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指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设 α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin(θ+φ)/2 cos(θ-φ）/2 |
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tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立 |
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在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然 |
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- : Hechahuaji
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