就得到洛侖茲變換，顯然這一條件違反慣性係平權原理。如果粒子在一個慣性係中的速度趨於無窮大，而在另一個慣性係中的速度也趨於無窮大，就得到伽利略變換，下面使用這一極限條件給出伽利略變換的嚴格證明。
設慣性係k’(x’,y’,z’,t’)沿慣性係k(x,y,z,t)的x軸正嚮以速度u=(u,0,0)勻速運動，自慣性係k到慣性係k’的正交綫性變換為a=(aij) (i,j=1,2,3,4)，即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)a ①
令r=(x,y,z)，r’=(x’,y’,z’)，a11=(aij) (i,j=1,2,3)，a12=(ai4) (i=1,2,3)，a21=(a4j) (j=1,2,3)，a22=(a44)， 則由k到k’的綫性變換可改寫為
r’=ra11+ta21，t’=ra12+ta44 ②
於是
dr’/dt’=((dr/dt)a11+a21)/((dr/dt)a12+a44)
令dr/dt=v，dr’/dt’=v’，則v、v’分別表示運動粒子在k與k’係中的速度，上式可改寫為
v’=(va11+a21)/(va12+a44) ③
滿足上述速度變換的初始條件有（1）洛侖茲變換與伽利略變換的公共條件：“v’=0，v=u”與“v=0，v’=╟u”；（2）滿足伽利略變換的極限條件：|v|→∞時，|v’|→∞。
將條件（2）代入，並令v/|v|=v0得
|v’|=|(v0a11+a21/|v|)/(v0a12+a44/|v|)|=|v0a11/v0a12|=∞(|v|→∞)
上式成立，必有a12’=0=(0,0,0) [註1]，於是③式變為
v’=va11/a44+a21/a44 ④
再將條件（1）代入④式，得
ua11/a44+a21/a44=0，a21/a44=╟u
由此得
a21=╟ua11，a21 =╟ua44
由於u=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=╟a11u， a44=a11，再由a12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，並令v=(vx,vy,vz)，v’=(vx’,vy’,vz’)，便得
(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx╟u)+a21vy +a31vz，a22vy +a32vz，a23vy +a33vz)/a11 ⑤
由於對於vx’=0的點，vx =u，代入便得a21=a31=0；對於vy =0的點，vy’ =0，代入便得a32=0；對於vz =0的點，vz’ =0，代入便得a23=0，於是有
a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=╟a11u，a44=a11
將上述條件代入①式得
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)a=(a11(x╟ut)，a22y，a33z，a11t) ⑥
又當t=0時，k與k’兩慣性係重合，故當t=0時，有x’=x，y’=y，z’=z [註2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，這樣就得到了伽利略變換為
(x’,y’,z’,t’)=( x╟ut，y，z，t) 證畢。
[註1] a12’表示a12的轉置。
[註2]顯然這一條件是相對論所不容許的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛侖茲變換證明中的假定a22=a33=1，或根據洛侖茲變換證明中使用的慣性係平權原理：自k’係到k係的綫性變換為a(-u)，且a(u)a(-u)=e，亦能得到a11=a22=a33=1，從而得到伽利略變換，恕不贅述。 |