例如，從A城到B城中間必須經過C城，從A城到C城共有3條路綫(設為a，b，c)，從C城到B城共有2條路綫(設為m，t)，那麽，從A城到B城共有3×2=6條路綫，它們是：
am，at，bm，bt，cm，ct．
下面我們通過一些例子來說明這兩個原理在計數中的應用．
例1 利用數字1，2，3，4，5共可組成
(1)多少個數字不重複的三位數？
(2)多少個數字不重複的三位偶數？
(3)多少個數字不重複的偶數？
解(1)百位數有5種選擇；十位數有4種選擇；個位數有3種選擇．所以共有
5×4×3=60
個數字不重複的三位數．
(2)先選個位數，共有兩種選擇：2或4．在個位數選定後，十位數還有4種選擇；百位數有3種選擇．所以共有
2×4×3=24
個數字不重複的三位偶數．
(3)分為5種情況：
一位偶數，衹有兩個：2和4．
二位偶數，共有8個：12，32，42，52，14，24，34，54．
三位偶數由上述(2)中求得為24個．
四位偶數共有2×(4×3×2)=48個．括號外面的2表示個位數有2種選擇(2或4)．
五位偶數共有2×(4×3×2×1)=48個．
由加法原理，偶數的個數共有
2+8+24+48+48=130．
例2 從1到300的自然數中，完全不含有數字3的有多少個？
解法1 將符合要求的自然數分為以下三類：
(1)一位數，有1，2，4，5，6，7，8，9共8個．
(2)二位數，在十位上出現的數字有1，2，4，5，6，7，8，98種情形，在個位上出現的數字除以上八個數字外還有0，共9種情形，故二位數有8×9=72個．
(3)三位數，在百位上出現的數字有1，2兩種情形，在十位、個位上出現的數字則有0，1，2，4，5，6，7，8，9九種情形，故三位數有
2×9×9=162個．
因此，從1到300的自然數中完全不含數字3的共有
8+72+162=242個．
解法2 將0到299的整數都看成三位數，其中數字3
不出現的，百位數字可以是0，1或2三種情況．十位數字與個位數字均有九種，因此除去0共有
3×9×9-1=242(個)．
例3 在小於10000的自然數中，含有數字1的數有多少個？
解 不妨將1至9999的自然數均看作四位數，凡位數不到四位的自然數在前面補0．使之成為四位數．
先求不含數字1的這樣的四位數共有幾個，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字所組成的四位數的個數．由於每一位都可有9種寫法，所以，根據乘法原理，由這九個數字組成的四位數個數為
9×9×9×9＝6561，
其中包括了一個0000，它不是自然數，所以比10000小的不含數字1的自然數的個數是6560，於是，小於10000且含有數字1的自然數共有9999-6560=3439個．
例4 求正整數1400的正因數的個數．
解 因為任何一個正整數的任何一個正因數(除1外)都是這個數的一些質因數的積，因此，我們先把1400分解成質因數的連乘積
1400=23527
所以這個數的任何一個正因數都是由2，5，7中的n個相乘而得到(有的可重複)．於是取1400的一個正因數，這件事情是分如下三個步驟完成的：
(1)取23的正因數是20，21，22，33，共3+1種；
(2)取52的正因數是50，51，52，共2+1種；
(3)取7的正因數是70，71，共1+1種．
所以1400的正因數個數為
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
說明 利用本題的方法，可得如下結果：
若pi是質數，ai是正整數(i=1，2，…，r)，則數
的不同的正因數的個數是
(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．
例5 求五位數中至少出現一個6，而被3整除的數的個數．
+a5能被3整除，
於是分別討論如下：
(1)從左嚮右計，如果最後一個6出現在第5位，即a5=6，那麽a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除後的餘數所决定．因此，為了保證a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1衹有3種可能，根據乘法原理，5位數中最後一位是6，而被3整除的數有
3×10×10×10=3000(個)．
(2)最後一個6出現在第四位，即a4=6，於是a5衹有9種可能(因為a5不能等於6)，a2，a3各有10種可能，為了保證a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3種可能．根據乘法原理，屬於這一類的5位數有
3×10×10×9=2700(個)．
(3)最後一個6出現在第3位，即a3=6，被3整除的數應有
3×10×9×9=2430(個)．
(4)最後一個6出現在第2位，即a2=6，被3整除的數應有
3×9×9×9=2187(個)．
(5)a1=6，被3整除的數應有
3×9×9×9=2187(個)．
根據加法原理，5位數中至少出現一個6而被3整除的數應有
3000+2700+2430+2187+2187=12504(個)．
例6 如圖1－63，A，B，C，D，E五個區域分別用紅、藍、黃、白、緑五種顔色中的某一種着色．如果使相鄰的區域着不同的顔色，問有多少種不同的着色方式？
解 對這五個區域，我們分五步依次給予着色：
(1)區域A共有5種着色方式；
(2)區域B因不能與區域A同色，故共有4種着色方式；
(3)區域C因不能與區域A，B同色，故共有3種着色方式；
(4)區域D因不能與區域A，C同色，故共有3種着色方式；
(5)區域E因不能與區域A，C，D同色，故共有2種着色方式．
於是，根據乘法原理共有
5×4×3×3×2=360
種不同的着色方式．
例7 在6×6的棋盤上剪下一個由四個小方格組成的凸字形，如圖1－64，有多少種不同的剪法？
解 我們把凸字形上面那個小方格稱為它的頭，每個凸字形有並且衹有一個頭．
凸字形可以分為兩類：第一類凸字形的頭在棋盤的邊框，但是棋盤的四個角是不能充當凸字形的頭的．於是，邊框上(不是角)的小方格共有4×4=16個，每一個都是一個凸字形的頭，所以，這類凸字形有16個．
第二類凸字形的頭在棋盤的內部，棋盤內部的每一個小方格可以作為4個凸字形的頭(即頭朝上，頭朝下，頭朝左，頭朝右)，所以，這類凸字形有
4×(4×4)=64(個)．
由加法原理知，有16+64=80種不同的凸字形剪法．
練習十八
1．把數、理、化、語、英5本參考書，排成一行放在書架上．
(1)化學不放在第1位，共有多少種不同排法？
(2)語文與數學必須相鄰，共有多少種不同排法？
(3)物理與化學不得相鄰，共有多少種不同排法？
(4)文科書與理科書交叉排放，共有多少種不同排法？
2．在一個圓周上有10個點，把它們兩兩相連，問共有多少條不同的綫段？
3．用1，2，3，4，5，6，7這七個數，
(1)可以組成多少個數字不重複的五位奇數？
(2)可以組成多少個數字不重複的五位奇數，但1不在百位上？
4．從1，2，3，4，5這五個數字中任取三個數組成一個三位數，問共可得到多少個不同的三位數？
5．由1，2，3，4，5，6這六個數字能組成多少個大於34500的五位數？
6．今有一角幣一張，兩角幣一張，伍角幣一張，一元幣四張，伍元幣兩張，用這些紙幣任意付款，可以付出不同數額的款子共有多少種？
7．將三封信投到5個郵筒中的某幾個中去，有多少種不同的投法？
8．從字母a，a，a，b，c，d，e中任選3個排成一行，共有多少種不同的排法？ |