数理化 > 弦切角定理



目录 ·No. 1 ·No. 2 ·相关词 ·更多结果... No. 1 　　弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 　　弦切角定理就是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，一半弧所对的圆心角 　　如图：tc为圆o切线，∠btc=∠bat 　　弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 　　弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。 No. 2 　　弦切角定理 　　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角） 　　弦切角定理证明 　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 　　则∠TCB=∠CDA 　　∵∠TCB=90-∠OCD 　　∵∠BOC=180-2∠OCD 　　更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB 　　证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 　　求证：. 　　证明：分三种情况： 　　（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上 　　∵AC为直径，AB切⊙O于A， 　　∴弧CmA=弧CA 　　∵为半圆, 　　∴, 　　∴. 　　（2）　圆心O在∠BAC的内部. 　　过A作直径AD交⊙O于D, 　　那么 　　. 　　（3）　圆心O在∠BAC的外部, 　　过A作直径AD交⊙O于D 　　那么 　　. 　　∴. 　　由弦切角定理可以得到： 　　推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 　　应用举例 　　例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 　　解：连结OA，OB. 　　∵在中, ∠C=Rt∠ 　　∴∠BAC=30° 　　∵ （弦切角定理） 　　∴∠AOB=60° 　　又∵AO=BO 　　∴为等边三角形 　　∴AO=AB=BO=2BC 　　∴BC=1/2a 　　例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 　　求证：EF∥BC. 　　证明：连DF. 　　AD是∠BAC的平分线　∠BAD=∠DAC 　　∠EFD=∠BAD 　　∠EFD=∠DAC 　　⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC 　　∠EFD=∠FDC 　　EF∥BC 　　例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 　　求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 　　证明：∵AB是⊙O直径 　　∴∠ACB=90 　　∵CD⊥AB 　　∴∠ACD=∠B，　 　　∵MN切⊙O于C 　　∴∠MCA=∠B， 　　∴∠MCA=∠ACD， 　　即AC平分∠MCD， 　　同理：BC平分∠NCD. 相关词 几何 圆 定理