| | | 连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。常记作ch。通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作c。2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1847年，g.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作1。这个猜想就称为连续统假设。1938年，k.哥德尔证明了ch对zf公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，p.j.科恩证明ch对zf公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样，在zf公理系统中，ch是不可能判定真假的。 | | 连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。常记作CH。
该假设是说，无穷集合中，除了整数集的基数，实数集的基数是最小的。
通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C1。2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1891年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作阿列夫零。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作C1；自然数集的势记作C0。这个猜想就称为连续统假设。1938年，K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZF公理系统是独立的,是不可能判定真假的。这样，在ZF公理系统中，CH是不可能判定真假的。然而到了21世纪，前人的结论又开始被动摇了。
康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数，并把它记作2s╲s0。康托尔还把无穷基数按照从小到大的次叙排列为s╲s0，s╲s1，…s╲sa……其中a为任意序数，康托尔猜想，2s╲sa=s╲s1。这就是著名的连续统假设（简记CH）。一般来说，对任意序数a，断定2s╲sa=s╲sa+1成立，就称为广义连续统假设（简记GCH）。1938年，哥德尔证明了CH与ZFC是相对协调的，1963年科恩证明了CH相对于ZFC是独立的，哥德尔和科恩的结果表明CH对ZFC来说是不可判定的。这是60年代集合论的最大进展之一。 | | lianxutong jiashe
连续统假设
continuum hypothesis
G.（F.P.）康托尔在1878年提出的关于连续统的势（即基数）的一个假设。通常称实数集（直线上点的集合）为连续统,而把连续统的势记作C。远在亚里士多德时期，即已认为没有一个无穷集比另一个无穷集大，这一观点在历史上延续两千年之久，迄至1847年G.(F.P.)康托尔证明了:任一集合A的幂集□(A)的势都大于A的势，才指明上述观点是错误的。康托尔还同时证明了：连续统的势与自然数集之幂集的势是相等的。所谓连续统问题是指：是否存在其势大于自然数集的势而又小于实数集的势的集合。G.康托尔猜测：实数集的子集除了有穷子集,可数无穷子集以及与实数集本身等势的子集外,再没有别样的子集。也就是说，康托尔猜测，实数集的一切无穷子集或者与自然数集等势或者与连续统等势。康托尔的这个猜测就称连续统假设。在有选择公理的条件下，每一个无穷集的势都是某个阿列夫，自然数集的势是□□，连续统的势□。因此,连续统假设可以等价地表为
□，并简记为CH。
把上式等式推广到任意的势，即得所谓广义连续统假设：
① 对任一序数□；或者，
② 对任二无穷势κ,□，若κ≤□≤2□，则
□=κ 或者 □=2□，①与②是等价的，均简记为GCH。
在数学研究的许多领域中，CH是不可或缺的，例如，在讨论实数子集的测度性质和拓扑性质时，其中的一个基本问题“与□不等势的子集是否测度为零?是否属于第一范畴（或第一纲）？”在没有CH的情况下，不能回答。所以，在从事这一方面的研究时，常常要附加CH作为前提。实际上CH等价于下述命题□和□的合取。
□：每一□□□,｜□｜ □：存在一□□□，｜□｜=□且□和每一无处稠密集的交都是至多可数的。
CH 也等价于命题М和□的合取。
М：每一势比□小的实数子集测度为零。
□：存在一□□□，|□|=□且□和每一零测度集的交都是至多可数的。
此外，以下的每一命题都等价于CH。
□□: 实平面可以分成两个集合□,□,□ 和每一水平线只有可数交，□和每一垂直线只有可数交。
□□：实平面是可数多条曲线的并。
关于实数集上的实函数论,在假定了CH的前提下,就有
□□：存在一个从□到 □的函数□，它在任一不可数的□□□上都不连续；
□□：存在一个□:□→□,和一个□□□,｜□｜=□，□在□上连续，但在□ 的任一不可数子集上，□都不一致连续。
尽管CH在数学研究的许多领域中作用显著，但在纯粹的集合论研究中却作用不大。例如对于势的幂运算的简化， CH就难以为力。所以人们才又进一步考虑了GCH，利用GCH可以将势的幂运算简化如下：
□
连续统问题在D.希尔伯特1900年提出的《数学问题》中位居第一（见希尔伯特数学问题）。包括希尔伯特在内的许多名家都曾致力于这一著名难题的研究，虽历经艰苦奋斗，但在相当长的一段时期内，没有进展。因而促使人们怀疑这一问题在数学的现状下是无法解决的。
直到1938年,K.哥德尔证得了GCH（因而CH）相对于ZF系统的协调性，即：若ZF系统是协调的,则在ZFC系统中，GCH的否定是不可证明的。1963年,P.J.科恩又证明了CH（因而GCH）相对于ZF系统的独立性,即：若ZF系统是协调的,则在ZFC系统中，CH是不可证明的。综上所述，即得：在ZF系统中，CH是不可判定的。（见集合论公理系统）
哥德尔和科恩的成果被誉为20世纪数学基础研究中的两个重大成就。科恩创立的力迫方法已在集合论中得到广泛的应用。运用这一方法，人们已经证明了一大批数学命题的独立性。
由于ZFC系统无法决定连续统问题,甚至附加直观上可靠的大基数公理（例如可测基数存在公理）仍然无法推出CH，因而包括哥德尔在内的一些数学家认为CH不可信，想用一代新的公理来取代CH。在这一方面，由D.A.马丁等人在1970年提出的马丁公理是最佳的选择，它与力迫法相辅相成，结合着发展，最后得到一条马丁极大原理，它有着广泛的应用，目前尚在进一步的研究中。
参考书目 Seirpinski, H yhothese Du Continu, 2nd ed.,Chelsea, New York, 1956.
（胡静婉）
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