数理化 > 拿破仑三角形
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No. 1
　　拿破仑·波拿巴（napoleon,1769-1821)，大家应该非常熟悉，可是知道吗，他在数学上也颇有建树。
　　下面要说的拿破仑三角形，曾经令拉普拉斯敬佩不已。
　　定义
　　这个三角形是这样的：
　　　● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△def就是△abc的外拿破仑三角形。
　　　● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。
　　证明
　　这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：
　　证明：
　　如图，分别以△abc的边bc、ac、ab为等边三角形边长，向△abc外作等边三角形（△bcc'、△aca'、△abb'），设这三个三角形的中心分别为d，e，f，
　　则：∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°
　　以点a为圆心，以af长为半径作弧；以点e为圆心，以dc长为半径作弧。设两弧在多边形afbdce内交于点g。则ag=af，ge=dc。
　　连接gf、ga、ge，de、df、ef。
　　∵△abf、△bcd、△ace都是底角为30°的等腰三角形（即∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°）
　　∴△abf∽△bcd∽△ace，
　　∴af/ab = ae/ac = dc/bc
　　又∵ag=af，ge=dc
　　∴ag/ab = ae/ac = ge/bc
　　∴△age∽△abc
　　∴∠gae=∠bac
　　∴∠fag = ∠eaf-∠gae = ∠eaf-∠bac = ∠fab+∠eac = 60°
　　又∵ag=af
　　∴△agf为等边三角形
　　∴ag=af，∠agf=60°
　　∵△age∽△abc
　　∴∠age=∠abc
　　又∵∠fbd = ∠abc+∠fba+∠dbc = ∠abc+60°
　　∠fge = ∠age+∠agf = ∠age+60°
　　∴∠fbd=∠fge
　　∵在△fbd和△fge中，
　　fb=fg，∠fbd=∠fge，bd=ge
　　∴△fbd≌△fge(sas)
　　∴fd=fe
　　同理，fd=de
　　∵fd=de=fe
　　∴△def为等边三角形
　　即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
　　证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话可以自己试试。
定义
　　这个三角形是这样的：
　　● 在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△DEF就是△ABC的外拿破仑三角形。
　　● 在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。
证明
　　这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：
　　证明：
　　如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
　　则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
　　以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
　　连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
　　∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
　　∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
　　∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
　　又∵AG=AF，GE=DC
　　∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
　　∴△AGE∽△ABC
　　∴∠GAE=∠BAC
　　∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
　　又∵AG=AF
　　∴△AGF为等边三角形
　　∴AG=AF，∠AGF=60°
　　∵△AGE∽△ABC
　　∴∠AGE=∠ABC
　　又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
　　∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
　　∴∠FBD=∠FGE
　　∵在△FBD和△FGE中，
　　FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
　　∴△FBD≌△FGE(SAS)
　　∴FD=FE
　　同理，FD=DE
　　∵FD=DE=FE
　　∴△DEF为等边三角形
　　即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
　　证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话你也可以自己试试！