一次函数

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No. 1

一次函数

　　【讀音】yīcì hánshù
　　【解釋】

定義與定義式 Definition and the definition of style

一次函数定义与定义式

　　自變量x和因變量y有如下關係：
　　y=kx+b
　　則此時稱y是x的一次函數。
　　當b=0時，y是x的正比例函數。
　　即：y=kx （k為常數，k≠0）

一次函數的性質 The nature of a function

一次函数的性质

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
　　即：y=kx+b （k為任意不為零的實數 b取任何實數）
　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

一次函數的圖像及性質 A function of the image and nature of

一次函数的图像及性质

　　１．作法與圖形：通過如下３個步驟
　　（１）列表[一般取兩個點,根據兩點確定一條直綫]；
　　（２）描點；
　　（３）連綫，可以作出一次函數的圖像——一條直綫。因此，作一次函數的圖像衹需知道２點，並連成直綫即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）
　　２．性質：（1）在一次函數上的任意一點p（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。
　　３．k，b與函數圖像所在象限：
　　當k＞0時，直綫必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
　　當k＜0時，直綫必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
　　當b＞0時，直綫必通過一、二象限；
　　當b=0時，直綫必通過原點。
　　當b＜0時，直綫必通過三、四象限。
　　特別地，當b=０時，直綫通過原點o（0，0）表示的是正比例函數的圖像。
　　這時，當k＞0時，直綫衹通過一、三象限；當k＜0時，直綫衹通過二、四象限。
　　4、特殊位置關係
　　當平面直角坐標係中兩直綫平行時，其函數解析式中k值（即一次項係數）相等
　　當平面直角坐標係中兩直綫垂直時，其函數解析式中k值互為負倒數（即兩個k值的乘積為-1）

確定一次函數的表達式 To determine the expression of a function

确定一次函数的表达式

　　已知點a（x1，y1）；b（x2，y2），請確定過點a、b的一次函數的表達式。
　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
　　（2）因為在一次函數上的任意一點p（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最後得到一次函數的表達式。

一次函數在生活中的應用 A function application in life

一次函数在生活中的应用

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量s。g=s-ft。

常用公式（不全，希望有人補充） Common formula (incomplete, I hope it was added)

一次函数常用公式（不全，希望有人补充）

　　1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求與x軸平行綫段的中點：|x1-x2|/2
　　3.求與y軸平行綫段的中點：|y1-y2|/2
　　4.求任意綫段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（註：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
　　5.求兩一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式

應用 Applications

一次函数应用

　　一次函數y=kx+b的性質是：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。利用一次函數的性質可解决下列問題。
　　一、確定字母係數的取值範圍
　　例1. 已知正比例函數，則當m=______________時，y隨x的增大而減小。
　　解：根據正比例函數的定義和性質，得且m<0，即且，所以。
　　二、比較x值或y值的大小
　　例2. 已知點p1（x1，y1）、p2（x2，y2）是一次函數y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關係是（）
　　a. x1>x2 b. x1<x2 c. x1=x2 d.無法確定
　　解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函數的性質“當k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選a。
　　三、判斷函數圖象的位置
　　例3. 一次函數y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數的圖象不經過（）
　　a. 第一象限 b. 第二象限
　　c. 第三象限 d. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選a

數學術語 Mathematical terms

　　【讀音】yī cì hán shù 【英語】linear function
　　【解釋】函數的基本概念：一般地，在某一變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個X值，相應地就確定了唯一一個Y值與X對應，那麽我們稱Y是X的函數（function).其中X是自變量，Y是因變量，也就是說Y是X的函數。當x=a時，函數的值叫做當x=a時的函數值。
　　正比例函數是一次函數中的特殊情況。

定義與定義式 Definition and the definition of style

　　自變量x和因變量y有如下關係：
　　y=kx （k為任意不為零實數）
　　或y=kx+b （k為任意不為零常數，b為任意常數）
　　則此時稱y是x的一次函數。
　　特別的，當b=0時，y是x的正比例函數。即：y=kx （k為任意常數）
　　正比例函數圖像經過原點
　　定義域：自變量的取值範圍，自變量的取值應使函數有意義；要與實際相符合。
　　當x一定的時候衹有一個y與x相對應。

一次函數的性質 The nature of a function

一次函数的性质

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
　　即：y=kx+b（k≠0) （k不等於0，且k，b為常數）
　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的,坐標為(0,b).
　　3.k為一次函數y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
　　形。取。象。交。減
　　4.當b=0時，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數.
　　5.函數圖像性質：當k相同，且b不相等，圖像平行；當k不同，且b相等，圖像相交；當k互為負倒數時，兩直綫垂直；當k，b都相同時，兩條直綫重合。

