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三角剖分是代數拓撲學裏最基本的研究方法。 以麯面為例， 我們把麯面剖開成一塊塊碎片，要求滿足下面條件：
（1）每塊碎片都是麯邊三角形；
（2）麯面上任何兩個這樣的麯邊三角形，要麽不相交，要麽恰好相交於一條公共邊（不能同時交兩條或兩條以上的邊）
拓撲學的一個已知事實告訴我們：任何麯面都存在三角剖分。
假設麯面上有一個三角剖分， 我們把所有三角形的頂點總個數記為p(公共頂點衹看成一個，下同),邊數記為l,三角形的個數記為n,則e=p-l+n是麯面的拓撲不變量！ 也就是說不管是什麽剖分， e總是得到相同的數值。 e被稱為稱為歐拉示性數。
假設g是麯面上洞眼的個數（比如球面沒有洞，故g=0;又如環面有一個洞，故g=1），那麽e=2-2g。
g也是拓撲不變量，稱為麯面的虧格(genus)。
上面例舉麯面的情形。對一般的拓撲對象（復形），我們有類似的剖分，通常成為單純剖分。 分割出的每塊碎片稱為單純形 （簡稱單形） |
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三角剖分
triangulation
三角剖分l側助卿面ti閱;印H洲ry朋叭叫
1)多面體的三角剖分(川angulationofapo】ybe-
dron)或直綫三角剖分(代℃tihllear triallgu】alion)，是作
為幾何的單純復形(s任nplicial comPlex)K的空間的多
面體(見抽象多面體(polyl初ron，翻加ct))的一個
表示，即它到閉單形中的一個分解，使得任何兩個單
形或者不相交或者沿一個公共面相交.多面體的直綫
三角剖分作為研究它們的主要工具.任何的多面體有
三角剖分，它的任何兩個三角剖分有共同的重分.
單形a在三角剖分T中的閉星形(closed star)
St(a，T)是T的包含a的單形的並.存在單形
6‘T的閉星形的表示—6和它的鏈環(U砍)的並
(或統聯，見集合的並(~n of sets)):St(『，T)=
。‘lk(占，T).特別地，一個頂點的星形是它的鏈環的
錐(cone).如果單形a〔T被表示為它的兩個面占和下
的統聯，則玫(。，T)二攻(占，玫(下，T)).單形的鏈環
不依賴於T:如果叮是同一個多面體直綫三角剖分
T，，兀中的一個單形，那麽，多面體1盜(。，Tl)}和
}玫(。，雙)}是PL同胚的.單形。‘T的開星形
(open star)定義成包含。作為一個面的那些單形的
內點的並.多面體屍的三角剖分的頂點的開星形形
成屍的一個開覆蓋.覆蓋神經(見集族的神經(nen用
ofafanli】yofsets))單純地同構於三角剖分.多面
體屍:和屍2的兩個三角剖分T、和兀是組合等價
的，如果它們的某個重分是單純同構的.為使兩個三
角剖分T，和兀組合等價，屍l和屍:PL同胚是必
要和充分的.一個流形的三角剖分說成是組合的，如
果它的頂點的任何一個星形組合等價於一個單形.在
此情形中、三角剖分的任何單形的星形也組合等價於
一個單形.
如果屍是多面體Q的一個閉子多面體，則屍的
任何一個三角剖分K可以擴張成Q的某個三角剖分
L.這種情形就稱幾何單純復形對(L，K)三角剖分了
偶對(Q，屍)，兩個單形。任Rm，占〔R月的直積ax
占6R爪xR月的三角剖分司汝嚇個翎查.三角剖分的頂點是點
氣二(ab，)，o返厄簇diln叮，o延J成dim占，其中a，是
。的頂點，氣是占的頂點·頂點俄Dj。，，二，氣j*，其中
i。蕊…簇i、張成k維單形，當且僅當這些頂點沒有
一個是重合的以及了。(…(j*.兩個具有有序頂點的單
純復形的直積的三角剖分可用同樣的方法産生.
2)拓撲空間的三角剖分(triallgulation of a topo-
1o鄉以l印ace)或麯綫三角剖分(CI『月inear triangulati〔〕n)
是一對(K，.f)，其中K是幾何的單純復形，f:}K1
~X是同胚.空間X的兩個三角剖分(K，f)和(L，
g)相合，如果g一’.川KJ一，}Lj是一個單純同構.
如果。是復形K的一個單形，(K，f)是X的一個
三角剖分，則賦於同胚月。:。~.f(a)的空間.f(a)
稱為拓撲單形〔topol卿司s川IPlex).一個三角剖分
的拓撲空間的拓撲單形的星形和鏈環是用與在直綫三
角剖分的情形下同樣的方法定義的.如果點a〔X是
X的三角剖分(K，f)和(L，g)的一個頂點，那麽，
在這些三角剖分中，它的鏈環是同倫等價的.
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- n.: Triangulation
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