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曲线在一点处的切向量可以理解为该点的切线（带个方向箭头）。
曲面的切向量可视为切平面中的向量。
对更一般的流形m，m在点p处的切向量， 就是m中通过p点的曲线在p处的切向量。
切向量的概念是个几何概念，亦即它的定义和坐标选取无关。
因而是几何量。这是微分几何中最基本的概念。 |
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的向量
tangent vector
切向最[怕飞entv以出贫;TaoreH”H幼研u益BeKT0p]
【补注】令M为一微分流形(di旋fentiable 11笼tnl-
fold)，F(M)是其上的光滑实值函数的代数.M在
。任M的切向量就是一个R线性映射斌F(M)~R
使得
v(f诊)=f(n:)v(g)+g(m)v(f).(AI)
在定义中也可以使用M在m处的光滑函数芽的环
F(M，m)(事实上更好).
M在明任M处的切向量构成一个R上的n维
向量空间，这里陀=dirn(M)，此空间记为瓜M.
令伞:U~R”，浓‘~(x、(nl)，‘·’，义。(水))，
这里(x‘，…，x，)是M在m附近的一个坐标系.
对于中的第j个偏导数就是切向量
‘。、，_、‘、、_鱼适虹~立{
(D二.)(m)(f)=二冷井~二!
刁x，{，〔，。’
右方即是尤、，二，x。的函数f价一‘二R”一R的在点
中(m)eR”处的通常的偏导数.我们有Dx.(川)(x，)
二J:J(Kl’o neCker占函数)，而Dx(m)成为凡M的
一个基
几M的这个由坐标系(x，，…，x。)决定的基时
常记作遥矛/。x，，一，a/。x。}.
川‘M处的余切向量(cotangellt暇tor)就是一个
R线性映射凡M~R使得m任M处的余切空间
T二M就是凡M的对偶向量空间.{创日x，，…，
日/旅。}的对偶基记作dx:，一，d义。.有
dx:(v)=v(兀，)，v〔几M.
切空间几M(m任M)的不相交并TM，连同投
射东TM~M，当。任凡M时城。)二。，可以赋
予一个可微向量丛(vec协r bundle)的结构，即切丛
(仁川罗ntb切ldle).
类似地，余切空间T二M构成一个对偶于TM
的向量丛T’M，称为余切丛(cotan罗nt bund兄).TM
的截面即M上的向量场(暇tor fiekls)，T’M的截
面即M上的微分1形式(differentiablel一form).
令献M~N是微分流形的映射，而令截F(N)
~F(M)是诱导映射g}~g二.对于m处的一个切
向量v:F(M)~R，与“复合后即得一个R线性
映射u‘F(N)~R，它是N在武m)处的切向量.
这就定义了向量空间的同态Ta(m):凡M~兀闲N
以及向量丛的态射兀:TM~TN.
在M=R”，N二R爪，并分别地有整体坐标x，，
…，x。和必，…，y二的情况下，献R”~R“是由阴
个可微函数给出的，而在每一点x〔R”处
_，、f。飞。，，，·刁
T“(x)l二二-sel二一气=‘(x)一丁--十…+
一‘、一’L ox，J日x，、一’刁y」
日y。，_、日
+~‘x、—
口x“日儿
给出，所以T:(x):爪R”~双(x)R“相对于TxR”的
基刁烟x，，二，刃刁x。和T中)R用的基刁胭y、，‘·‘，
创日先:的矩阵就是“在x处的Jacd浦矩阵(Jacobi
nlalrl大).
现令M C=R’‘是一个嵌人流形.令。二 |
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| 余切向量 | 切向量场 | 超切向量 | 切向量空间 | | 单位切向量 | 计算正切向量 | |
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