一次函數的圖像及性質 A function of the image and nature of

一次函数的图像及性质

　　1．作法與圖形：通過如下３個步驟
　　（1）列表[一般取兩個點,根據兩點確定一條直綫]；
　　（2）描點；
　　（3）連綫，可以作出一次函數的圖像——一條直綫。因此，作一次函數的圖像衹需知道２點，並連成直綫即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）
　　2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。
　　3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關係。
　　4．k，b與函數圖像所在象限：
　　y=kx時（即b等於0，y與x成正比)
　　當k＞0時，直綫必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
　　當k＜0時，直綫必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
　　y=kx+b時：
　　當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，三象限。
　　當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過一，三，四象限。
　　當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，四象限。
　　當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過二，三，四象限。
　　當b＞0時，直綫必通過一、二象限；
　　當b＜0時，直綫必通過三、四象限。
　　特別地，當b=0時，直綫通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。
　　這時，當k＞0時，直綫衹通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k＜0時，直綫衹通過二、四象限，不會通過一、三象限。
　　4、特殊位置關係
　　當平面直角坐標係中兩直綫平行時，其函數解析式中K值（即一次項係數）相等
　　當平面直角坐標係中兩直綫垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1）

確定一次函數的表達式 To determine the expression of a function

确定一次函数的表达式

　　已知點A（X1，y1）；B（X2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。
　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b ……① 和 y2=kx2+b ……②
　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最後得到了一次函數的表達式。

常用公式 Common formula

　　1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求與x軸平行綫段的中點：|x1-x2|/2
　　3.求與y軸平行綫段的中點：|y1-y2|/2
　　4.求任意綫段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （註：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
　　5.求兩個一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式
　　兩個一次函數 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標
　　6.求任意2點所連綫段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
　　7.求任意2點的連綫的一次函數解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
　　x y
　　+ + 在一象限
　　+ - 在四象限
　　- + 在二象限
　　- - 在三象限
　　8.若兩條直綫y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那麽k1=k2，b1≠b2
　　9.如兩條直綫y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那麽k1×k2=-1
　　10.
　　y=k（x+n）+b就是嚮左平移n個單位
　　y=k（x-n）+b就是嚮右平移n個單位
　　口訣：左加右減（衹對於改變x）
　　y=kx+b+n就是嚮上平移n個單位
　　y=kx+b-n就是嚮下平移n個單位
　　口訣：上加下減（衹對於改變b）

應用 Applications

一次函数应用

　　一次函數y=kx+b的性質是：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。利用一次函數的性質可解决下列問題。
　　一、確定字母係數的取值範圍
　　例1. 已知正比例函數，則當k<0時，y隨x的增大而減小。
　　解：根據正比例函數的定義和性質，得且m<0，即且，所以。
　　二、比較x值或y值的大小
　　例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關係是（）
　　A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
　　解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函數的性質“當k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
　　三、判斷函數圖象的位置
　　例3. 一次函數y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數的圖象不經過（）
　　A. 第一象限 B. 第二象限
　　C. 第三象限 D. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選A . 典型例題:
　　例1. 一個彈簧，不挂物體時長12cm,挂上物體後會伸長，伸長的長度與所挂物體的質量成正比例.如果挂上3kg物體後，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所挂物體質量x(kg)之間的函數關係式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值範圍.
　　分析：此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載後伸長的長度之和，而自變量的取值範圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理.
　　解：由題意設所求函數為y=kx+12
　　則13.5=3k+12，得k=0.5
　　∴所求函數解析式為y=0.5x+12
　　由23=0.5x+12得：x=22
　　∴自變量x的取值範圍是0≤x≤22
　　例2
　　某學校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學校自刻，除租用刻錄機120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學校自己刻費用較省？
　　此題要考慮X的範圍
　　解:設總費用為Y元，刻錄X張
　　電腦公司：Y1=8X
　　學校：Y2=4X+120
　　當X=30時，Y1=Y2
　　當X>30時，Y1>Y2
　　當X<30時，Y1<Y2
　　【考點指要】
　　一次函數的定義、圖象和性質在中考說明中是C級知識點，特別是根據問題中的條件求函數解析式和用待定係數法求函數解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數、二次函數及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約占有8分左右.解决這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.
　　例3.如果一次函數y=kx+b中x的取值範圍是-2≤x≤6，相應的函數值的範圍是-11≤y≤9.求此函數的的解析式。
　　解：（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
　　6k+b=9
　　解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數關係式為y=2.5x—6
　　（2）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
　　6k+b=-11
　　解得k=-2.5 b=4，則此時的函數解析式為y=-2.5x+4
　　【考點指要】
　　此題主要考察了學生對函數性質的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
　　一次函數解析式的幾種類型
　　①ax+by+c=0[一般式]
　　②y=kx+b[斜截式]
　　（k為直綫斜率，b為直綫縱截距，正比例函數b=0）
　　③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
　　（k為直綫斜率,(x1,y1)為該直綫所過的一個點）
　　④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
　　（（x1,y1）與（x2,y2）為直綫上的兩點）
　　⑤x/a-y/b=0[截距式]
　　（a、b分別為直綫在x、y軸上的截距）
　　解析式表達局限性：
　　①所需條件較多（3個）；
　　②、③不能表達沒有斜率的直綫（平行於x軸的直綫）；
　　④參數較多，計算過於煩瑣；
　　⑤不能表達平行於坐標軸的直綫和過圓點的直綫。
　　傾斜角：x軸到直綫的角（直綫與x軸正方向所成的角）稱為直綫的傾斜角。設一直綫的傾斜角為a，則該直綫的斜率k=tg(a)

相關詞

數學

函數論

函數

正比例函數

直綫

二次函數

包含詞

一次函數性質	一次函數的性質	一次函數和二次函數
一次函數的圖像及性質	確定一次函數的表達式	一次函數在生活中的應用